5. Постоянный ток

5.1. Базовые соотношения

Определение тока: .

Плотность тока: j = neυ, .

Закон Ома: i = u/R.

Сопротивление цилиндрического проводника: .

Обобщённый закон Ома: iR = u₁₂ + .

Закон Джоуля-Ленца: Р = iu = i²R = u²/R.

Уравнения Кирхгофа: ,, гдеи_k = i_k R_k .

Сопротивление безграничной слабопроводящей среды: .

5.2. Задачи

5.1. По медному проводу диаметром D=1 мм течёт ток i = 10 А. Определить среднюю скорость упорядоченного движения электронов (она называется дрейфовой скоростью), считая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Плотность меди = 8900 кг/м³.

5.2. Когда к батарейке подключили амперметр с внутренним сопротивлением r_А, он показал ток I. Если же к батарейке подключить вольтметр с внутренним сопротивлением r_V, то он покажет напряжение U. Определить ток короткого замыкания батарейки I_0.

5.3. Напряжение на генераторе, измеренное идеальным вольтметром, равно 6 В. При подключении к генератору резистора вольтметр показал 3 В. Какое напряжение будет на генераторе, если к нему подключить два таких резистора, соединённых: а) параллельно; б) последовательно?

5.4. ЭДС генератора равна . Когда к нему подключили нагрузку с сопротивлением R, то по ней пошёл ток I. Какой ток I' пойдёт через нагрузку, если ее сопротивление уменьшить вдвое?

5.5. Измерительный прибор (гальванометр) с внутренним сопротивлением r = 800 Ом имеет шкалу, отградуированную до тока i₀ = 100 мкА. Как и какой величины надо подключить к нему резистор R, чтобы изготовить: а) амперметр на токи до 2 А; б) вольтметр на напряжения до 20 В?

5.6. Измерительный прибор (гальванометр) с внутренним сопротивлением r = 800 Ом имеет шкалу, отградуированную до напряжения и₀ = 100 мВ. Как и какой величины надо подключить к нему резистор R, чтобы изготовить: а) амперметр на токи i до 2 А; б) вольтметр на напряжения u до 20 В?

5.7. Дом подключен к магистральной линии проводами, сопротивление которых равно 1 Ом. Напряжение в магистрали постоянно и равно 220 В. Определить суммарную допустимую мощность, потребляемую в доме, чтобы напряжение в доме не упало ниже 200 В.

5.8. ЭДС генератора  = 2 В, а его внутреннее сопротивление r = 1 Ом. Внешняя нагрузка потребляет мощность Р = 0,75 Вт. Найти ток в цепи.

5.9. К генератору с ЭДС  и внутренним сопротивлением r подключается нагрузка. При каком сопротивлении нагрузки R с генератора можно взять максимальную мощность? Чему она равна? Каков при этом КПД генератора?

5.10. Два одинаковых параллельно соединённых резистора R₁ = R₂ = R потребляют от генератора такую же суммарную мощность, как и подключённый только один. Определить внутреннее сопротивление генератора r.

5.11. Генератор с ЭДС  = 6 В соединен с нагрузкой. Выходное напряжение генератора и = 5 В, ток I = 2 А. Определить тепловую мощность, выделяемую в генераторе.

5.12. При поочерёдном подключении к генератору резисторов R₁ = 200 Ом и R₂ = 500 Ом на них выделяется одинаковая мощность Р = 200 Вт. Определить ток короткого замыкания генератора i_к.з.

5.13. Генератор мощностью Р₀ = 5000 кВт передает энергию по двум медным проводам заводу, находящемуся на расстоянии l = 250 км. Допустимая потеря мощности в линии (т. е. в проводах) ε = Р_л /Р₀ = 2%. Определить диаметр провода D, если энергия передается под напряжением: a) u₀ = 10 кВ; б) u₀ = 100 кВ. Удельное сопротивление меди  = 0,017 Оммм²/м.

5.14. Первая электроплитка потребляет мощность Р₁, а вторая – Р₂. Какую мощность Р они будут потреблять при их последовательном соединении, если считать, что сопротивления их спиралей не зависят от температуры? Каково при этом будет отношение падающих на них мощностей?

