2.3.2. Определение ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Вектор скорости точки . Отсюда на основании теоремы о проекции производной и формул (2. 4) получаем:

(23)

Или

(24)

Таким образом, проекции ускорения точки на оси координат равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул:

, (25)

где α, β, γ — углы, образуемые вектором ускорения с осями координат.

При движение точки в плоскости, ее скорость и ускорение можно определить на основе системы (4). Расположение векторов скорости и ускорения и их составляющих показаны на рис.8.

Рис.8

3. Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

В

Рис.9

озьмем на кривойAB две точки M и M₁, соответствующие дуговым координатам OM =S и OM₁ = S+S. Покажем орты касательных и в этих точках. Модуль орта , равный1 постоянен, но направление орта изменяется при перемещении точки по кривой, то есть орт является переменным вектором =(S).

Определим приращение орта на участкеMM₁ = S. Для этого отложим от точки М орт и построим при этой точке параллелограмм, одной из сторон которого будет орт, а диагональю –орт ,тогда другая сторона параллелограмма будет приращением орта .

Введем вектор . Он характеризует поворот касательной к кривой на участке ММ₁ и называется вектором средней кривизны кривой на участке ММ₁. Переходя к пределу и учитывая, что =(S), получим вектор кривизны кривой в данной точке.

. (25)

Определим модуль этого вектора. Для этого рассмотрим треугольник, образованный . Угол между векторамииназывается углом смежности. Модульнайдем как длину основания равнобедренного треугольника с малым углом при вершине и боковыми сторонами, равными 1. Тогда

и модуль вектора кривизны

г

Рис.10

де  радиус кривизны кривой в точке М. Из дифференциальной геометрии известно, что предел отношения угла смежности  к приращению дуговой координаты

S при S → 0 равен кривизне кривой 1/, где  – радиус кривизны кривой в точке М. Вектор кривизны находится в плоскости треугольника (), предельным положением которого является соприкасающаяся плоскость. Следовательно, вектор кривизны расположен в соприкасающейся плоскости, а так как он перпендикулярен, то он направлен по главной нормали к центру кривизны кривой, и показывает скорость поворота касательной в расчете на единицу длины пройденного пути.

(26)

Учитывая результаты, полученные в п. 2.2.3., а также введенные выше понятия, определим проекции ускорения на естественные координатные оси.

Так как по уравнению (18)

, то

Но по формулам (25) и (26)

а , получим

(27)

Первое слагаемое в уравнении (27) называется нормальным ускорением, а второе – касательным ускорением

(28)

где (29)

(30)

Скалярные множители в уравнениях (29) и (30) проекции ускорения точки на главную нормаль и касательную.

Направлены векторы иследующим образом:всегда направлен в сторону вогнутости кривой, так как¹/ρ всегда больше нуля. А вектор может быть направлен также как и ортили в противоположную сторону в зависимости от знака производной. Модуль и направление вектора полного ускорения определяются следующим образом

(31)