§4.2. Нечеткие отношения предпочтения

Пусть заданное множество альтернатив. Нечетким отношением нестрогого предпочтения набудем называть любое заданное на этом множестве рефлексивное нечеткое отношение.

Пусть рефлексивное нечеткое отношение на. Нечеткое отношение квазиэквивалентности, которое имеет функцию принадлежности вида. Нечеткое отношение строгого предпочтения, которое имеет функцию принадлежности вида.

Рассмотрим некоторые свойства введенных отношений. Легко убедиться, что нечеткое отношение является рефлексивным и симметричным. Нечеткое отношениеявляется антирефлексивным и антисимметричным.

Теорема. Если нечеткое отношение нестрогого предпочтения наявляется транзитивным, то транзитивными будут и отношенияи.

Напомним, что обычное рефлексивное и транзитивное отношение на называется квазипорядком, а антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется строгим порядком на.

Теорема. Если - нечеткий квазипорядок на множестве, то- соответствующее нечеткое отношение эквивалентности, а- соответствующий нечеткий строгий порядок на.

Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив. Согласно определению отношения для любых альтернативвеличинаесть степень, с которой альтернативадоминируется альтернативой. Следовательно, при фиксированномопределенную нафункциюможно рассматривать как функцию принадлежности нечеткого множества всех альтернатив, которые строго доминируются альтернативой. Нетрудно понять, что множество всех альтернатив, которые не доминируются альтернативой, представляет собой дополнение ввведенного множества. Согласно определению дополнения получаем, что это новое нечеткое множество описывается функцией принадлежности вида. Если, например,, то со степенью 0,7 альтернативане доминируется альтернативой.

Теперь ясно, что для выделения в подмножества всех альтернатив, каждая из которых не доминируется ни одной альтернативой из, нужно взять пересечение нечетких множеств видапо всем. Это пересечение называется нечетким подмножеством недоминируемых альтернатив и обозначаетсяили.

Значение представляет собой степень, с которой альтернативане доминируется ни одной из альтернатив множества.можно переписать по другому, а именно=.

Поскольку величина есть степень недоминируемости альтернативы, то рациональным при заданной нечеткой информации естественно считать выбор альтернатив, имеющих по возможности большую степень принадлежности нечеткому множеству. Элементы множествабудем называть максимальными недоминируемыми альтернативами.

Четко недоминируемые альтернативы. Множество четко недоминируемых альтернатив . Четко недоминируемые альтернативы представляют особый интерес в анализируемых задачах рационального выбора, поскольку множествоможно рассматривать как в некотором смысле четкое решение нечетко поставленной задачи.

Пример. Пусть множество альтернатив состоит из пяти элементов:. Матрица нечеткого отношения нестрогого предпочтения. Построим матрицу соответствующего нечеткого отношения строгого предпочтения:

. Функция принадлежности нечеткого множества недоминируемых альтернатив имеет вид . Таким образом, в рассматриваемом множествеимеется единственная четко недоминируемая альтернатива. Заметим, что эта альтернатива доминирует с положительной степенью все остальные альтернативы.

Задание. Пусть множество альтернативсостоит из четырех элементов:. Матрица нечеткого отношения нестрогого предпочтения имеет вид. Определить рациональную альтернативу.