Bilety / 46

46. Необходимые условия экстремума для функции нескольких переменных и их геометрический смысл. Примеры.

Необходимые условия экстремума функции определяются значением её производной  в точке x₀. Т е о р е м а 1. (Необходимое условие экстремума). Для того чтобы непрерывная функция y = f (x) имела экстремум в точке x₀ необходимо, чтобы её производная в этой точке равнялась нулю или не существовала, т. е. ∞. На рис. 44 в точках x₁ и x₃ выполняются условия  и ; такие точки называются точками гладкого экстремума. В точке x₂ выполняется условие ∞; такая точка называется точкой острого экстремума. Равенства  и  ∞ (3.39) называются необходимыми условиями экстремума, а точки оси Ox, в которых выполняются необходимые условия, называются критическими точками 1-го рода.  Наличие у функции критических точек 1-го рода, однако, не означает, что функция имеет в них экстремум, так как в точке экстремума функция должна изменяться от возрастания к убыванию или, наоборот, от убывания к возрастанию. Поэтому нужно использовать достаточные признаки монотонности функции, позволяющие установить наличие экстремума и его характер, т. е. максимум или минимум. Это приводит к следующей теореме о достаточном условии экстремума.