3. Примеры решения задач

Задача № 1. Движение точки по плоскости Oxy задано уравнениями , где b, d, k – постоянные положительные величины. Определить уравнение траектории в координатной форме, значения скорости и ускорения точки в момент времени .

Решение

У

Рис. 11

равнение траектории в координатной форме находим исключением времени из уравнения движения. Для этого поделим первое уравнение наb, второе – на d, возводим в квадрат и складываем. Получаем уравнение эллипса (рис. 11) с полуосями, равными b и d:

.

При точка имеет координатых = b, у = 0, т. е. занимает положение М₀. Определим проекции скорости и ускорения на оси координат. Имеем: ,,,.

Для момента времени получаем:

,

.

П

Рис. 12

о проекциям устанавливаем направление скорости по касательной к траектории и направление ускорения по радиусу-вектору к точкеО. Изображаем эти векторы в точке М₀ и дополнительно в точках М и М₁.

Задача № 2. Точка М движется по дуге окружности радиусомпо законуS = R  sin kr, где k = const. Начало и направление положительного отсчета расстояний и времени указаны на рис. 12. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t, а также их значения в точке О и в точке траектории М₁, в которой скорость обращается в нуль.

Решение

Скорость и проекции ускорения на естественные координатные оси определяем по формулам:

,

.

Имеем:

,.

Скорость обращается в нуль, если , т.е. в момент времении другие моменты времени, которые в этом примере не рассматриваются. При, т.е. в момент изменения направления движения.

Подставляя в формулы для значениеt = 0, получаем:

v = Rk, a_ = 0, a_n = Rk ².

Касательное ускорение в этот момент времени обращается в нуль, т. к. алгебраическая скорость достигает своего максимума.

Задача № 3. Движение точки М задано в декартовых координатах уравнениями:

, (32)

где R,  – постоянные положительные величины, имеющие размерности, R – длины,  – углового ускорения.

Перейти к естественному способу задания движения, т. е. определить траекторию и закон движения точки вдоль траектории в виде S = f(t). Найти также скорость и ускорение точки.

Решение

Возведя каждое из уравнений (32) почленно в квадрат, и затем сложив их, получим . Следовательно, траекторией точки является окружность радиусаR с центром в начале координат. Из уравнений (32) видно, что при t = 0, x = R, y = 0, т. е. точка М находится на оси Ox. Примем это положение M₀ за начало отсчета O расстояния S; тогда при

t = 0, S =0. Когда t  0 начинает возрастать, а x – убывать, т.е. точка начинает двигаться по направлению к оси Oy; примем это направление за положительное направление отсчета расстояния S.

Для определения зависимости S = f(t) найдем выражение для dS. Как известно, , а. Тогда, и поскольку приt = 0, S = 0:

(33)

Из уравнений (33) находим:

,

и .

Подставляя это выражение в равенство (32) и вынося постоянный множитель за знак интеграла, получим:

или .(34)

Таким образом, точка движется по окружности радиуса R по закону . Скорость точкии растет пропорционально времени. Далее находим ускорение, .

Так как a_ = const и знаки v, a_ совпадают (v  0, a_  0), то движение точки является равноускоренным.

Наконец, ,.

Как видим, при t = 0, a = a_ = R   (a_n = 0) и . Затем со време-

нем величина a растет, а угол  между вектором ускорения и радиусом окружности убывает, стремясь к нулю.

Задача № 4. Точка, получив направленную горизонтальную скорость, движется по закону, определяемому уравнениями:

x = v₀  t, ,

где v₀ и g – некоторые постоянные.

Найти траекторию, скорость и ускорение точки, а также касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны траектории в любом положении, выразив их через скорость в этом положении.