5.15. На одной лампе написано "220 В, 40 Вт", а на другой "220 В, 100 Вт". Какие мощности Р₄₀ и Р₁₀₀ будут выделяться на "40-ваттной" и "100-ваттной" лампах при их последовательном включении в сеть 220 В? Сопротивления ламп считать не зависящими от температуры.

5.16. Генератор имеет выходное напряжение и = 2 кВ и передает в линию электропередачи мощность Р = 100 кВт. Определить КПД линии , если ее сопротивление r = 20 Ом. Каков будет КПД, если r = 40 Ом?

5.17. Через резистор пропускается заряд q с постоянной скоростью i = Δq/Δt. Как изменится тепло Q, выделившееся на резисторе, если время прохождения заряда сократить в два раза ?

5.18. Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения u, разряжают через цепочку двух последовательно соединенных резисторов сопротивлениями R₁ и R₂. Сколько тепла выделится на каждом резисторе?

5.19. Конденсатор емкостью С заряжается через резистор сопротивлением R от генератора с ЭДС . Сколько тепла выделится на резисторе?

5.20*. Конденсатор заряжается через резистор сопротивлением R от генератора с ЭДС . При каком напряжении и_С на конденсаторе скорость роста его энергии максимальна?

5.21. При положительном напряжении на диоде ток через диод и напряжение на нём связаны соотношением i = αu_д², где ток i – в амперах, напряжение u_д – в вольтах, коэффициент  = 0,5. Вычислить ток i в цепи, если этот диод через сопротивление R = 1 Ом подключен к генератору с ЭДС  = 4 В.

5.22. Лампочка накаливания имеет нелинейную зависимость тока от напряжения i(u), показанную на рис. 5.1. Лампочку подключили к генератору с ЭДС  = 6 В через резистор сопротивлением R = 2 Ом. Определить мощность Р, выделяемую на лампочке.

5.23*. Электромотор питается напряжением и = 24 В. При токе i = 8 А мощность на валу мотора Р_мех = 96 Вт. Какой ток i₀ пойдет через обмотку мотора, если его ротор остановить?

5.24*. Электромотор питается постоянным напряжением u = 24 В. Сопротивление обмотки его якоря r = 6 Ом. Ток через обмотку зависит от нагрузки мотора. При каком токе i через обмотку полезная мощность Р_мех на валу будет максимальной? Чему она равна? Каков при этом КПД мотора?

5.25*. Электромотор питается постоянным напряжением. Пусковой ток мотора (т. е. ток при заторможенном роторе) i₀ = 15 A, а в установившемся режиме некоторой нагрузки i = 6 А. Определить КПД мотора при этой нагрузке.

5.26. Определить погонное сопротивление утечки R₀ коаксиального кабеля, заполненного слабопроводящим веществом с удельной проводимостью λ = 1,6·10⁻⁷ (Ом·м)⁻¹. Радиусы проводников кабеля R₁ = 1 мм, R₂ = 2,7 мм.

5.27. Определить сопротивление R₀ между двумя вершинами тетраэдра, составленного из шести одинаковых резисторов сопротивлением R.

5.28. Сопротивление каждой стороны проволочного куба равно R. Используя симметрию схемы, определить сопротивление R₀ между вершинами куба: а) противоположными; б) лежащими на диагонали грани; в) соседними.

5.29*. Из трёх проволок сопротивлением R=48 Ом каждая сделали три одинаковых кольца и симметрично соединили их в шести точках, как показано на рис. 5.2. Определить сопротивление полученной цепи между узлами А и В.

5.30*. Определить сопротивления R₀ цепочек, показанных на рис. 5.3, если сопротивление каждого резистора в них равно R.

5.31*. Определить сопротивление R₀ системы резисторов, показанных на рис. 5.4, если сопротивление каждого резистора равно R.

5.32*. Определить сопротивление R₀ цепи, показанной на рис. 5.5, если сопротивление каждого резистора равно R.

5.33*. Используя симметрию цепи, изображенной на рис. 5.6, найти её общее сопротивление R₀. Сопротивления резисторов указаны на рисунке.

5.34. Найти напряжение на конденсаторе С в схеме, показанной на рис. 5.7, если и =5 В, r = 1 Ом, R₁ = 2 Ом, R₂ = 4 Ом.

