Информатика / лекции

Это сумма арифметической прогрессии, она равна

W = N (N −1) = N 2 − N =Θ(N 2 )

2 2

По данной формуле видно, что зависимость времени исполнения сортировки от размера массива квадратичная. Для этого мы ввели функцию

Θ(N 2 ). Видно, что чем длиннее массив, тем больше времени требуется на его

алгоритмы мы в данной главе рассматривать не будем, поскольку они достаточно сложны для

неподготовленного читателя. Следует отметить, что сложность N log2 (N )

гораздо более приемлемая, чем N 2 , поскольку, например если длина массива возрастает в 100 раз, то время простой сортировки увеличится в 10000 раз. А для быстрой сортировки увеличение времени произойдет примерно в

100 log2 (100)≈ 664 раза.

Еще одной интересной задачей для одномерных массивов является задача поиска одинаковых элементов. Одинаковые элементы можно найти если каждый элемент сравнить с каждым.

Т.е. первый элемент мы сравниваем со вторым, потом с третьим и так до конца массива. Далее сравниваем второй элемент с третьим, четвертым, пятым и т.д. Алгоритм продолжаем до тех пор, пока все пары не будут рассмотрены.

Очевидно, что эта задача решается в два цикла (Рисунок 5.22): for k:=1 to N-1 do

for i:=k+1 to N do if A[k]=A[i] then writeLn(A[i]);

Сложность алгоритма полиномиальная, квадратичная. Всего потребуется, как и для сортировки массива (N 2 − N )/ 2 проверок условия.

5.6 Линейная алгебра и вектора

Как утверждалось ранее, одномерные массивы с числовыми элементами называют векторами. Из курса математики известны аналитические операции

Модуль вектора

По определению, модуль вектора – это величина представляющая собой квадратный корень из суммы квадратов координат, т.е.:

Для массивов имеем:

S:=0;

for i:=1 to N do S:=S + sqr(A[i]);

S:= sqrt(S);

Нормировка вектора

Нормировка – это такое преобразование вектора при котором все его компоненты по модулю становятся меньше единицы. Нормировка показывает относительную выраженность одной из координат вектора относительно других.

Есть несколько подходов к нормировке вектора. Рассмотрим наиболее

часто употребляемые. А именно,

– нормировка на модуль

Нормировка на модуль основана на том основании, что в евклидовом пространстве модуль вектора меньше чем любая из его координат (можно

привести теорему Пифагора, где гипотенуза всегда меньше любого из катетов).

будет следующим:

for i:=1 to N do A[i]:=A[i]/S;

– нормировка на модуль максимального по модулю.

Здесь для нормировки нужно найти максимальный по модулю элемент

и разделить все компоненты вектора на его модуль.

Поиск максимального по модулю элемента может быть представлен

следующим образом:

maxA := abs(A[1]); for i:=1 to N do

If abs(A[i]) > maxA then maxA := abs(A[i]);

Векторное произведение

Векторное произведение определено для трехмерного пространства, что

означает равенство длины вектора N = 3. Векторное произведение по

На Pascal это будет выглядеть следующим образом:

C[1]:=A[2]*B[3] – A[3]*B[2];

C[2]:=–A[1]*B[3] + A[3]*B[1];

C[3]:=A[1]*B[2] – A[2]*B[1];

6.ДВУМЕРНЫЕ МАССИВЫ

6.1Понятие и объявление двумерного массива

Довольно часто при обработке больших объемов информации мы имеем дело с упорядочиванием данных по нескольким признакам. Если в структуре данных есть возможность выделения содержимого по этим признакам, то имеет смысл организовывать, так называемый, многомерный массив. Самым простым примером многомерного массива является двумерный.

Двумерный массив – это одномерный массив, каждым элементом которого является свой одномерный массив. Получается так называемый

«массив массивов». Можно сказать и так: двумерный массив – это такой тип данных, элементы которого однотипны и каждый из них характеризуется уникальной парой чисел: индексом строки и индексом столбца.

Рисунок 6.1 Примеры двумерных массивов

Естественным отображением двумерного массива является таблица. Таблица есть двумерная структура, у которой вдоль горизонтального направления перечень одних свойств, а вдоль вертикального – других. Пересечение столбца и строки дает нужный элемент, одновременно обладающий обоими свойствами. Для двумерного массива этими свойствами являются числа – индексы строк и столбцов.

Примеры двумерных массивов изображены на Рисунок 6.1.

