13. Установившиеся синусоидальные процессы

13.1 Базовые соотношения

Закон Ома в комплексной форме: .

Импеданс активного сопротивления: Z_R = R.

Импеданс индуктивности: Z_L = jωL.

Импеданс ёмкости: Z_C = −j/(ωC).

При последовательном соединении двух элементов: .

При параллельном соединении двух элементов: .

Импеданс двухполюсника: Z = r + jx =.

Закон Ома в модулях: .

Рассеиваемая мощность: .

Для последовательной цепи RLC:

− амплитуда тока: ,

− импеданс: ,

− полное сопротивление: ,

− фазовый сдвиг между током и напряжением: .

Эффективное значение периодического тока: .

Эффективное значение синусоидального тока: I_эф = .

Ширина резонансной кривой: Δω = ω₂ − ω₁ = ω₀/Q.

13.2 Задачи

13.1. К мостовой цепи, показанной на рис. 13.1, приложено напряжение и_вх = U sin ωt. Какое напряжение и_ab установится между точками a и b ? Диоды считать идеальными.

13.2. В контуре RLC происходит установившийся процесс под действием внешнего синусоидального напряжения. Определить напряжение на конденсаторе и_С в момент максимума тока.

13.3. К последовательной цепи RC приложено напряжение u=U sinωt, где U = 100 В. При R = 100 Ом амплитуда установившегося тока I = 0,5 А. Найти: 1) разность фаз между током и приложенным напряжением;

2) амплитуды напряжений U_R и U_C. Записать выражение для тока в цепи. Изобразить векторную диаграмму токов и напряжений в цепи.

13.4. Катушку с активным сопротивлением r=10 Ом включили в сеть 220 В. Ток через катушку оказался равным 1 А. Найти: 1) индуктивность катушки; 2) мощность, рассеиваемую в ней. Изобразить векторную диаграмму тока и напряжения на катушке.

13.5. Полное сопротивление катушки 50 Ом, а её индуктивное сопротивлениеХ_L = 30 Ом. Катушка включена в сеть 220 В. Найти разность фаз между током и напряжением и выделяемую в катушке мощность.

13.6. Катушка, имеющая активное сопротивление r = 50 Ом, включена в сеть 220 В, и на ней рассеивается мощность Р = 500 Вт. Определить индуктивность катушки.

13.7. Лампочку мощностью Р = 100 Вт, рассчитанную на напряжение 220 В, включили в сеть 380 В последовательно с конденсатором, обеспечивающим на лампочке напряжение 220 В. Найти ёмкость конденсатора и напряжение на нём. Построить векторную диаграмму напряжений в цепи.

13.8. К параллельной цепи RC приложено напряжение . Определить установившийся ток в цепии токи в ветвяхи. Вычислить полное сопротивление цепии построить график. Изобразить векторную диаграмму токов и напряжений в цепи. Вычислить выделяемую в цепи мощность.

13.9. К параллельной цепи RL приложено напряжение . Определить установившийся ток в цепии токи в ветвяхи. Вычислить полное сопротивление цепии построить график. Изобразить векторную диаграмму токов и напряжений в цепи. Вычислить выделяемую в цепи мощность.

13.10. Конденсатор ёмкостью С = 1 мкФ с последовательно присоединённым к нему резистором включены в сеть 220 В. Определить сопротивление резистора R, при котором в цепи будет выделяться максимальная мощность, и определить эту мощность. Вычислить напряжения на конденсаторе и резисторе. Построить векторную диаграмму напряжений в цепи.

13.11. Катушка индуктивностью L = 318 мГн с внутренним активным сопротивлением r = 40 Ом соединена последовательно с резистором, и эта цепочка включена в сеть 220 В. Определить сопротивление резистора R, при котором в цепи будет выделяться максимальная мощность, и определить эту мощность. Построить векторную диаграмму напряжений в цепи.

13.12. Катушка индуктивностью L = 96 мГн с внутренним активным сопротивлением r = 40 Ом соединена последовательно с резистором, и эта цепочка включена в сеть 220 В. Определить сопротивление резистора R, при котором на нём будет выделяться максимальная мощность, и определить эту мощность. Построить векторную диаграмму напряжений в цепи.

13.13. Двухполюсник, состоящий из последовательно соединённых катушки и конденсатора, подключён к сети 220 В. При каком значении ёмкости С напряжение на катушке U_к будет максимальным? Вычислить это напряжение, а также соответствующее напряжение U_С на конденсаторе. Построить векторную диаграмму напряжений на этом двухполюснике. Индуктивность катушки L = 1 Гн, её активное сопротивление r = 100 Ом.

13.14. Двухполюсник, состоящий из последовательно соединённых резистора R = 160 Ом и катушки с внутренним активным сопротивлением, включили в сеть 220 В. Вольтметр показал, что напряжение на катушке 180 В, а на резисторе 80 В. Определить выделяемую на катушке тепловую мощность. Построить векторную диаграмму напряжений.

13.15. При резонансе в последовательном контуре напряжение на конденсаторе в 10 раз превышает напряжение на резисторе. Определить добротность контура.

13.16. К последовательной цепи RLC приложено синусоидальное напряжение амплитудой U = 142 В. Измерено, что U_C = 2U_R, а U_L = 3U_R. Вычислить все эти три напряжения.

