Метод прогонки неявной схемы аппроксимации

1. Нахождение прогоночных коэффициентов αi и βi по формуле (10) при

i=2 … (N-1) (прямая прогонка)

2. Получение неизвестных T_iⁿ⁺¹ по формуле (9) при i=(N-1), (N-2), … , 2 (обратная прогонка)

Условие корректности и устойчивости прогонки:

(11)

3.Неявная схема аппроксимации

Рисунок 2. Шаблон неявной четырехточечной неявной схемы аппроксимации.

Прировняем , затем подставим в уравнение (8)

Получим:

(12)

(13)

Рисунок 3.Блок-схема неявной схемы аппроксимации

4.Явная схема аппроксимации

Рисунок 4.Шаблон явной четырехточечной схемы аппроксимации

Метод прогонки явной схемы аппроксимации.

Возьмём 1 и 2 производную теплопроводности

подставим эти производные в уравнение

получим

(14)

где

(15)

При использовании данной схемы необходимо чтобы выполнялось условие (16)

Рисунок 5.Блок-схема явной схемы аппроксимации

5.Пример численного решения тепловой. Дано: n,tend (конечное), l, λ,ρ,с,т0, т1(Тл) ,Тr (Тп).

L - конечно-разностная сетка = 0.04

N - номер шага по времени = 50

t_{end (конечное)} - конечный момент времени = 20 сек.

Т_r (Т_п) - температура на правой границе = 20 ̊С

Т₁(Т_л) - температура на левой границе = 340 ̊С

Т₀ - начальная температура = 20 ̊С (при нормальных условиях).

Граничные условия

- Физические условия однозначности (для алюминия):

λ=209 Вт/(м* К)

ρ=2700 кг/м³

c=920 Дж/(кг* ̊С).

Рисунок 6. Геометрия задачи

Используем VBA for Microsoft Excel 2007 мы получим температурное поле стали по явной и неявной схеме (рис. 5,6).

Рисунок 7. Температурное поле стали по неявной схеме Т(х).

Рисунок 8.Температурное поле стали по явной схеме Т(х)

Заключение

Явные схемы вычисляют значение результата через несколько соседних точек данных. Явные схемы содержат только одно значение функции на следующем слое, это значение нетрудно выразить через известные значения функции на данном слое. Явная схема устойчива при выполнении условия. В случае, если условие (16) не выполняется получим разнос функции Т(х) (рис.9) . Условие не выполнится, если время процесса будет слишком мало, либо длинна пластины будет очень большой.

Неявные схемы содержат в каждом уравнении по несколько неизвестных значений на новом слое. Неявные схемы используют уравнения, которые выражают данные через несколько соседних точек результата. Для нахождения результата решается система линейных уравнений. В отличие от явной схемы Эйлера, неявная является безусловно-устойчивой (т. е. не выдающей "разноса"). Однако ценой устойчивости является необходимость решения на каждом шаге по времени системы алгебраических уравнений.

Список литературы:

1. Кузнецов, Г.В., Шеремет, М.А. Разностные методы решения задач теплопроводности: учебное пособие. /. Томск: Изд-во ТПУ, 2007. – 172 с.

2. Коновалов, А.В. и др. Теория сварочных процессов: Учебник для вузов /. Изд-во МГТУ им Н.Э.Баумана, 2007. -752 с.: ил.