5.35*. Как изменится ток i₂ в цепи, показанной на рис. 5.8, если сопротивление R₃ увеличить?

5.36. В цепи, показанной на рис. 5.8, R₁ = 20 Ом, R₂ = 30 Ом. При каком R₃ выделяемая на нём тепловая мощность будет максимальной?

5.37. Найти ток i₁ в цепи, изображённой на рис. 5.9, если R₁ = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = 3 Ом, а потенциалы на концах φ₁ = 3 В, φ₂ = 8 В, φ₃ = 1 В.

5.38. В мостовой цепи, показанной на рис. 5.10, напряжение и = 24 В, R₁ = 1 Ом, R₂ = R₃ = 2 Ом, R₄ = 6 Ом. Определить напряжение и_ab.

5.39. В мостовой цепи, показанной на рис. 5.11, напряжение и = 20 В, R₁ = R₄ = 10 Ом, R₂ = R₃ = 5 Ом. Найти ток i_ab , используя симметрию цепи.

5.40. В мостовой цепи, показанной на рис. 5.11, R₁ = 1 Ом, R₂ = 3 Ом, R₃ = 2 Ом. При каком сопротивлении R₄ ток в перемычке ab будет нулевым?

5.41. В мостовой цепи, показанной на рис. 5.11, напряжение и = 25 В, R₁ = 3 Ом, R₂ = 4 Ом, R₃ = 1 Ом, R₄ = 2 Ом. Найти ток i_ab.

5.42*. В цепи, показанной на рис. 5.11, R₁ = R, R₂ = R₃ = R₄ = 5R, ток i_ab = 1 А. Найти общий ток i₀ между входными выводами схемы.

5.43. Найти напряжение на конденсаторе в цепи, показанной на рис. 5.12, если и = 5 В, а сопротивления всех резисторов одинаковы.

5.44. В цепи, показанной на рис. 5.13, напряжение и = 1 В, R₁ = 1 Ом, R₂ = 6 Ом, R₃ = 6 Ом, R₄ = 4 Ом. Найти ток i₀.

5.45. В цепи на рис. 5.14, u_аb = 3 В, R = 4 Ом. Определить ток i.

5.46*. В схеме, показанной на рис. 5.15, R₁ = 2 Ом, R₂ = 3 Ом, R₃ = 6 Ом, ток i₀ = 6 А. Определить токи i' и i''.

5.47*. Сопротивление каждой стороны ячейки схемы, показанной на рис. 5.16, равно R. Ток в указанной на рис. 5.16 стороне равен i. Используя симметрию схемы, найти: 1) напряжение u_ab между точками a и b; 2) результирующий ток i_ab; 3) сопротивление R_ab.

5.48. Найти показание амперметра в цепи на рис. 5.17, если вольтметр показывает 6 В, а сопротивления R₁ = 2 Ом, R₂ = R₃ = 1 Ом. Амперметр и вольтметр полагать идеальными.

5.49. Три одинаковые батарейки с ЭДС = 2 В и внутренними сопротивлениями r = 1 Ом соединили в замкнутую цепь, как показано на рис. 5.18. Что покажет вольтметр, подключенный к одной из батареек?

5.50. К цепи, показанной на рис. 5.19, приложено постоянное напряжение u = 5 В. ЭДС = 10 В, ёмкости С₁ = 1 мкФ, С₂ = 2 мкФ. Определить напряжения и на конденсаторах.

5.51. Имеются два генератора с одинаковыми ЭДС  и внутренними сопротивлениями r. При каком их соединении – параллельном или последовательном – ток на внешней нагрузке R будет бóльшим?

5.52. При каком сопротивлении R (рис. 5.20) выделяемая на нём тепловая мощность будет максимальной, если R₁ = 10 Ом, R₂ = 40 Ом?

5.53. При каком сопротивлении R₂ ток через генератор ₂ (рис. 5.21) будет равен нулю, если ₁ = 2 В, ₂ = 1 В, R₁ = 1 Ом ?

