11. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий устойчивости Михайлова.

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.61). Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде: y(t) = y_вын(t) + y_св(t). Здесь yсв(t) - общее решение однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с нулевой правой частью:a_oy⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + ... + a_(n-1)y’ + a_(n)y = 0.

Алгебраические критерии устойчивости позволяют по корням характеристического уравнения А(р)судить об устойчивости системы:

А(р)=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀,

здесь А(р)– знаменатель

В свою очередь алгебраические критерии устойчивости делятся на:

1. Критерий устойчивости Рауса.

2. Критерий устойчивости Гурвица.

Критерий устойчивости Рауса: для асимптотической устойчивости системы управления необходимо и достаточно выполнение условий Рауса:

• a_n > 0, a_n-1 > 0, > 0,и т.д.

Критерий устойчивости Гурвица: для асимптотической устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы приan> 0 все диагональные определители матрицы Гурвица были> 0.

Для первого и второго порядков условия Рауса и Гурвица требуют положительности всех коэффициентов уравнения.

Критерий устойчивости Рауса наиболее экономичен по объему вычислений, удобен для программирования, поэтому широко применяется для анализа задач устойчивости на ЭВМ.

Эти критерии позволяет рассчитывать пакет прикладных программ ТАУ-2.

Алгебраические критерии не позволяют судить об удалённости системы от границ устойчивости. Интуитивно эту удаленность можно оценить силой неравенств.

Частотные критерии устойчивости базируются на принципе аргумента, который состоит в следующем:

A(p)=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+ … +a₀

A(j)=a_n(j)ⁿ+a_n-1(j)^n-1+ … +a₀

()=arg[A(j)],   (0;)

()-(0)=,

т.е. приращение аргумента комплексного характеристического полинома A(j), при изменении частотыот 0 додолжно удовлетворять этому условию:.

Частотные критерии устойчивости:

• критерий Михайлова

• критерий Найквиста

Критерий Михайлова:

Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф (АФХ) характеристического уравнения системы A(j) при изменении частотыот 0 до, начинаясь на действительной оси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки)nквадрантов, или же поворачивался на уголв положительном (против часовой стрелки) направлении.

Примеры годографов устойчивых систем nпорядка:

На границе устойчивости система будет находиться тогда, когда годограф Михайлова будет проходить через начало координат:

Гр.уст.

Выводы:1)изменение коэффициента передачи в системе смещает годограф влево или вправо, т.е. изменяя К можно менять устойчивость системы.

2)с увеличением порядка nсистемы более 4 (n=5,6,…) объем вычислений годографа Михайлова резко возрастает, поэтому лучше использовать более эффективные методы и критерии устойчивости.

1. алгебраические критерии устойчивости используются при

2. критерий Михайлова удобно применять при исследовании сложных многоконтурных систем, когда необходимо выяснить влияние изменения структуры системы на ее устойчивость

3. используя критерии устойчивости, можно определить параметры СУ, выводящие ее на границу устойчивости.