14. Теория вероятностей. Справочные материалы для решения задач

№№

п/п

Понятия, обозначения

Содержание, формула

1

Множество

Множество – совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества:

2

Дополнение (не )

содержит все элементы, не принадлежащие

3

Равенство множеств

Два множества иравны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов

4

Объединение (сумма) множеств

Множество состоит из всех элементов, принадлежащих или множеству, или множеству_, или и иодновременно

5

Пересечение (произведение) множеств

Множество состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множествуи множеству

6

Разность двух множеств

состоит из элементов множества , которые не являются элементами множества

7

Эквивалентные множества

Два множества называются эквивалентными, если между ними установлено взаимно-однозначное соответствие.

8

Счетные множества

Бесконечные множества, эквивалентные множеству натуральных чисел

9

Перестановки. Число перестановок

Соединения, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок из элементов, где

10

Размещения. Число размещений

Соединения из различных элементов по, отличающихся друг от друга составом элементов либо их порядком, называются размещениями. Число размещений изпо

11

Сочетания. Число сочетаний

Соединения из различных элементов по, отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Число сочетаний изпо

;

;

12

Стохастический эксперимент

Это опыт (испытание), результат которого заранее не определен

13

Достоверное событие

Результат, который обязательно наступает при осуществлении данного комплекса условий (опыта, эксперимента) называется достоверным событием

14

Случайное событие

Это событие, которое может произойти, а может и не произойти в данном испытании

15

Невозможное событие

Это событие, которое не может произойти при данном комплексе условий

16

Относительная частота события

Отношение числа экспериментов ,завершившихся событием , к общему числу проведенных экспериментов

17

Статистическое определение вероятности

Если при неограниченном увеличении числа экспериментов относительная частота события стремится к некоторому фиксированному числу, то событие стохастически устойчиво и это числоназывают вероятностью события

18

Определение вероятности в классической схеме

, где – число исходов стохастического эксперимента, благоприятствующих наступлению события,– общее число всех равновозможных исходов

19

Вероятность суммы (объединения), двух событий и

20

Вероятность произведения двух зависимых событий и

,

где– условная вероятность событияпри условии, что событиес ненулевой вероятностью произошло

21

Независимые события и

Это такие события, для которых и .

Следовательно,

22

Схема Бернулли

Стохастический эксперимент состоит из последовательности независимых и одинаковых испытаний, в каждом из которых может произойти событие или событие, ему противоположное с вероятностями соответственно равными и

23

Формула Бернулли

Вероятность того, что в серии из испытаний событие появится ровно раз

Вероятность того, что при испытаниях появляется не менее и не более раз вычисляется по формуле:

24

Формула Пуассона

При достаточно большом и малом (если (таблица 1)

(таблица 2)

25

Локальная формула Муавра-Лапласа

При достаточно большом и не слишком малых и

, где и;(таблица 3)

26

Интегральная формула Муавра – Лапласа

,

где ;;;(таблица 4)

27

Понятие случайной величины

Случайной величиной называют переменную величину, которая принимает числовые значения в зависимости от исходов испытания случайным образом.

28

Понятие дискретной случайной величины (ДСВ )

ДСВ – случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, то есть численные значения которой образуют конечное или счетное множество.

29

Закон распределения дискретной случайной величины

Соответствие между значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения и может быть задан таблично или аналитически (то есть с помощью формул). Если ДСВ принимает конечное множество значенийсоответственно с вероятностями, то ее закон распределения определяется формулами

, и

Если ДСВ принимает бесконечную последовательность значенийсоответственно с вероятностями, то ее закон распределения определяется формулами

, и

30

Понятие непрерывной случайной величины (НСВ )

НСВ – случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого промежутка, то есть множество значений непрерывной случайной величины несчетно.

31

Функция распределения. Свойства функции распределения

Функцией распределения случайной величины называется функция действительного переменного , определяемая равенством , где - вероятность того, что случайная величина принимает значение, меньше .

Функция распределения для ДСВ , которая может принимать значения c соответствующими вероятностями имеет вид, где символозначает, что суммируются вероятноститех значений, которые меньше .

Функция является разрывной.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения является непрерывно дифференцируемой.

Вероятность того, что СВХ примет значение из промежутка , равна разности значений ее функции распределения на концах этого полуинтервала:

Свойства функции распределения

1.

2. Если , то, то есть функция распределения является неубывающей.

