Тарасов ЭУМК_Физика_бак_1_2 / 4 - лаб раб / I семестр / Погрешности

3

Очевидно, что именно относительная погрешность характеризует качество измерения, его точность. Эта величина безразмерна и часто выражается в процентах.

1. Классификация погрешностей прямых измерений

По характеру проявления в эксперименте различают систематическую погрешность, случайную погрешность и грубые промахи.

Систематическая погрешность измерения – это составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной (по величине и знаку) при повторных измерениях. В свою очередь, по источнику появления эти погрешности можно разбить на несколько групп.

Одна из них – это систематические погрешности, природа и величина которых известны (например, сдвиг нуля измерительного прибора), эти поправки могут быть определены до начала измерений и учтены в конечном результате. Примером этого типа погрешностей является также методическая погрешность. Она определяется недостатками выбранного метода измерения или неточностью расчётных формул. Так, если взвешивать тело на аналитических весах без введения поправки на потерю веса груза в воздухе, то появится ошибка взвешивания, которую можно классифицировать как методическую.

Другая группа систематических погрешностей – это погрешности, для которых известно их предельное значение, но неизвестен знак. К ним, в частности, относится инструментальная погрешность. Она обусловлена конструкцией измерительного прибора, неточностью его изготовления. Величина этой погрешности определяется классом точности прибора, но знак её неизвестен (его можно оценить, сравнивая показания данного инструмента измерения с прибором более высокого класса точности). Инструментальную погрешность принято записывать со знаком « », подчеркивая этим, что без дополнительных исследований мы не знаем знак отклонения от истинного значения.

Случайная погрешность – это составляющая погрешности, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Данная погрешность вызывается причинами, которые не всегда поддаются оценке: зазоры в опорах, колебания стола, электромагнитные наводки и т. д. Она проявляется при повторных измерениях в виде разброса измеряемых значений, как по величине, так и по знаку. Случайная ошибка носит вероятностный характер. Её можно уменьшить за счет увеличения числа измерений и соответствующей статистической обработки результатов измерений.

Грубые промахи обусловлены либо небрежным отсчётом, либо временной неисправностью прибора или внезапным сильным внешним воздействием. Эти погрешности легко исключить сравнением результатов измерений, проведённых в данной серии опытов.

Окончательный результат измерения после исключения выявленных систематических погрешностей и грубых промахов необходимо представить в виде

Здесь xизм – действительное значение измеряемой величины, х – полная погрешность измерения, Р – коэффициент достоверности (надёжность), т. е. вероятность того, что истинное значение измеряемой величины находится в интервалех. Так, если Р = 0,95, то, это, грубо говоря, будет означать, что из 100 повторных

4

замеров результаты 95 измерений будут лежать в пределах указанного интервала достоверности х.

2. Оценка погрешностей прямых измерений при однократных наблюдениях

Систематическая погрешность измерения х в общем случае складывается из инструментальной погрешности xинс, методической погрешности и погрешности считывания.

Так как в лаборатории не проводится дополнительное исследование используемых измерительных приборов, то инструментальную погрешность будем оценивать её предельным значением.

Металлические измерительные линейки изготовлены с достаточной точностью. Их миллиметровые деления наносятся с погрешностью не более 0,05 мм. Однако, кроме этой погрешности необходимо учитывать погрешность считывания, которая, при известном навыке, может быть доведена до четверти деления, т. е.0,25 мм. Тогда предельное значение погрешности будет порядка 0,3 мм. Учитывая, что указатели в лабораторных установках отстоят от поверхности линеек на несколько миллиметров, в качестве предельной погрешности измерения будем брать величину, равную 0,5 мм (в некоторых работах она может достигать 1 2 мм). Предельная инструментальная погрешность штангенциркуля определяется точностью нониуса. Так, если она равна 0,1 мм, то погрешность измерения принимается равной 0,1 мм.

Погрешность термометра, барометра указывается в паспорте прибора. Так, для ртутного стеклянного термометра ТЛ-2 с пределом измерения 0 100 С при цене деления 1 С предельная инструментальная погрешность равна 2 С.