На иллюстрации массив A – это массив, элементами которого являются дробные числа (тип real). Объявление массива A следующее:

A: array[1..10, 1..10] of real;

Массив A объявлен с запасом по размерности. На рисунке размерность массива 3×4, а при объявлении мы выделяем память под 10×10=100 ячеек типа real. Это значит, что размер будет 100×6 байт = 600 байт. Используемый размер 3×4×6 байт 72 байта. Видно как сильно зависит расход памяти от размерности массива. Потому следует следить за размерностью и, по возможности, не объявлять слишком больших массивов. Условимся далее для

обозначения числа строк использовать переменную N, а для столбцов M. Т.е. для массива A NA=3, MA=4; для массива B NB=3, MB=3.

B – массив состоящий из наборов символов максимальной длины 15. Объявление массива B такое:

B: array [1..3, 1..3] of string[15];

Как отмечалось ранее двумерный массив – массив массивов, а потому правомерна такая запись для A и B:

A:array[1..10] of array[1..10] of real;

B:array [1..3] of array[1..3] of string[15];

Для непосредственного обращения к элементу нужно указать его адрес. Адрес в двумерном массиве – пара чисел. Сначала идет номер элемента во внешнем одномерном массиве, а потом во внутреннем. Поскольку мы двумерные массивы представляем в виде таблиц, то условимся первым числом обозначать номер строки, а вторым – индекс столбца. Вообще, строки и столбцы можно поменять местами, поскольку именно мы организуем порядок их задания. Но далее всегда будем обозначать сначала строку, а затем столбец.

Для примеров на Рисунок 6.1 это выглядит следующим образом:

И, соответственно, массив B:

B[1,1]= ’привет’ B[1,2]=’12 23 3’ B[1,3]=’2 часа’ B[2,1]=‘*** ***’ B[2,2]=‘vstu.ru’ B[2,3]= ‘2 $’ B[3,1]= ‘- %%№’ B[3,2]= ‘Массив’ B[3,3]= ‘### 1’

Порядок обращения к элементам двумерного массива сходен с порядком обращения к элементам одномерного, т.е. нельзя подвергать изменению целиком весь массив сразу. Для обращения, как это видно выше, в квадратных скобках через запятую указываются координаты элемента по вертикали и горизонтали.

Внекоторых языках программирования счет индексам начинается не с 1

ас 0. В Pascal работа с массивами организованна достаточно просто, и мы можем задавать диапазон изменения индексов в любых границах (даже отрицательных). Но для удобства и однозначности впредь все индексы будем начинать считать с 1.

Еще следует отметить, что наиболее естественными объектами, которые принято хранить в двумерных массивах являются числа. Такие массивы будем называть матрицами, так же как и в математике. И именно на их примере рассмотрим основные алгоритмы обработки этих структур.

6.2 Поэлементная обработка двумерных массивов

Прямая безусловная поэлементная обработка двумерного массива предполагает такую обработку, при которой все его элементы безусловно

Рисунок 6.2 Поэлементная обработка двумерного массива а) и ввод массива б)

просматриваются в порядке возрастания индексов. Индексы можно увеличивать, рассматривая массив по строкам или по столбцам. Блок-схема этого процесса (построчная реализация) представлена на Рисунок 6.2 а).

Самые простые алгоритмы поэлементной обработки массива – это алгоритмы ввода и вывода. Алгоритм ввода или инициализация пользователем представлен на Рисунок 6.2 б). Здесь, поскольку массивы мы объявляем с запасом размерности, следует сначала указать число строк N и количество столбцов M. Массив мы рассматриваем, согласно соглашению, построчно, т.е. во внешнем цикле меняется индекс строки, а во внутреннем – индекс столбца.

writeLn(‘введите число строк’); readLn(N);

writeLn(‘введите число строк’); readLn(M);

for i:=1 to N do for j:=1 to M do

begin

write(‘A[’, i, ’,’, j, ‘]=’); readLn(A[i,j]);

end;

Вывод массива аналогичен вводу, только если мы будем выводить все элементы подряд, то разные строки сольются между собой. Мы не сможем определить где кончается одна строка и начинается следующая. Для этого нужно после вывода каждой строки принудительно переводить курсор на следующую. Делается это очень просто методом вставки во внешний цикл алгоритма пустой процедуры writeLn:

В качестве примеров прямой обработки всех элементов массива можно привести алгоритм подсчета сумы, произведения, а также изменение всех элементов. Скажем, рассмотрим увеличение всех элементов двумерного массива на некоторую константу x:

for i:=1 to N do for j:=1 to M do

A[i, j] := A[i, j] + x;

Алгоритм прост, блок-схему приводить не будем.

Далее можно рассмотреть поэлементную обработку всего массива предполагающую анализ элементов. Таковая обработка выражается блоксхемой Рисунок 6.3. В теле внутреннего цикла помещено условие, в случае выполнения которого, происходит действие над элементом A[i,j].