5.54. При каком сопротивлении R напряжение на выводах одного из генераторов (рис. 5.22) будет равно нулю, и у какого именно? ЭДС и внутренние сопротивления генераторов: ₁ = 2 В, ₂ = 3 В, r₁ = 3 Ом, r₂ = 6 Ом

5.55. При каком сопротивлении R ток через один из генераторов (рис. 5.23) будет равен нулю, и через какой именно? ЭДС и внутренние сопротивления генераторов: ₁ = 1 В, ₂ = 2 В, r₁ = 2 Ом, r₂ = 1 Ом.

5.56. В цепях, показанных на рис. 5.24, известны ЭДС и внутренние сопротивления генераторов:  ₁ = 10 В, ₂ = 5В, r₁ = 3 Ом, r₂ = 2 Ом. Найти напряжения u_ab в каждой из этих цепей.

5.57. Найти напряжение и_ab в цепи, показанной на рис. 5.25, где  = 11 В.

5.58. Найти токи в ветвях цепи (рис. 5.26) и напряжение u_ab, если ₁=1 В, ₂=4 В, R₁=30 Ом, R₂=20 Ом, R₃=10 Ом.

5.59. Найти токи в ветвях и напряжения u_ab и u_bс в цепи, показанной на рис. 5.27, если ₁ = 6 В, ₂ = 1 В, R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 1 Ом. Задачу удобно решать численно сразу после записи системы уравнений.

5.60. Определить напряжение u_ab на конденсаторе в цепях, показанных на рис. 5.28, если ₁ = 1 В, ₂ = 2 В, ₃ = 3 В, R₁ = 1 Ом, R₂ = 2 Ом.

5.61. В цепи, показанной на рис. 5.29, ₁ = 1 В, ₂ = 4 В, R₁ = 1 Ом,

R₂ = 2 Ом. Определить напряжение u_аb и ток i в перемычке.

5.62. В цепи, показанной на рис. 5.30, определить напряжение u_ab на конденсаторе, если ₁ = 1 В, ₂ = 4 В, R₁ = 10 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом. Задачу удобно решать численно сразу после записи системы уравнений.

5.63. Определить сопротивление R, при котором ток через резистор R₀ будет нулевым (рис. 5.31), если ₁ = 1 В, ₂ = 4 В, r₁ = 1 Ом, r₂ = 3 Ом.

5.64. Найти токи через резисторы R₃ и R₄ (рис. 5.32), если ₁ = 2 В, ₂ = 4 В, R₁ = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = 3 Ом, R₄ = 4 Ом.

5.65*. Источником энергии в электроцепи автомобиля является генератор и соединённый с ним параллельно аккумулятор (_ак, r_ак) (рис. 5.33). ЭДС генератора  = 14 В, а его внутреннее сопротивление r = 0,05 Ом; ЭДС аккумулятора _ак = 12 В. При каком токе i, потребляемом нагрузкой R, аккумулятор будет разряжаться?

5.66. Воздух между двумя пластинами ионизируется излучением. Объём между пластинами V = 500 см³, ток насыщения в цепи пластин i = 0,48 мкА. Определить число пар ионов , создаваемых излучением в единице объёма (в 1 см³) за единицу времени (за 1 с).

5.67. Деталь надо покрыть слоем хрома толщиной h = 30 мкм. Сколько времени должно длиться хромирование, если допустимая плотность тока j = 200 мА/см² ? Плотность хрома ρ = 7200 кг/м³, а его электрохимический эквивалент k = 0,18 мг/Кл.

Замечание. Электрохимический эквивалент – это коэффициент между массой выделившегося при электролизе вещества и зарядом, прошедшим через электролит: m = kq (закон электролиза).

5.68*. Каков расход электроэнергии W (кВт·ч) на получение 1 кг алюминия, если электролиз ведётся при напряжении и = 5 В? Электрохимический эквивалент алюминия k = 0,093 мг/Кл. Сколько времени длится получение 1 кг алюминия при токе ванны i = 40 кА?

Замечание. По закону электролиза, m = kq.

5.69*. Две большие параллельные незаряженные металлические пластины, находящиеся на расстоянии d друг от друга, соединены проводящей перемычкой. Между ними параллельно им находится третья тонкая пластина, несущая заряд q, равномерно распределённый по её поверхности (рис. 5.34). Среднюю пластину сместили на расстояние x. Какой заряд q пройдёт при этом по перемычке? Какой ток i пойдёт по перемычке, если среднюю пластину равномерно двигать вправо со скоростью υ?