Предельную инструментальную погрешность стрелочных приборов (амперметры, вольтметры и т. д.) можно определить по классу точности прибора

где xmax – конечное значение шкалы, т. е. наибольшее значение измеряемой величины, указанное на шкале.

Цифровые измерительные приборы представляют собой сложные электронные устройства, поэтому при определении их погрешности необходимо руководствоваться их паспортными данными, указанными на учебных стендах. В любом случае их предельная инструментальная погрешность не может быть ниже единицы последнего разряда, высвечиваемого на индикаторной шкале прибора.

Для приборов, у которых указатели перемещаются скачком с одного деления на другое (например, секундомеры), предельное значение инструментальной погрешности принимается равным цене наименьшего деления его шкалы. Так, у секундомера с ценой наименьшего деления 0,2 с инструментальная погрешность равна 0,2 с.

3. Случайные погрешности

Проведя измерения одной и той же величины, одним и тем же прибором, при одном и том же методе измерения, можно обнаружить, что численные результаты будут отличаться друг от друга на величину большую, чем инструментальная погрешность. В этом случае говорят о случайной погрешности измерений. Каждое

6

уже проведённых измерений (и измерений, которые мы могли бы провести в будущем). Следовательно, этот интервал должен быть связан с шириной функции распределения погрешностей (см. пунктирную кривую на РИС. 1). В математической статистике эта ширина характеризуется параметром, называемым дисперсией случайной величины. Корень квадратный из дисперсии определяет среднеквадратичное отклонение от среднего. Если погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения, который описывается функцией Гаусса, то среднеквадратичное отклонение можно будет найти по формуле

(Заметим, что вопрос о том, можно ли считать данное распределение погрешностей нормальным, требует дополнительных исследований, которые в рамках лабораторного практикума не проводятся.)

Так как в лабораторном практикуме проводятся серии с малым числом измерений (n = 3 или n = 5), то в качестве случайной погрешности следует взять погрешность, равную

Здесь tP, n – коэффициент Стьюдента, который зависит как от числа измерений n, так и от доверительной вероятности P. Доверительную вероятность, как правило, принимают P = 0,9; 0,95; 0,99. В рядовых физических экспериментах обычно выбирают P = 0,95.

Значения коэффициента Стьюдента можно найти по ТАБЛ. 1.

4. Суммарная погрешность прямого измерения

Если мы определили предельную погрешность измерения хинстр, связанную с использованием того или иного измерительного прибора, а также нашли случайную погрешность xсл, то тогда суммарная погрешность прямого измерения даётся формулой

При расчётах следует предварительно округлять значения случайной и предельной погрешностей до трёх значащих цифр.

Результат прямого измерения следует записать в следующей форме:

х х х , Р = 0,95.

7

Это означает, что с доверительной вероятностью 0,95 истинное значение х лежит от х х до х х .

При записи результатов измерений необходимо пользоваться следующими пра-

вилами округления:

1.Число, выражающее суммарную погрешность измерения, округляется до одной значащей цифры; если же оно начинается цифрой 1 или 2, то округление проводят до двух значащих цифр.

2.Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же порядка, что и числовое значение абсолютной погрешности.

3.При округлении целых чисел все отброшенные при округлении цифры заменяются множителем 10m, где m – число отброшенных цифр. (Например, если

х = 1327, то следует записать х = 13 102, если же х = 851, то после округления получим х = 9 102.)

4.Если при округлении первая отбрасываемая цифра больше или равна пяти, то предыдущая, сохраняемая цифра, увеличивается на единицу. В противном случае эта цифра не изменяется.

ПРИМЕР

Если после расчётов сказалось, что погрешность измерения равна 0,47; 0,064; 0,128; 342, то следует записать

Если при этом измеряемая величина равна соответственно 3,425; 12,8356; 9,025; 8395,7, то результат необходимо представить в форме

5. Погрешности при косвенных измерениях

При косвенных измерениях искомое значение физической величины вычисляют на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными в результате прямых измерений (например, объём куба V = a3). Зная эту функциональную зависимость F = f(x), можно найти её приращение при малом изменении аргумента

Если же искомая величина зависит от многих переменных F = f(x, y, z) (например, объём бруска V = a·b·c), то приращение каждого из аргументов даёт свой вклад в приращение функции

