Методы и средства передачи информации (Лекция №8)

Теперь рассчитаем поле бесконечно длинной равномерно заряженной оси (так называют бесконечно тонкий прямолинейный проводник, длина которого много больше его диаметра).

Пусть ось z цилиндрической системы координат совпадает с равномерно заряженной осью, несущей заряд τ на единицу длины (размерность Кл/м) и расположенной в однородном диэлектрике. Очевидно, что в любой точке, лежащей на поверхности цилиндра радиуса r, вектор электрического смещения D имеет только одну радиальную составляющую, постоянную во всех точках этой поверхности. Это видно, если представить поле в любой произвольной точке, отстоящей от оси на расстояние r, в виде суммы полей точечных источников одинаково отстоящих от плоскости ортогональной оси проходящей через выбранную точку наблюдения, как показано на рис. 8.7.

Для решения задачи ограничим цилиндрическую поверхность, проходящую через точку с радиусом r, двумя основаниями, перпендикулярными оси и отстоящими одно от другого на единицу длины. Поток вектора D через поверхность такого цилиндра с зарядом τ внутри не-

го выразится так:

где постоянная интегрирования С определяется из ГУ и может быть в общем случае выбрана произвольной, так как сам потенциал не является технической характеристикой, практический смысл имеет только разность потенциалов.

11

Найденное решение имеет большое прикладное значение, так как является основой расчета полей и по ним уже первичных параметров (удельных или погонных частичных емкостей и поперечных проводимостей) двухпроводных и коаксиальных линий передачи (причем и энергоснабжения и связи). Покажем это на примере решения задачи по расчету поля двух разноименно заряженных осей.

Пусть система двух разноименно и равномерно заряженных (с линейной плотностью заряда ±τ ) параллельных осей (бесконечно длинных отрезков) размещена в однородном диэлектрике (рис. 8.8). Расстояние между осями равно 2а.

Требуется определить потенциал поля в такой системе осей (в технике − системе тонких проводников), вид эквипотенциальных поверхностей и силовых

В выражении (8.12) первое слагаемое обращается в нуль при r+ =r− , т.е. в точках плоскости, перпендикулярной к отрезку 2а и проходящей через его середину. Если потенциал этой плоскости принять равным нулю, то и постоянная А обра-

12

где k − параметр семейства эквипотенциальных поверхностей или их сечений в плоскости рисунка.

Из выражения (8.14) следует, что для каждой точки каждой эквипотенциальной линии (которой соответствует своё k ) отношение расстояний этой точки до точек 1 и 2 (следов пересечения заряженных осей с плоскостью листа) должно быть постоянным. Таким свойством обладают точки окружности, по отношению к которой точки 1 и 2 являются «взаимно обратными» или «инверсными».

Две точки 1 и 2 называются взаимно обратными по отношению к окружности радиуса R, центр которой лежит на продолжении отрезка, соединяющего эти точки, если произведение расстояний точек до центра окружности равно

квадрату её радиуса (рис. 8.9):

Для различных значений k − различны значения положения центра ок-

ружности (отрезок (s−a)) и её радиус R . Причем при k >1 (или же r2 > r1 ) окружность охватывает точку 1, а при k <1 ( или r2 < r1 ) окружность охватывает точку 2.

Из соотношения (8.15) на основе геометрических свойств пересекающихся окружностей следует также вид кривых силовых линий электрического

13

Потенциал этой плоскости нулевой. Линии напряженности − дуги окружностей, начинающиеся на оси с положительным зарядом и оканчивающиеся на оси с отрицательным зарядом.

Картина поля в системе двух заряженных осей показана на рис. 8.11 и соответствует сечению системы заряженных осей в любой плоскости z = const (т.е. поле плоскопараллельное).

Е

φ

Рисунок 8.11 − Структура электрического поля двухпроводной линии Полученная картина поля с применением теоремы единственности (утвер-

ждает, что решение уравнений Максвелла, а значит, и теоремы Гаусса, как одного из них, удовлетворяющее самому уравнению и граничным условиям, является единственным) и граничных условий для потенциала электростатического поля (здесь они выражаются в условии эквипотенциальности (равнопотенциальности) проводящих поверхностей) позволяет получить решение задач для систем с различным по взаимному расположению пар проводящих поверхностей, которые можно рассматривать как поверхности проводников, представленных на рис. 8.12.

