Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТ. АНАЛИЗ, Диф-ое исч-ие ф-ции одной переменной Конспект лекций Часть 2 Николаева

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

592.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

тонны, то x 0. Тогда

. По условию функция y y x дифференци-

x x y также непрерывна по теореме о

руема, значит, непрерывна, поэтому

непрерывности обратной функции. Отсюда lim x 0 (определение 2).

y 0

x y lim

lim

, так как по условию y y x диффе-

y x

y 0 y

y 0

lim

x 0

ренцируема и

y x 0. Что и требовалось доказать.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО

ТЕОРЕМА. Пусть u u x , v v x дифференцируемы в некоторой точ-

ке x. Тогда их сумма, разность, произведение и частное (при v x 0) также дифференцируемы в этой точке и


	u				u

u v		v,	u v	uv vu,
					v

uv vu.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Формулу u v u v вывести самостоятель-

но.

Рассмотрим функцию y u x v x .Зададим приращение x 0, тогда

u u x x u x , v v x x v x

u x x u x u, v x x v x v.

u x x v x x u x v x

u u v v uv

lim

x 0

u v v u u v

lim

vu ,

x 0

так как u u x дифференцируема по условию, значит, непрерывна, а потому

lim u 0.

x 0

Пусть y u x , v x 0. v x

u x x

u u

lim

x 0 v x x

x 0

v v v

v u u v

vu uv

lim

v2 v

x 0 v v v x

x 0

так как

v x

по условию дифференцируема, значит,

непрерывна,

а потому

lim v 0.Что и требовалось доказать.

x 0

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

2. u

3. a

1. C 0

4. e

5. loga u

6. (lnu)

ulna

cosu u

sinu

7. sinu

8. cosu

9. tgu

cos2 u

sin2 u

10. ctgu

11. arcsinu

1 u2

12. arccosu

1 u2

13. arctgu

1 u2

14. arcctgu

1 u2

Докажем приведенные формулы, используя определение производной и дока-

занные теоремы.

7. sinx cosx.

По определению производной

sin(x x) sinx

2sin

cos(x x)

sinx

lim

x 0

sin

lim

limcos(x x) cosx,

x 0

так как lim

sint

(первый замечательный предел) и функция

y cosx непре-

t 0 t

рывна.

8. (cosx) sinx.

Используем формулы приведения и теорему о производной сложной функции:

cosx

sin

cos

sinx.

9. tg x

cos2 x

Доказать самостоятельно, используя формулы 7, 8 и теорему о производной ча-

стного: tg x sinx . cosx

10. ctg x

sin2 x

Доказать самостоятельно.

5. loga x

xlna

По определению

x x

loga(x x) loga

loga

loga x

lim

x 0

lim

log

)

limlog

)

limlog

(1 t)

log

x x 0 x

x x 0

x t 0

xln a

так как lim 1 t

(второй замечательный предел) и

y loga x

– непрерыв-

t 0

ная функция.

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как

lne 1,

то lnx

Найдем производную функции

y ln

. По определению модуля

если x 0

если

, то есть

, поэтому ln

если

x 0

, если x 0

x 0.

3. ax ax lna.

Функция x loga y – обратная для функции y ax. По теореме о производной обратной функции

y x a

ylna,

loga y

но

y a

lna.

11. arcsinx

1 x2

Рассмотрим функцию

y arcsinx: y

;

, x

1;1 . x sin y,

;

– обратная функция, поэтому по теореме о производной обратной функции имеем:

									1							1							1				1
		y x arcsinx																															,


															cos y								1 sin			y			1 x
										x y					cos y								1 sin		2	y			1 x			2
																									2							2
							cos y 0					y
так как																					;			.
так как																			2		;	2		.
																			2			2
Заметим, что					функция				y arcsinx										дифференцируема											во всех				точках
1;1 ,			1 не существуют.
1;1 ,	а y	1 ,y	1 не существуют.
				1				.


12. (arccosx)
						1 x2
Воспользуемся известным тождеством:
																																		1
arcsinx	arccosx
																		0																.
				(arcsinx) (arccosx)														0			(arccosx)						(arcsinx)							.
			2																															1 x2
				1
13. arctg x							.
13. arctg x					1 x2		.

