6.2. Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений.

Покажем, что первый инвариант девиатора напряжений равен нулю.

^{= +}

^{= +}

Рисунок 1 - Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке на шаровой тензор и девиатор напряжений.

^{= +}

^{= +}

Рисунок 2 - Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений.

7. Графическое изображение положения произвольно ориентированных площадок относительно главных осей.

3

у

z

1

3

x

Направляющие косинусы главных площадок:

первый a₁′= +0,684; a₂′= -0,705; a₃′= +0,187;

α₁′= 46,85°; α₂′= 134,84°; α₃′= 79,21°;

второй a₁′′= -0,341; a₂′′= -0,082; a₃′′= +0,936;

α₁′′= 109,64°; α₂′′= 94,72°; α₃′′= 20,54°;

третий a₁′′′= +0,645; a₂′′′= +0,704; a₃′′′= +0,297;

α₁′′′= 49,84°; α₂′′′= 45,23°; α₃′′′= 72,74°.

Рисунок 3 – Графическое изображение положения произвольно ориентированных площадок относительно главных осей.

7. Вычисление главных касательных напряжений.

Главные касательные напряжения действуют в площадках, наклоненных под углом 45° к главным осям, вдоль которых направлены главные нормальные напряжения. Определяются они как полуразность двух соответствующих главных нормальных напряжений

Подставив численные значения получим:

(МПа)

(МПа)

(МПа)

Выполним проверку из условия, что сумма главных касательных напряжений равна нулю:

0=0

7. Вычисление интенсивности напряжений для главных и произвольно ориентированных площадок.

Интенсивность нормальных σ_i и касательных τ_i напряжений определяется по формулам

1. Вычисление интенсивности напряжений для произвольно ориентированных площадок

9.2. Вычисление интенсивности напряжений для главных площадок

7. Вычисление значения нормального и касательного октаэдрических напряжений.

Октаэдрические нормальное σ₀ и касательное τ₀ напряжения действуют в площадках, равнонаклоненных к осям координат, и определяются по формулам

Подставив численные значения получим

(МПа)

11. Построение по вычисленным главным напряжениям σ_1, σ₂ и σ_3. кругов Мора. Определение графически точку, соответствующую октаэдрической площадке. Сравнить результаты теоретического (аналитического) и графического решений, оценить погрешность.

Построение приведено на рисунке 4.

Точка Р, определенная графически, имеет значения:

σ₀^г=64 МПа; τ₀^г=88 МПа.

Аналитическое (теоретическое) значения октаэдрического напряжения составляет:

σ₀=63,3 МПа; τ₀=90,3 МПа.

Абсолютная погрешность составляет:

для нормальных октаэдрических напряжений

для касательных октаэдрических напряжений

Погрешность может быть связана с неточностями построения кругов Мора.

11. Определение с помощью кругов Мора графически значения нормального и касательного напряжений, действующих на площадке с направляющими косинусами:a₁=0,5; a₂=0,707; a₃=0,5.

Построение приведено на рисунке 5.

Точка Р, определенная графически, имеет значения:

σ_п=71 МПа; τ_п=78 МПа.

11. Построение эллипсоида напряжений в главных осях.

Построение приведено на рисунке 6.

σ₁

σ₂

σ₃

1

3

2

σ₁=157,6 МПа; σ₂=90,8 МПа; σ₃= -58,4 МПа.

Рисунок 6 – Эллипсоид напряжений.

11. Сводная таблица напряжений и направляющих косинусов.

Номер нижнего индекса	1	2		3
Инварианты I, МПа	190	200		-836000
Главные нормальные напряжения σ, МПа	90,7971628	-58,415418		157,618255
Направляющие косинусы
a′	0,683967403	-0,705103241		0,187131
a′, град	46,85	134,84		79,21
a′′	-0,341017816	-0,082266243		0,936450273
a′′, град	109,94	94,72		20,54
a′′′	0,644899559	0,704316466		0,296720196
a′′′, град	49,84	45,23		72,74
Гидростатическое давление p, МПа	-63,333333
Главные касательные напряжения τ, МПа	τ12=33,410546	τ23=16,1908726		τ31=49,601419
Интенсивность напряжений
для произвольно ориентированных площадок, МПа	σi=191,5724406		τi=110,6044002
для главных площадок, МПа	σi=191,5724406		τi=110,6044002
Октаэдрическое напряжение
МПа	σ0=63,333		τ0=90,30811456