31

Функция распределения. Свойства функции распределения

3. Функция в точкенепрерывна слева, то есть ;

4. Если все возможные значения СВХ принад-лежат интервалу , топри,

при

5. Если все возможные значения СВХ принад-лежат бесконечному интервалу , то

;

Если – непрерывная случайная величина, то вероятность того, что она примет одно заданное определенное значение, равна нулю:

Отсюда следует, что для непрерывной случайной величины выполняются равенства:

32

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Свойства функции плотности распределения.

Плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) вероятностей НСВ в точке называют предел отношения вероятности попадания значений этой величины в интервал к длине этого интервала, когда последняя стремится к нулю:

Следовательно, , то есть плотность распределения есть первая производная от функции распределения НСВХ.

Вероятность того, что НСВХ примет значение, принадлежащее интервалу , определяется равенством

32

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Свойства функции плотности распределения.

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения

Свойства функции плотности

1. Плотность распределения- неотрицательная функция, то есть

2. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку от функции плотности вероятностей равен единице:

3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку , то, так как вне этого промежутка

33

Математическое ожидание

Для ДСВ равно сумме произведений всех ее значений на соответствующие вероятности:

Для НСВ ,

где – функция плотности распределения вероятности.

34

Свойства математического ожидания

1), если

2)

3)

4) Если и – независимые случайные величины, то

35

Дисперсия случайной величины

Разность называется отклонением случайной величины от ее математического ожидания .

Математическое ожидание отклонения равно нулю:

Дисперсией, или рассеянием случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Следовательно, для любой случайной величины

36

Свойства дисперсии

1) ,

2),

3) Если случайные величины и независимы, то

4)

5)

37

Среднее квадратическое отклонение

Среднеквадратическим отклонением, или стандартным отклонением, случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

38

Биномиальное распределение

Закон распределения дискретной случайной величины, определяемой формулой Бернулли

называется биномиальным. Постоянные ,называются параметрами биномиального распределения.

39

Распределение Пуассона

Распределением Пуассона называется распределение вероятностей дискретной случайной величины, определяемое формулой Пуассона , где – параметр распределения.

.

40

Равномерное распределение на интервале

Если значения случайной величины, которые она принимает в конечном промежутке , возможны в одинаковой степени, то плотность распределения вероятностей этой величины постоянна на данном промежутке и равна нулю вне этого промежутка, то есть

Доказано, что

; ;

41

Геометрическое распределение

Геометрическим называется распределение дискретной случайной величины , определяемое формулой

, где , и(Вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем_).

;

42

Показательное распределение

Показательным называется распределение с плотностью вероятностей, определяемой по формуле

где - параметр распределения.

; ;

Замечание. Если – время безотказной работы элемента,- интенсивность отказов, то случайная величинараспределена по экспоненциальному закону с функцией распределения где .определяет вероятность отказа элемента за время. Вероятность безотказной работы элемента за времяравна. Функция называется функцией надежности.

43

Нормальное распределение

Нормальным распределением, или распределением Гаусса, называется распределение с плотностью вероятностей

Постоянные и называются параметрами нормального распределения.

; ;

Вероятность попадания значений нормальной случайной величины в интервале определяется формулой

где – функция Лапласа.

;

44

Нормированное распределение

Нормированным или стандартным называется такое нормальное распределение непрерывной случайной величины, когда функция плотности вероятностей

;

45

Мода случайной величины

Модой ДСВ называется ее наиболее вероятное значение.

Модой НСВ называется то ее значение, при котором плотность распределения вероятностей максимальна.

46

Медиана

Медианой непрерывной случайной величины называется такое ее значение, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше, то есть .

Если прямая является осью симметрии кривой распределения , то

.

47

Начальные моменты

Начальным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -ой степени этой случайной величины: .

Для ДСВ , где .

Начальный момент -го порядка НСВ Х с плотностью распределения определяется формулой :

, где .

48

Центральные моменты

Центральным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -ой степени отклонения этой величины от ее математического ожидания. Если обозначить , то

Для ДСВ ,

если множество этой величины конечно, а если – счетно, то

Для НСВ с плотностью распределения центральный момент -го порядка опре-деляется формулой:

49

Некоторые свойства начальных и центральных моментов

;

;;

50

Асимметрия

Отношение центрального момента 3-го порядка к кубу среднеквадратического отклонения случайной величины называется асимметрией: .

Если распределение случайной величины симметрично относительно ее математического ожидания, то асимметрия равна нулю.

51

Эксцесс

Эксцессом случайной величины называется величина

Для нормального распределения .

Кривые, более островершинные по сравнению с нормальной кривой Гаусса, имеют. У более плосковершинных кривых