13.17. Какую среднюю мощность Р надо подводить к последовательному контуру RLC, чтобы на его собственной частоте поддерживать в нём колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе U_С = 6 В, если

R = 2 Ом, L = 1 мГн, С = 100 нФ ?

13.18. Найти резонансную частоту ω_рез двухполюсника, показанного на рис. 13.2. Вычислить его полное сопротивление на этой частоте. Изобразить векторную диаграмму токов и напряжений для такого двухполюсника. Построить график зависимости(ω).

13.19. Найти резонансную частоту f_рез (Гц) двухполюсника, показанного на рис. 13.3, если L = 32 мГн, R = 1 кОм, С = 320 нФ. Вычислить его полное сопротивление на этой частоте.

13.20. На сколько процентов резонансная частота ω_рез двухполюсника, показанного на рис. 13.4, отличается от собственной , еслиR = 1 Ом, L = 1 мГн, С = 10 мкФ.

13.21*. Имеется последовательная цепь RLC. Определить её активное, реактивное и полное сопротивления, а также фазовый сдвиг φ между током и напряжением: а) на правой; б) на левой границе полосы пропускания Δω, если R=1 Ом.

13.22. Последовательный контур RLC имеет добротность Q = 100. На его резонансной частоте ω₀ выделяемая на нём тепловая мощность максимальна. На сколько процентов надо изменить частоту приложенного к контуру напряжения, чтобы эта мощность уменьшилась в два раза?

13.23. Имеется последовательная цепь RLC. Найти частóты ω_R , ω_L и ω_C, при которых напряжения на резисторе (U_R), на идеальной катушке(U_L) и на конденсаторе (U_C) достигают максимума. Показать, что . Изобразить графики функцийU_R(ω), U_С(ω) и U_L(ω).

13.24. В последовательном контуре RLC ёмкость С = 45 мкФ. Амплитуда приложенного к контуру напряжения остаётся постоянной, а частоту можно менять. На частотах f₁ = 1500 Гц и f₂ = 2500 Гц амплитуда тока в контуре одинакова. Определить индуктивность L.

13.25. На векторной диаграмме напряжений в трёхфазной цепи векторы ,иобразуют симметричную звезду, показанную на рис. 13.5. Методом комплексных амплитуд найти амплитуду напряженияи его фазовый сдвиг φ относительно напряжения.

13.26*. В мостовом фазовращателе, показанном на рис. 13.6, определить амплитуду U_вых и фазу φ выходного напряжения, если u_вх = U_вхsin ωt. При каком соотношении между R и C фазовый сдвиг φ = ±π/2 ? Построить векторную диаграмму напряжений в таком фазовращателе.

13.27*. В мостовом фазовращателе, показанном на рис. 13.7, определить амплитуду U_вых и фазу φ выходного напряжения, если u_вх = U_вхsin ωt. При каком соотношении между R и L фазовый сдвиг φ = ±π/2 ? Построить векторную диаграмму напряжений в таком фазовращателе.

13.28*. Контур содержит конденсатор ёмкостью С и катушку индуктивностью L₁. Катушка магнитно связана с другой, короткозамкнутой катушкой индуктивностью L₂ (рис. 13.8). Их взаимная индуктивность равна М. Методом векторных диаграмм найти частоту ω свободных колебаний в контуре.

13.29. Неоновая лампа начинает светить (зажигается), когда напряжение на ней достигает некоторого порогового значения – напряжения зажигания U_з. Сколько процентов времени будет светить лампа, если её включить в сеть, действующее напряжение в которой равно U_з ? Считать, что при напряжении u< U_з лампа гаснет.

13.30. Паяльник мощностью Р₀ = 50 Вт, рассчитанный на переменное напряжение 127 В, включили через диод в сеть 220 В. Полагая диод идеальным, а сопротивление паяльника постоянным, вычислить мощность Р, выделяющуюся на паяльнике в этом случае.

13.31. Найти тепловую мощность Р в цепи, пока-занной на рис. 13.9, если её включить в сеть 220 В. Сопротивления резисторов R одинаковы и равны по 2 кОм. Диоды считать идеальными.

13.32. Вычислить эффективное I_эф и среднее значения тока, имеющего вид верхней части синусоидыi = I sin ωt (рис. 13.10), − это ток после однополупериодного выпрямления одним диодом, если I = 1 А.

13.33. Вычислить эффективное I_эф и среднее < I > значения пульсирующего тока i = I│sin ωt│ (рис. 13.11), − это ток после двухполупериодного выпрямления диодным мостом, если I = 1 А. Во сколько раз эффективное значение больше среднего?

13.34. Вычислить эффективное I_эф и среднее значения пилообразного тока, показанного на рис. 13.12, если его амплитуда равнаI.

13.35. Вычислить эффективное I_эф и среднее значения импульсного тока , показанного на рис. 13.13, если длительность импульсов равна τ, период –Т, амплитуда – I.

13.36. Найти эффективное I_эф и среднее значения тока, показанного на рис. 13.14 (двухполярный меандр), если его амплитуда равнаI.

13.37*. Для зарядки аккумулятора постоянным током I₀ требуется t₀ часов. Сколько времени понадобится для зарядки такого аккумулятора током, полученным от сети через однополупериодный выпрямитель (этот ток показан на рис. 13.10), если эффективное значение этого тока тоже равно I₀ ?