Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Волгоградский государственный технический университет»

Семестровая работа по курсу:

«Тепловые процессы в сварке»

на тему: «Численные методы решения задач теплопроводности».

Выполнил: Федоров В.Е.

Группа: МС-328

Проверил: Хаустов С. В.

Волгоград 2014

Содержание

Введение..........................................................................................................3

1.Уравнение теплопроводности....................................................................4

2.Методы конечных разностей......................................................................5

3.Неявная схема аппроксимации...................................................................8

4.Явная схема аппроксимации......................................................................10

5.Пример численного решения.....................................................................11

Заключение......................................................................................................14

Список литературы.......................................................................................15

Введение

Большинство существующих способов сварки основано на нагреве материала до пластического состояния или плавления. Необходимую для этой цели теплоту получают от источников энергии, которые различаются между собой по характеру выделения теплоты, мощности, продолжительности действия, скорости движения и другим признакам. Свариваемые изделия различают по свойствам материала, форме и размерам. Если принять во внимание условия, при которых происходит сварка,— подогрев, искусственное охлаждение, теплоотдачу, то число независимых параметров, подлежащих учету в расчетах тепловых процессов при сварке, окажется довольно значительным.

Один из основных вопросов, рассматриваемых в теории тепловых процессов при сварке, — определение условий, при которых достигаются необходимый нагрев изделия и его сваривание. Однако этим не исчерпывается назначение теории. Нагрев и охлаждение вызывают разнообразные физические и химические процессы в материале изделия — плавление, кристаллизацию, структурные превращения, объемные изменения, появление напряжений и пластических деформаций. Эти процессы приводят к глубоким изменениям свойств и состояния материала и влияют на качество всей конструкции в целом. Чтобы определить характер протекания указанных процессов, необходимо знать распределение температур в теле и изменение его во времени в каждом отдельном случае. Это второй основной вопрос, рассматриваемый в теории тепловых процессов при сварке.

Теория тепловых процессов при сварке представляет собой часть общей теории теплопроводности в материалах. Естественно, она использует ряд понятий и законов, известных из теории теплопроводности, применяя их к специфическим условиям сварки.

Теплопроводностью называется молекулярный перенос теплоты в сплошной среде. Этот процесс возникает при неравномерно распределении температур. В этом случае теплота передается за счет непосредственного соприкосновения частиц, имеющих различную температуру, что приводит к обмену энергией между молекулами, атомами или свободными электронами.

1. Уравнение теплопроводности.

Теплопроводность зависит от агрегатного состояния вещества, его состава, чистоты, температуры, давления и других характеристик. Нестационарный перенос тепла теплопроводностью описывается следующим уравнением, записанным в декартовой системе координат:

(1)

Это уравнение (уравнение Фурье – Кирхгофа) устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке тела. Здесь ρ – плотность, c – удельная теплоемкость, λ – коэффициент теплопроводности, Q_w (x, y, z, t, Т) – мощность внутренних источников тепловыделения. Если

то можно вместо уравнения (1) ограничиться одномерным нестационарным уравнением кондуктивного теплопереноса

(2)

Одномерное нестационарное уравнение кондуктивного теплопереноса

2.Методы конечных разностей.

Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных их конечно-разностными аналогами.

Сложный процесс изменения температуры точек тела во времени описывается дифференциальным уравнением теплопроводности. Для вывода этого уравнения необходимо рассмотреть баланс теплоты в некотором элементарном объеме тела с учетом тепловых потоков через поверхности, ограничивающие этот элементарный объем.

Дифференциальное уравнение теплопроводности будет иметь вид от левой границы до правой границы:

(3)

Начальные и граничные условия:

(4)

Граничные условия

- Физические условия однозначности (для стали):

λ=46 Вт/(м* ̊С). Коэффициент теплопроводности равен количеству теплоты, проходящему в единицу времени через единицу изотермической поверхности при условии gradt=1. Его размерность Вт/(м·К). Значения коэффициента теплопроводности для различных веществ определяются из справочных таблиц, построенных на основании экспериментальных данных

ρ=7800 кг/м³. Пло́тность — скалярная физическая величина, определяемая как отношение массы тела к занимаемому этим телом объёму или площади (поверхностная плотность).

c=460 Дж/(кг* ̊С). Уде́льная теплоёмкость — отношение теплоёмкости к массе, теплоёмкость единичной массы вещества (разная для различных веществ); физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо передать единичной массе данного вещества для того, чтобы его температура изменилась на единицу

Разобьём пластину на n-частей, используя равномерную сетку

Рисунок 1. Конечно - разностная сетка

Значение температуры в i- узле в момент времени t_n

T(x_i, t_n) = T_iⁿ

t = t_n = nτ

где i – индекс пространственный.

n – временной индекс.

τ- разность по времени.

Заменим дифференциальные операторы в уравнении 3 на их аналоги.

F(x+∆x)=f(x) + (….

T_i+1=T_i +∆x

=

Правая разность

Если из правой разности убрать левую получим центральную разность, которая будет точнее

=

первая и вторая производная теплопроводности

Подставляем в уравнение (3)

(5)

В уравнении 3 мы имеем первую производную температуры по времени

(6)

Получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Решаем полученную систему уравнений:

Трансформируем СЛАУ, заменив константы при температуре a,b,c и f преобразуем уравнение (4) к виду трехточечных разностных уравнений второго порядка:

(7)

Трёхточечное разностороннее уравнение второго порядка

Допустим существуют такие коэффициенты при которых существует двухточечное уравнение первого порядка :

(8)

Понизим пространственный коэффициент i на 1:

Подставим коэффициент в исходное уравнение и получим

(9)

Таким образом, находим остаточные прогоночные коэффициенты α и β.

(10)

Неизвестные α₁ и β₁ определяются из левого граничного условия

T_N-1 ⁿ⁺¹, T_N-2 ⁿ⁺¹, … , T₂ⁿ⁺¹ по формуле (7)