4.1. Вычисление направляющих косинусов нормалей для первой главной площадки.
Найдем значения
и
,
решив два уравнения системы.
Каждое уравнение системы делим на a’3 и вводим обозначение
,
.
;
.
Подставив численные значения получим
;
.
Найдем значения направляющих косинусов для первой площадки
Выполним проверку полученных значений из условия что:
1,0=1,0
Посчитаем значение углов в градусах
α'1=arcos(
)=arcos(0,683968)=
46,85°
α'2=
arcos(
)=arcos(-0,7051032)=
134,84°
α'3=
arcos(
)=arcos(0,187131)=
79,21°
4.2. Вычисление направляющих косинусов нормалей для второй главной площадки.
Найдем значения
и
,
решив два уравнения системы.
Каждое уравнение системы делим на a’’3 и вводим обозначение
,
.
;
.
Подставив численные значения получим
;
.
Найдем значения направляющих косинусов для второй площадки
Выполним проверку полученных значений
Первую из условия что:
1,0=1,0
Вторую из условия что:
0=0
Посчитаем значение углов в градусах
α''1=arcos(
)=arcos(-0,341017816)=
109,94°
α
''2=
arcos(
)=arcos(-0,082266243)=
94,72°
α''3=
arcos(
)=arcos(0,936450273)=
20,54°
4.3. Вычисление направляющих косинусов нормалей для третьей главной площадки.
Найдем значения
и
,
решив два уравнения системы.
Каждое уравнение системы делим на a’’’3 и вводим обозначение
,
.
;
.
Подставив численные значения получим
;
.
Найдем значения направляющих косинусов для третьей площадки
Выполним проверку полученных значений
Первую из условия что:
1,0=1,0
Вторую из условия что:
0=0
Посчитаем значение углов в градусах
α'''1=arcos(
)=arcos(0,644899559)=
49,84°
α'''2=
arcos(
)=arcos(0,704316466)=
45,23°
α'''3=
arcos(
)=arcos(0,296720196)=
72,74°
Запись тензора напряжений, заданного компонентами в главных площадках σ1, σ2, σ3. Вычисление гидростатического давления.
Тензор напряжений, заданный компонентами в главных площадках σ1, σ2, σ3 запишется в виде
Подставив значения главных напряжений, получим:
(МПа)
Гидростатическое давление вычисляется по формуле:
Подставив значения главных напряжений, получим:
(МПа)
Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке и в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений.
Тензор напряжений Tσ можно представить в виде двух слагаемых
,
где
- среднее напряжение;
Tσ° - шаровый тензор напряжений;
Dσ – девиатор напряжений.
Шаровый тензор определяет напряженное состояние всестороннего растяжения или сжатия, которое вызывает лишь чисто упругое изменение объёма тела без изменения его формы.
Девиатор напряжений определяет напряжённое состояние, вызывающее пластическое формоизменение твёрдого тела без изменения его объёма, Особенностью девиатора является равенство нулю его первого инварианта I1(Dσ).
6.1. Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке на шаровой тензор и девиатор напряжений.
(МПа)
Покажем, что первый инвариант девиатора напряжений равен нулю.