15

темы с осевой симметрией (реальные технические системы с центральной симметрией в случае стационарных магнитных полей не реализуются).

Так например, при расчете поля бесконечно длинного и тонкого прямолинейного проводника с током (рис. 8.13) вследствие симметрии задачи и соответственно в предположении наличия только азимутальной (α-вой) составляющей напряженности магнитного поля, зависящей только от радиального удаления точки наблюдения от оси проводника (оси z), из уравнения в интегральной форме (закона полного тока) получаем

где учтено, что dl =r dα и что ток сосредоточен только на оси проводника. От-

Кроме условия симметрии задачи, применение интегрального соотношения часто основано на известном законе Био-Савара для элемента тока Idl:

dH = I [d4lπ,rr20].

Теперь рассмотрим ряд полезных для дальнейшего изложения задач расчета магнитного поля с применением интегральной формы уравнения Максвелла.

Задача 8.1. Ток I =1000 А идет по двухпроводной линии, у которой расстояние между проводами 2а = 2 м (рис. 8.14). Найти величину и направление поля Н в точках 0, 1 (при х = 0,5 м) и 2 (при х = 1,5 м). Получить выражение для определения поля в любой точке поля линии.

17

Решение. Считая двухпроводную линию однородной вдоль продольной оси z (направлена на нас) и бесконечной, полагаем задачу плоскопараллельной. Ток не является векторной величиной, однако в зависимости от его направления вдоль, или против оси z, на рис. 8.14, величина тока указана со знаком.

Рисунок 8.14 – Расчетная модель двухпроводной линии Значение вектора Н в каждой точке поля равно геометрической сумме со-

ставляющих, созданных каждым из проводов в отдельности (рассматриваемая система линейная). Как следует из закона полного тока, напряженность магнитного поля длинного провода с током I на расстоянии r от него определяется со-

Вектор Н в точке наблюдения направлен по касательной к окружности, центр которой лежит на оси провода. Направление вектора можно найти по «правилу правого винта». Правоходовой винт «ввинчивается» в провод по направлению тока. Направление вращения в точке наблюдения показывает направление вектора Н.

На рис. 8.15 показаны результирующие вектора Н и их составляющие в точках 0, 1 и 2. Считая положительными вертикальные составляющие поля, направленные согласно с осью у, получаем, в А/м:

18

Рисунок 8.15 – Структура поля в точках 0, 1 и 2 В произвольной точке плоскости ху вектор Н находим либо непосредст-

венно как геометрическую сумму её составляющих, либо аналитическим суммирование проекций векторов её составляющих на оси координат. Согласно рис.

Н׳״у1 α'

Рисунок 8.16 – Структура поля в произвольных точках

поля, созданные каждым из проводов H ′= I / (2 πr ′), H ′′= I / (2 πr ′′).

19

Это решение получено для модели проводов в виде бесконечно тонких нитей. Однако в соответствии с уравнением по закону полного тока полученное решение остается справедливым и в случае проводов конечного сечения с использованием модели в которой весь ток, идущий по проводнику, сосредоточен на его оси. В любом случае решение справедливо только для поля вне проводов.

Для показанной на рис. 8.14 точки N с х = 1,5 м, у = 0,75 м при а = 1 м и I

= 100 А получаем Н′ = 6,1 А/м, Н′′ = 17,6 А/м, H x = −12 , 9 А/м; H y = 4 А/м;

H = 12, 9 2 + 4 2 =13,5 А/м. Положение вектора определим его ориентацией

(углом) относительно оси х. Угол β между осью х и вектором Н определяется соотношением β = Arctg (H y / H x )= Arctg (4/( −12, 9 ) )=163 o .

В завершение задачи отметим, что полученные выражения для поля неудобны для вычисления потока вектора магнитной индукции Ф, который в соответствии с законом электромагнитной индукции определяет разность потенциалов на зажимах витка с током и связывает интегральный параметр «ток» с интегральным параметром «напряжение» компонентным уравнением. Как будет показано ниже, поток вектора магнитной индукции Ф проще найти с использованием формально вводимого вспомогательного понятия − векторного потенциала.

Прежде, чем перейти к рассмотрению понятия векторный потенциал рассмотрим вспомогательный оператор, именуемый ротор вектора B, обозначаемый rot B. Ротор вектора − дифференциальный оператор, формально образуемый в виде векторного произведения вектора Набла и любого вектора, в частности вектора В.

20