4. Матрицы. Системы линейных уравнений

4.1. Числовые матрицы Основные понятия и определения

● –матрица размера , гдеn – число строк, m – число столбцов матрицы, в которых расположены элементы матрицы ,

● Если , то матрица называетсяквадратной.

● Элементы образуютглавную диагональ, а элементы образуютпобочную (вспомогательную) диагональ квадратной матрицы.

● Единичная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением элементов главной диагонали, которые равны 1.

● Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной.

● Симметрическая – это квадратная матрица, у которой элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны между собой.

● Матрица, у которой все элементы нули, называется нулевой матрицей и обозначается 0.

● Если – квадратная матрица, то число, образованное из всех ее элементов по определенному закону, называетсяопределителем (детерминантом) этой матрицы и обозначается

.

● Если , то матрицаА называется особой (вырожденной). Если , тоА – невырожденная матрица.

● Минором элемента называется определитель (n–1)-гопорядка, образованный из определителя n-го порядка вычеркиванием I-ой строки и j-го столбца и обозначается .

● Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента, взятый со знаком «+» или «–» в зависимости от четности или нечетности суммы индексов этого элемента:

4.2. Свойства определителей

1. Определитель не изменяется, если заменить строки на соответ-ствующие столбцы, т. е. Следовательно, строки и столбцы определителяравноправны.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак:

3. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на число 0, то и определитель изменится враз, т. е.

Следствие. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

4. Определитель равен нулю, если элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю.

5. Если элементы одной строки (столбца) пропорциональны (или равны) соответствующим элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

Действительно,

6.

7. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число 0:

8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю, т. е. если то, например,

9. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Например, если то

Это последнее равенство называется разложением определителя по элементам первой строки.

Отсюда следует, что определитель 2-го порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов, расположенных на побочной диагонали:

Аналогичные рассуждения позволяют вычислить определитель 3-го порядка:

Знак «плюс» имеют произведения элементов, принадлежащих главной диагонали, и два произведения элементов, образующих в данном опре-делителе треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали (рис. 23, а), а знак «минус» имеют произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными побочной диагонали (рис. 23, б).

Рис. 23, а Рис. 23,б

Пример.