- •Содержание
- •Введение
- •Лабораторная работа №1 основы работы вmathcad Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Основы пользовательского интерфейса
- •Операции с файлами
- •Входной язык системы MathCad
- •Алфавит входного языкаMathСad
- •Типы данных
- •Присваивание значений
- •Задание ранжированных переменных
- •Выполнение арифметических операций
- •Элементарные функции
- •Работа с массивами, векторами и матрицами
- •Задание формата результатов
- •Построение графиков функции
- •Символьные вычисления
- •Символьные операции с выделенными выражениями
- •Символьные операции с выделенными переменными
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №2 решение дифференциальных уравнений
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •1. Решение с помощью обратного преобразования Лапласа
- •2. Приближенное численное решение
- •3. Решение с помощью блока Given и функции odesolve
- •Примеры выполнения
- •1. Решение дифференциального уравнения с помощью преобразований Лапласа
- •2. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера
- •Лабораторная работа №3 решение систем дифференциальных уравнений
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •1. Аналитическое решение систем неоднородных дифференциальных уравнений (формула Коши)
- •2. Решение систем дифференциальных уравнений численными методами в средеMathCad
- •3. Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальному виду
- •4. Приведение матричного уравнения к новым координатам
- •5. Решение матричного уравнения с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра
- •Примеры выполнения
- •1. Аналитическое решение систем неоднородных дифференциальных уравнений (формула Коши)
- •2. Решение систем дифференциальных уравнений численными методами в средеMathCad Метод Рунге-Кутта
- •Метод Рунге-Кутта с адаптивным шагом
- •Метод Булирша-Штера
- •3. Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальному виду
- •4. Приведение матричного уравнения к новым координатам
- •5. Решение матричного уравнения с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №4 исследование временных характеристик элементарных звеньев и соединений звеньев
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения
- •1. Построение переходной и весовой функций идеального интегрирующего звена
- •2. Построение переходной и весовой функций апериодического звена первого порядка
- •3. Построение переходной и весовой функций реального дифференцирующего звена
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №5 исследование частотныхxарактеристик элементарных звеньев и соединений звеньев
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №6 исследование устойчивости объектов управления и замкнутых систем автоматического управления
- •Порядок выполнения
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Пример выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
Пример выполнения
В MathCadкомплексные вычисления производятся с помощью символьного процессора. Для выполнения операций над комплексными числами мнимую единицуjнеобходимо заранее задать как, либо использовать стандартную мнимую переменнуюi коэффициентом 1 - . По окончании редактирования формулы запись приобретает вид:i.
Запишем частотную передаточную функцию апериодического звена первого порядка:
.
При выходе из редактирования (щелчок мыши в свободном поле документа) формула приобретет вид:
.
Выделим действительную и мнимую части амплитудно-фазовой частотной характеристики, используя функцию complex, которую можно выбрать в панели инструментов «Математика» в меню «Символы»:
,
.
Для построения графиков частотных характеристик необходимо задать диапазон изменения частоты, например, , коэффициент усиленияи постоянную времени.
Рис.5.2. Комплексная частотная характеристика
Амплитудная частотная характеристика рассчитывается следующим образом:
.
Использование функции simplifyпозволяет упростить результат вычислений. Однако последняя запись, полученная с помощьюMathCad, может быть представлена в более удобном виде:.
График АЧХ показан ниже.
Рис.5.3. Амплитудная частотная характеристика
Фазовую частотную характеристику определим с помощью функции atan
.
Рис.5.4. Фазовая частотная характеристика
Логарифмическая амплитудная характеристика рассчитывается как
Рис.5.5. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
При построении асимптотической ЛАХ, представляющей собой кусочно-линейную функцию, можно воспользоваться программным модулем (панель "Инструменты программирования"). Для передаточной функции апериодического звена первого порядка асимптотическая ЛАХ может быть построена по программе:
Рис.5.6. Асимптотическая ЛАХ
Моделирование прохождения гармонического сигнала через линейную систему осуществляется путем решения дифференциального уравнения с гармонической правой частью
.
Преобразование Лапласа от входного гармонического сигнала :
.
Выходной сигнал y(s) в преобразованиях Лапласа имеет вид:
.
Выполняем обратные преобразования Лапласа и записываем выходной сигнал:
Рис.5.7. Сигналы на входе и выходе звена для =0.1
Рис.5.8. Сигналы на входе и выходе звена для =0.5
Рис.5.9. Сигналы на входе и выходе звена для =5
Как видно из рисунков, при постоянной амплитуде входного гармонического сигнала, амплитуда сигнала на выходе апериодического звена с возрастанием частоты существенно уменьшилась, а смещение сигналов по фазе приблизилось к /2. Апериодическое звено работает как фильтр высоких частот.
Контрольные вопросы
Дать определение амплитудной и фазовой частотных характеристик, ЛАХ, АФЧХ?
Что такое частота среза и полоса пропускания ЛАХ?
Построить частотные характеристики для апериодического звена первого порядка, звеньев второго порядка, интегрирующего и дифференцирующего звеньев?
Как получить амплитудную и фазовую частотные характеристики при последовательном и параллельном соединении звеньев?
Как влияют значения постоянных времени звена на полосу пропускания ЛАХ?
Как построить асимптотическую ЛАХ по передаточной функции?