Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Матан

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.5 Mб
Скачать

Билет №11

1) Формула Тейлора для функции многих переменных.

В точке (0;0):

2) Признак равномерной сходимости ряда Вейерштрасса.

Если для функциональногоряда можно указать такой

сходящийся числовой ряд , что для всех n>n0 и для всех X Е, выполняется условие |un(x)|<an, то ряд сходится абсолютно и

равномерно на множестве Е.

Билет №12

1) Вычисление двойного интеграла сведением к повторному.

с областью «D»

Выражение вида называется повторным

интегралом от функции по области .

2) Степенные ряды. Радиус сходимости.

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x,

называется степенным рядом :

Радиусом сходимости степенного ряда

называется

такое число R, при котором ряд сходится, если

, и

расходится, если

.

.

 

 

 

Билет №13

 

1) Вычисление тройного интеграла сведением к повторному.

Почти то же самое, что и для двойного интеграла.

2) Ряд Тейлора-Маклорена. Достаточное условие сходимости ряда Тейлора-Маклорена.

,

который называется рядом Тейлора для функциив окрестности точки.

Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена при:

+ Остаток ряда Тейлора (Маклорена) .

Для того чтобы ряд Тейлора,, имел своей суммой функцию, т.е., необходимо и достаточно, чтобы для всех существовал предел, где− остаток ряда Тейлора.

Достаточное условие:

Если на отрезке все производные функции по модулю ограничены одним числом, , то f(x) разлагается в ряд Тейлора, который сходится к f(x) на отрезке

Билет №14

1) Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрическая и сферическая система координат.

Тройной интеграл в цилиндрическихкоординатах:

Якобиан равен « r ».

Тройной интеграл в сферических координатах:

Якобиан равен sinѲ

2) Ряд Тейлора-Маклорена для , cos(x), sin(x) с центром в

Билет №15

1) Криволинейный интеграл 1-го и 2-го рода. Формула Грина.

Криволинейный интеграл 1-го рода:

Если кривая l задана уравнением то

Если кривая l задана параметрически то

Криволинейныйинтеграл 2-го рода:

Кривая l задана уравнением y = f(x), x изменяется от до :

Формула Грина:

Если векторная функция a=ax(x,y)i+ ay(x,y)jнепрерывна вместе со своими производными и в замкнутой

области , то:

2)

Билет №16

1) Поверхностный интеграл 1-го рода. Формула площади поверхности, заданной в параметрическом виде.

Поверхность S задана параметрически:

где

Площадь поверхности S выражается с помощью поверхностного интеграла в виде

Если поверхность S задана уравнением , где z (x,y) − дифференцируемаяфункция в области D (x,y), то поверхностный интеграл находится по формуле

Если поверхность S состоит из нескольких частей Si, то использовать сумму этих частей.

2) Вычисление ряда Тейлора-Маклорена для y = tg(x) (до третьего порядка включительно)

для всех

, где

— Числа Бернулли.

Билет №17

1) Поверхностный интеграл 2-го рода и его свойства.

Поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по ориентированнойповерхности S (или поток векторного поля через поверхность S)

При замене рассматриваемойстороны поверхности на противоположную поверхностныйинтеграл 2-го рода меняет знак

2) Ряд Фурье по системе тригонометричскихфункций на [ -π ; π ].

Билет №18

1) Формула Стокса.

2) Условие минимальности уклонения

Билет №19

1) Теорема Остроградского-Гаусса.

где через

обозначена дивергенция векторного поля (она обозначается также символом ).

2) Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля.

Неравенство Бесселя

Рассмотрим кусочно непрерывную функцию f (x), заданную в интервале [− π, π]. Ее разложение в ряд Фурье имеет вид

В неравенстве Бесселя устанавливается, что

Отсюда следует, что ряд сходится.

Равенство Парсеваля

Если f (x) является квадратично интегрируемой функцией в интервале [− π, π], так что выполняется соотношение

то неравенство Бесселя становится равенством. В этом случае справедлива формула Парсеваля:

Билет №20

1) Ротор векторного поля. Формула Стокса в векторной форме.

Ротор - векторный дифференциальныйоператор над векторным полем .

Где «» - Едини́чный ве́ктор или орт

Формула Стокса:

2) Условие сходимости Дирихле ряда Фурье.

Пусть -периодическая функция удовлетворяет двум условиям:

1. кусочно-непрерывна на отрезке ;

2. кусочно-монотонна на отрезке .

Тогда соответствующий функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1) в точках непрерывности функции сумма ряда

совпадает

с самой функцией, т.е.

;

 

2) в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна

среднему арифметическому пределов функции слева и справа, т.е.

.

Билет №21

1) Соленоидальные векторные поля. Условия соленоидальности.

Векторное поле называется соленоидальнымили вихревым, если через любую замкнутую поверхность S его поток равен нулю:

Для того, чтобы непрерывно дифференцируемое векторное

поле было соленоидальным необходимо и достаточно, чтобы оно имело векторный потенциал.

‰ Достаточность. Пусть

имеет векторный потенциал

т.е.

, тогда

.

Записывая эту формулу в координатах, получим, что

2) Комплексная форма ряда Фурье.

Пусть функция f (x) определена в интервале [− π, π]. Применяя формулы Эйлера

можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме :

Билет №22

1) Оператор Гамильтона (набла). Свойства оператора набла.

Вычисление grad(φ*ψ) и div(grad φ).

. - набла

Свойства:

Если умножить вектор на скаляр , то получится вектор

,

который представляет собой градиент функции .

Если вектор скалярно умножить на вектор , получится скаляр

,

то есть дивергенция вектора .

Если умножить на векторно, то получится ротор вектора :