11. Свободные процессы в контуре

11.1. Базовые соотношения

Уравнение Кирхгофа для контура RLC (рис. 11.1):

и_L + и_R + и_С = 0,

где,,.

Уравнение свободного процесса в контуре RLC :

, (1)

где , − коэффициент затухания,− собственная частота.

Решение уравнения (1) при R < R_кр =,i(0) = 0, и_С(0) = U₀:

,.

где − угловая частота свободных затухающих колебаний,

−амплитуда свободных затухающих колебаний.

Логарифмический декремент затухания: ; δ = βТ.

Время релаксации τ: , отсюда.

Добротность контура: Q = ,.

Условие слабого затухания: β ≪ ω₀, или ω ≈ ω₀.

Условие апериодического режима: R ≥ R_кр=.

Убывание энергии контура: .

11.2. Задачи

11.1. В идеальном контуре С = 1 мкФ, L = 10 мГн. Конденсатор зарядили до напряжения U=20 В и контур замкнули. Найти амплитуду тока I.

11.2. В идеальном контуре LC происходят колебания на частоте f = 16 кГц. Амплитуда тока в контуре I₀ = 10 мА, а амплитуда напряжения U₀ = 10 В. Определить ёмкость конденсатора и индуктивность катушки.

11.3. В идеальном контуре LC конденсатор зарядили и в момент t = 0 контур замкнули. Через какую долю периода энергия катушки: а) сравняется с энергией конденсатора; б) составит треть энергии конденсатора?

11.4. В идеальном контуре LC конденсатор ёмкостью С=1 мкФ зарядили до напряжения U=20 В, а затем контур замкнули. Когда напряжение на конденсаторе уменьшилось в 2 раза, ток i в катушке был равен 100 мА. Определить индуктивность катушки.

11.5. Вычислить собственную частоту f₀ резонатора, показанного на рис. 11.2, полагая, что его ёмкость сосредоточена в пластинах, а индуктивность – в цилиндрической полости. Размеры резонатора: r = 15 мм, а = 16 мм, d = 5 мм.

11.6. Логарифмический декремент затухания определяется как логарифм отношения двух «соседних амплитуд»: δ = ln(I_k /I_k+!). На основе этого показать, что если измерить некоторую амплитуду I_k и следующую за ней через N периодов I_k+N, то .

11.7. На экране осциллографа измерены две амплитуды затухающих колебаний «через одну»: I_k = 11 В, I_k+2 = 10 В, а также период Т = 1 мс. По этим параметрам определить добротность контура Q и время релаксации τ.

11.8. Через сколько колебаний N амплитуда тока в контуре RLC уменьшится в k = 20 раз, если R = 1 Ом, L = 10 мГн, C = 1 мкФ ?

11.9. Через N=30 колебаний амплитуда свободных колебаний в контуре уменьшилась в 20 раз. Определить его добротность.

11.10. Определить время, за которое амплитуда свободных колебаний в контуре с добротностью Q = 100 уменьшится в 20 раз, если частота колебаний f = 316 кГц. Сколько полных колебаний произойдёт за это время?

11.11. Добротность контура Q = 32. Сколько колебаний произойдёт в контуре за время релаксации τ ?

11.12. Показать, что при слабом затухании (β ≪ ω₀) три формулы, определяющие добротность контура RLC: ,и− эквивалентны. Здесь δ – логарифмический декремент затухания,W – энергия, запасённая в реактивных элементах контура на данный момент, ΔW_T – потери этой энергии за текущий период.

11.13. Добротность контура Q = 10. Найти отличие частоты свободных колебаний в этом контуре от его собственной частоты ω₀ в процентах.

11.14. Какую среднюю мощность Р надо подводить к последовательному контуру RLC, чтобы на его собственной частоте поддерживать в нём колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе U_С = 6 В, если R = 1 кОм, L = 12 мГн, С = 6 нФ.

11.15*. В контуре RLC с добротностью Q = 10 происходят свободные колебания. Определить отношение энергий катушки и конденсатора W_L/W_C в момент максимума тока.

11.16. В колебательном контуре R = 2 Ом, L = 10 мГн, C = 1 мкФ. Конденсатор зарядили до напряжения U₀ = 270 В и в момент t = 0 контур замкнули. Исследовать характер свободного процесса в контуре, т. е. определить ток i(t) и построить соответствующий график. Через какое время ток достигнет максимального значения и чему оно равно?

11.17. В колебательном контуре R = 20 Ом, L = 0,1 мГн, C = 1 мкФ. Конденсатор зарядили до напряжения U₀ = 270 В и в момент t = 0 контур замкнули. Исследовать характер свободного процесса в контуре, т. е. определить ток i(t) и напряжение и_С(t) и построить соответствующие графики. Через какое время ток достигнет максимального значения и чему оно равно?

11.18*. Когда сыр небрежно бросили на чашку торговых пружинных весов, стрелка, качаясь с затуханием около равновесия, показала в трёх последовательных крайних отклонениях 600, 300 и 500 г. Определить массу сыра, полагая затухание весов достаточно слабым. Оценить время, за которое при такой небрежности колебания стрелки успокоятся до ±10 г, если период качаний стрелки Т = 1,6 с.

11.19*. Для колебательного контура, показанного на рис. 11.3, выразить через его первичные параметры R, L и C: а) собственную частоту контура; б) коэффициент затухания; в) условие слабого затухания; г) доб-ротность контура. При каком соотношении между R, L и C колебания в этом контуре возможны?

11.20*. Контур содержит конденсатор ёмкостью С и катушку индуктивностью L₁. Катушка магнитно связана с другой, короткозамкнутой катушкой индуктивностью L₂ (рис. 11.4). Их взаимная индуктивность равна М. Найти частоту ω свободных колебаний в контуре.