Информатика / лекции

называемые, таблицы истинности. Таблицы истинности – таблицы, в которых описаны правила использования логических операций, то есть результаты, получаемые при различных комбинациях операндов. Таблицы истинности являются своеобразными «таблицами умножения» для алгебры логики. При помощи этих элементарных правил составляются логические комбинации для выражений любой сложности. Для упрощения записи этих таблиц вводят обозначения TRUE≡1 (логическая единица), FALSE≡0 (логический нуль).

Операнды обозначим A и B. Обратим внимание на унарные операции NOT над операндом A и над операндом B (Таблица 2.2).

Вообще, для двух операндов можно составить 16 различных таблиц. Однако, все их обычно не записывают, поскольку существует возможность комбинации некоторого базового набора логических операций, которая приводит к эквивалентности таблиц истинности. Наиболее часто используются операции OR, AND и NOT. Операция XOR является дополнительной и выражается через базовый набор следующим образом:

A XOR B =(AOR B)AND(NOT(A AND B)) .

Будучи записанными в сложном выражении, логические операции применяются в строгой последовательности согласно установленному приоритету (подобно тому как операция умножения всегда выполняется раньше чем операция сложения). Приоритет выполнения логических операций следующий (в порядке его убывания):

NOT

AND OR, XOR

Операции отношения

ПРИМЕР

Для x =5 , y = 0 получим результат следующего логического

выражения:

( x > 0 ) AND ( y < −2 ).

Результатом первой операции отношения ( x > 0 ) будет значение TRUE, так как истина, что 5 > 0. Результатом операции отношения ( y < −2 ) будет

значение FALSE, так как ложь, что 0 < −2. Осталось определить результат такого логического выражения:

TRUE AND FALSE ,

что эквивалентно

1 AND 0.

Из таблицы истинности следует, что это выражение равно 0 или FALSE, то есть

( x > 0 ) AND ( y < −2 ) = FALSE.

Для иллюстрации логических выражений часто применяют диаграммы взятые из теории множеств (Рисунок 2.1). Заштрихованная площадь означает истинность того, что некоторая точка принадлежит этой области.

Рисунок 2.1 Связь теории множеств и булевой алгебры

Правила использования логических выражений

При доказательстве в алгебре логики применяют набор правил и законов:

1.законы идемпотентности: A = A AND A,

A = A OR A;

2.законы коммутативности: A AND B = B AND A, A OR B = B OR A;

3.законы ассоциативности:

A AND (B AND C) = (A AND B) AND C, A OR (B OR C) = (A OR B) OR C;

4. законы дистрибутивности:

A AND (B OR C) = (A AND B) OR (A AND C), A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C);

5. законы нуля и единицы:

A AND A = FALSE, A AND TRUE = A, A OR A = TRUE, A OR FALSE = A;

6. правила поглощения:

A OR (A AND B) = A,

A AND (A OR B) = A; 7. правила де Моргана:

(A OR B) = (A AND B) ,

(A AND B) = (A OR B) ; 8. правила склеивания:

(A OR B) AND (A OR B) = A ,

(A AND B) OR (A AND B) = A .

2.5 Базовые алгоритмические конструкции

Любой сколь угодно сложный алгоритм можно представить в виде комбинации трех базовых алгоритмических управляющих структур: следование, развилка и цикл. Данный тезис был высказан Дейкстрой1 в конце 70-х годов ХХ века и впоследствии только подтверждался. Этот подход носит название структурного программирования, одним из его основных достоинств является отказ от оператора безусловного перехода (GOTO), что многократно повышает наглядность и надежность программного кода. Каждой из трех управляющих конструкций соответствует свой тип вычислительного процесса, соответственно: линейный, разветвляющийся и циклический. Рассмотрим последовательно каждый из них.

Линейные вычислительные процессы

Линейным вычислительным процессам соответствует алгоритмическая управляющая структура следование. В данном случае вычислительные шаги следуют один за другим без пропусков и

(параллелограммы) и блоки вызова подпрограмм. Или иные управляющие конструкции (цикл или развилка).

Разветвляющиеся вычислительные процессы.

Разветвляющимся вычислительным процессам соответствует алгоритмическая управляющая структура развилка. Во многих алгоритмах реализованы структуры с двумя альтернативными ветвями, одна из которых выполняется в том случае, если проверка некоторого логического выражения (в частном случае условия, например, x > 0 ) L дает положительный результат (TRUE – «ИСТИНА»), а другая – отрицательный (FALSE – «ЛОЖЬ»). Эта структура и называется развилкой.

На блок-схемах развилки обозначают в виде ромба (предикатного узла)

содним входом и парой выходов (Рисунок 2.3). Причем выходы направляют

1Эдгер Вайб Дейкстра (1930-2002) голландский математик, основоположник метода структурного программирования, занимался вопросами применения математической логики к компьютерным программам.

Рассмотрим, как работает данный алгоритм. Пусть при вводе N будет введено значение N=4, тогда перед входом в цикл переменные будут иметь

следующие значения: N=4; I=1; F=1. При входе в цикл анализируется логическое выражение «I≤N». Для текущих значений I=1 и N=4 оно даст результат TRUE, т.е. будет выполняться тело цикла. В нем на первом шаге новое значение F получается путем умножения его старого значения на I

прохода тела цикла переменные примут следующие значения: N=4, I=2, F=1. Следуя далее по стрелке, возвращаемся к предикатному блоку с логическим выражением, и анализируем его для новых значений переменных. Результат опять TRUE. После выполнения 2-го прохода переменные примут такие

Рисунок 2.13 Цикл с параметром

котором этот параметр может быть использован, затем к текущему значению параметра I прибавляется шаг M и вновь

Просто настолько часто возникают задачи в которых параметр цикла меняет свое значение с постоянным шагом на некотором диапазоне, что в языки программирования внедрили этот специальный цикл. Более того, именно его наиболее часто используют в большинстве программ. В языке Pascal цикл For

работает только с целыми типами параметров, а шаг цикла M равен 1, либо −1. В первом случае его называют «for … to … do», а во втором «for … downto … do».

Задача вычисления факториала с помощью этого цикла выглядит гораздо проще (Рисунок 2.14).

Замечания по оформлению блок-схем

Как уже отмечалось ранее, блок-схемы представляют собой одну из форм записи последовательности действий. Поскольку мы договорились использовать ограниченный набор базовых блоков, то, естественно, с их помощью можно изобразить не всякий алгоритм. Кроме того, базовых алгоритмических конструкций в рамках структурного программирования всего три. Каждая из этих конструкций имеет ровно один вход и ровно один выход. Потому, для сохранения наглядности, всегда изображают выход из конструкции строго под ее входом, на одной оси (Рисунок 2.15).