5.4. Оценка точности косвенных измерений

Пусть искомая величина f является функцией от измеряемых величин х и у, т. е. f = f(х, у). Тогда наилучшее значение f будет таким:

f = <f> = f(<х>, <у>).

В качестве абсолютной погрешности косвенного определения величины f при этом можно принять величину Δf, вычисляемую по правилам дифференцирования:

Δf =,

где Δх и Δу определяются по формуле (1).

Относительная погрешность определения расчётной величины f

δ_f =/

Пример 1. Пусть . Тогда,.

Пример 2. Пусть , тогда,.

Пример 3. Пусть . Тогда,.

5.5. Обработка экспериментальных результатов

методом наименьших квадратов

Есть много способов оценки среднего значения результатов измерений. Однако при небольших разбросах экспериментальных величин и разного рода их средние будут отличаться друг от друга несильно. Пусть, например, есть два числа: х₁ = 9, х₂ = 10. Тогда их среднее арифметическое

<х>_ар==9,50,

среднее геометрическое

<х>_геом== 9,49,

среднее гармоническое

, т. е. <х>_гарм==9,47,

среднее квадратичное

, т. е. =9,51.

Кроме того, в каждом способе усреднения отдельным числам могут придаваться разные веса, в зависимости от их важности или надёжности. Так например, если число х₁ в два раза надёжнее, чем х₂, то, скажем, в среднем арифметическом ему придаётся вес р₁=2, а числу х₂ – вес р₂=1. И тогда

9,33.

У всех средних есть лишь одно общее свойство:

<< х_max.

Одним из самых распространённых способов усреднения является метод наименьших квадратов (МНК), который, в свою очередь, имеет несколько вариантов. Идея метода наименьших квадратов состоит в следующем.

Пусть теория предсказывает, что зависимость одной физической величины (у) от другой (х) является линейной, т. е. описывается функцией

у = ах + b. (4)

И пусть при экспериментальной проверке линейности (4), а также с целью определения коэффициентов а и b получена серия экспериментальных точек

(х₁, у₁), (х₂, у₂), …,(х_п, у_п), (5)

где п – число измерений. Если п > 2, то задача проведения прямой по множеству этих точек является, вообще говоря, неоднозначной. В связи с этим, возникает задача: каким образом провести прямую, наиболее хорошо проходящую через множество точек (5) ? Термину «наиболее хорошо», или «оптимально», может быть придан разный смысл, т. е. приняты разные критерии оптимальности аппроксимирующей прямой. Обычно принимается следующий критерий: оптимальной считается такая прямая (4), для которой функционал

, (6)

где х_i и y_i – экспериментальные значения х и у (рис. 1).

Условие минимума функционала (6) даёт два уравнения для определения коэффициентов а и b оптимальной прямой:

, . (7)

Дифференцируя (6) сначала по а, а затем по b, получаем:

или:

Отсюда выражаем искомые коэффициенты а и b через координаты экспериментальных точек (5):

.

Замечание. 1. Если, согласно теории, прямая (4) заведомо должна проходить через начало координат, т. е. b = 0, то оптимизируется только наклон прямой, т. е. только коэффициент а. В этом случае из уравнений (7) остаётся только первое. Оно даёт:

Замечание 2. Иногда целесообразно считать оптимальной такую прямую, для которой минимальной является сумма квадратов относительных отклонений от неё всех экспериментальных точек. Тогда, например, для получения оптимальной прямой вида у = ах имеем подлежащий минимизации функционал

.

Полагая , получаем для оптимальногов этом смысле коэффициента а:

.

Замечание 3. Линейная аппроксимация вида (4) является лишь частным случаем многих других аппроксимирующих функций. Так например, если экспериментальную серию точек (5) требуется аппроксимировать квадратичной зависимостью вида

,

то коэффициенты а, b и с оптимальной параболы определяются минимизацией функционала

по параметрам а, b и с, т. е. из системы уже трёх уравнений:

, ,.