5. Линейная форма как формула интегрального критерия

Очень часто в качестве формулы интегрального критерия используется линейная форма:

,

где – заданное значение частного -го критерия; –весовой коэффициент -го критерия, выражающий относительную важность этого критерия в общей системе частных критериев.

Поскольку в рассмотрении находится несколько вариантов, и они пронумерованы от 1 до , и таблицах традиционно располагаются по строкам, то формула для значения интегрального критерия принимает вид:

, ,

где – значение интегрального критерия для -го варианта; – значение частного -го критерия для -го варианта.

Рассматривая последнюю формулу, несложно понять, что частные критерии с разными диапазонами значений, конечно же, будут оказывать разное влияние на результат вычисления интегрального критерия: чем большие значения может принимать частный критерий, тем большую роль он играет в линейной форме; критерии с малыми значениями могут вообще «остаться незамеченными» в процессе вычисления суммы.

6. Решение проблемы разных диапазонов значений критериев

Для преодоления проблемы разных диапазонов значений частных критериев используются различного вида нормирования. Можно показать, что наиболее целесообразно осуществлять нормирование частных критериев их средними значениями:

, .

Нормированные значения всех частных критериев оказываются локализованными вокруг единицы, что выравнивает их влияние на результат вычисления интегрального критерия, формула которого приобретает вид:

, .

Для рассматриваемого примера множество Парето с нормализованными значениями частных критериев представлено в таблице 13.

7. Решение проблемы разнонаправленности частных критериев

Рассматривая линейную форму с частными критериями, в том числе и с нормированными, несложно заметить, что частные критерии с разным смыслом должны учитываться по-разному. Действительно, для одних частных критериев желательно как можно большее значение (о таких критериях говорят, что они имеют повышающее влияние на качество варианта), для других желательно как можно меньшее значение (о таких критериях говорят, что они имеют понижающее влияние на качество варианта).

Учесть этот факт можно так: в линейной форме интегрального критерия значения частных критериев, повышающих качество варианта, берутся со знаком плюс, а значения частных критериев, понижающих качество, берутся со знаком минус. При этом формула вычисления частного критерия принимает вид:

, ,

где – показатель направления влияния частного критерия на качество варианта, вычисляемый по формуле:

Указанный критерий можно записать в следующем виде:

, ,

где , () – суммы взвешенных нормализованных значений критериев, повышающих и понижающих качество варианта частных критериев соответственно, т.е.

, ,

, ,

где – множество номеров частных критериев, повышающих качество варианта; – множество номеров частных критериев, понижающих качество варианта.

Альтернативным решением проблемы различия направлений влияния частных критериев на качество варианта является использование дробно-рациональной формы интегрального критерия:

, .

Заметим, что сравнение вариантов по двум указанным выше критериям может дать различные результаты: лучший вариант по первому (линейному) критерию может оказаться на втором или даже третьем месте по второму (дробно-рациональному) критерию. Наглядный пример приведён в следующей таблице, в которой использованы следующие обозначения: A, B, C, D – условные идентификаторы вариантов.

Вариант			–	/
A	2	1	1	2
B	11	9	2	1,222222
C	103	99	4	1,040404
D	1004	999	5	1,005005

Как видно из таблицы, варианты ранжируются линейным критерием в обратном порядке их перечислению, т.е. варианты занимают следующие места: 1) D; 2) C; 3) B; 4) A. В тоже время по дробно-рациональному критерию варианты ранжируются в порядке их перечисления: 1) A; 2) B; 3) C; 4) D.

Естественно, возникает вопрос: какой же критерий более «объективен»? Ответ легко получить, интерпретируя сумму как сумму вкладов, имеющихся на ваших счетах, а – как сумму ваших долгов. При этом значение линейного критерия – это либо превышение запасов над долгом (если ), либо взятая со знаком минус величина фактического долга (если ). Таким образом – это вполне содержательно интерпретируемая величина.

Значение же дробно-рационального критерия – это количество ваших запасенных рублей, приходящихся на один рубль долга. Очевидно, что это, хотя и интересный, но недостаточно информативный показатель. Единственно, что можно выяснить по этому показателю – имеет ли место задолженность или запасы превышают общий долг, но сама величина долга-превышения остаётся неизвестной. Эту же информацию можно получить и из критерия , поскольку справедливы отношения:

()  ();

()  ().

Оба эквивалентных неравенства первого отношения означают, что сумма задолженностей не превышает суммы запасов. Аналогично, эквивалентные неравенства второго отношения означают наличие реального долга. Однако отношение не указывает абсолютную величину реального долга или превышения запасов над долгами.

Изложенное позволяет сделать вывод о преимуществе линейного критерия перед дробно рациональным. Дробно-рациональный критерий можно использовать как дополнительный в том случае, если окажется несколько вариантов с одинаковыми значениями линейного критерия.