8

что и обычные производные, но при этом остальные аргументы рассматриваются как константы. Так как Fx, Fy и т. д. являются в конечном итоге случайными величинами, то среднеквадратичную погрешность косвенного измерения рассчитывают по той же формуле, что и для прямого измерения:

или

Особо следует остановиться на погрешностях универсальных констант, трансцендентных и иррациональных величин, справочных данных и данных установки, входящих в расчетные формулы. Погрешности универсальных констант – это погрешности округления их значений. Например, если для числа π = 3,141593… взять значение π = 3, то его погрешность π = 0,1416; если же принять π = 3,1 то погрешность π = 0,0416 и т. д. При этом возникает вопрос, с каким числом значащих цифр следует взять его значение.

Число π и другие иррациональные величины следует выбирать так, чтобы относительная погрешность этих величин, вносимая при их округлении, не влияла на суммарную относительную погрешность, вносимую величинами, полученными экспериментально.

В учебной лаборатории при надёжности измерений 0,95 для используемых приборов относительная погрешность, как правило, больше 1%. В этом случае достаточно указывать в константах 5 значащих цифр, например π = 3,1416; g = 9,8156 м/с2. Относительная погрешность констант в этом случае считается равной нулю.

Для справочных данных и для данных установки (если их погрешность не оговорена) погрешность составляет 5 единиц разряда, следующего после последней значащей цифры. Так, если на установке задан момент инерции маятника

I0 = 0,12 кг м2, то I0 = 0,005 кг м2.

Если в расчётах используются не все значащие цифры справочных данных, то в качестве погрешности этой величины берётся погрешность округления. Очевидно, что значения справочных данных необходимо брать такими, чтобы их относительной погрешностью можно было пренебречь.

9

6. Пример статистической обработки результатов измерений

Пусть необходимо найти длину окружности диска. Допустим, мы пять раз измерили его диаметр с помощью штангенциркуля, точность нониуса которого равна 0,1 мм. Результаты измерений сведём в ТАБЛ. 2.

Среднее значение диаметра диска равно

ную погрешность найдём по формуле Стьюдента. Учитывая, что при n = 5 и Р = 0,95 коэффициент Стьюдента t = 2,776, получим

Так как диаметр измерялся штангенциркулем, то в качестве инструментальной погрешности средства измерения возьмём величину Dинс = 0,1 мм.

В результате суммарная погрешность прямого измерения

Окончательный результат прямого измерения представим в виде

D 12,58 0,21 мм, Р = 0,95.

Длина окружности L πD. Погрешность косвенного измерения

L π2 D2 D2 π2 ,

относительная погрешность этого измерения

10

L = 0,7 мм. Тогда окончательный результат измерения можно представить в виде

7. Указания к составлению графиков

Результаты измерения физических величин часто удобно представить в виде графиков, наглядно показывающих связь между физическими величинами.

Для построения графиков удобно пользоваться миллиметровой бумагой, придерживаясь следующей последовательности:

1.Выбрать масштабы для откладываемых на осях величин.

2.Построить шкалу на осях, если график выполняется в декартовой системе координат.

3.Нанести экспериментальные точки и построить по ним график.

При выборе масштабов надо исходить из следующего:

а) на графике должны уместиться значения всех измеренных величин;

б) начало координат не обязательно должно совпадать с нулевым значением откладываемой величины. В качестве начала координат можно взять целое число, ближайшее к наименьшему значению измеренных величин;

в) график должен быть удобен для использования, поэтому одно деление масштабной линейки должно соответствовать 1, 2, 5, 10 или 25, 50 единицам откладываемой величины или такому же количеству долей единицы. Промежуточные значения, получаемые на опыте, на осевых шкалах не наносятся. У концов осей необходимо указать выбранную единицу измерения.

Наносимые на графике по экспериментальным данным точки надо изображать в виде кружочков радиусом менее 1 мм. По нанесенным экспериментальным точкам проводят плавную кривую, притом не по точкам, а между ними, так, чтобы разброс точек по обе стороны кривой был примерно одинаков. Недопустимо проводить через экспериментальные точки ломаную прямую, состоящую из отрезков прямых, соединяющих соседние точки.