Для функции y arctg x, x R,									y					;						x tg y – обратная, поэтому
Для функции y arctg x, x R,									y				2	;		2				x tg y – обратная, поэтому
													2			2
									1										1				1				1
		y x		arctg x																												.
		y x		arctg x															1							2					2	.
																			1					1 tg y				1 x
											tg y
											tg y						cos2 y
																	cos2 y

		1
14. arcctg x			.
14. arcctg x		1 x2	.
Воспользуемся тождеством:
							1
arctgx arcctgx 2						1 x2 .
arctgx arcctgx 2	arctgx arcctgx			0 (arcctgx)	arctgx	1 x2 .

2. x x 1.

ln x

lnx x

по теореме о производ-

ной сложной функции и формулам 4 и 6.

ПРИМЕРЫ. Найти производные функций

1 2x

3 .

y sin2 2x

y log2

3 4 5x

y sin2 2x – сложная функция:

y u

, u sinv, v 2x y 2sin2x

2sin2xcos2x

2sin4x.

sin2x

1)(2x 3)

2 x

1 log2

4 5x

log2

log

3 4 5x

1 ln2

(2x 3)ln2

3 4 5x ln2

ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА

По	определению дифференциал (первый дифференциал)				функции
y y x	вычисляется по формуле dy y x dx, если x			– независимая пере-
менная.
ПРИМЕР. dx2 2xdx, dsinx cosxdx, dlnx		dx	,	darctg x	1	dx.

		x		1 x2

Покажем, что форма первого дифференциала остается неизменной (является инвариантной) и в том случае, когда аргумент функции y сам является

функцией, то есть для сложной функции y y u(x) .

Пусть u u x , y y u дифференцируемы, тогда по определению

d y u x y u x dx y u u x dx.

Кроме того, du x u x dx dy y u du, что и требовалось доказать.

ПРИМЕРЫ.

dsin2 x 2sinx dsinx 2sinxcosx dx sin2x dx,

d ln x2	1	d x2 1			2x	dx	.
		x	2	1	2
					x	1

Доказанная инвариантность формы первого дифференциала позволяет считать,

что	y x	dy	, то есть производная равна отношению дифференциала функ-

		dx

ции к дифференциалу ее аргумента, независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Пусть x x t , y y t , t T. Если функция

x x t имеет на множе-

x x t

стве T обратную, то y y t x y x . Тогда равенства , t T опре-

y y t

деляют на множестве T функцию, заданную параметрически, t – параметр

(промежуточная переменная).

ПРИМЕР.										x t sint
ПРИМЕР.			Построить график функции											, t R.
										y 1 cost
	t	0				3			5			3		7	2
	t	0	4	2	4			4			2		4		2
			4	2	4			4			2		4
	x	0	0,1	0,5	1,6			4,5			5,5			6	2

	y	0	0,3	1	1,7		2	1,7			1		0,3		0

О 1

Рис. 25

Построенная кривая называется циклоидой (рис. 25) и является траекторией точки на окружности радиуса 1, которая катится без скольжения вдоль оси ОХ.

ЗАМЕЧАНИЕ. Иногда, но не всегда, из параметрических уравнений кривой можно исключить параметр.

ПРИМЕРЫ.			x Rcost
ПРИМЕРЫ.				– параметрические уравнения окружности, так
			y Rsint
как, очевидно,		x2 y2		R2.
x acost						x	2	y	2	1.
x acost
		– параметрические уравнения эллипса, так как
		– параметрические уравнения эллипса, так как				a2		b2
y bsint						a2		b2
x t	– параметрические уравнения параболы				y x2.
	– параметрические уравнения параболы				y x2.
y t2

Найдем производную функции, заданной параметрически:

y x	dy y t dt		yx	y
				t
					.
	dx	x t dt		xt

Производная функции, заданной параметрически, – также функция, за-

x x t

	данная параметрически:			yt .
	yx
	yx			xt
				xt

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Второй производной функции называется производная от ее первой производной.

Производной n-го порядка называется производная от ее производной порядка n 1 .

Обозначают производные второго и n-го порядка так:

d2 y

dn y

n 1

x .

y x

y x , y

Из определения второй производной и правила дифференцирования парамет-

рически заданной функции следует, что y x yx t . Для вычисления треть- xt

x x t

ей

производной надо представить вторую производную в виде

yx t

воспользоваться еще раз полученным

правилом. Производные старших поряд-

ков вычисляются аналогично.

ПРИМЕР. Найти производные первого и второго порядков функции

x t sint

, t R.

y 1 cost

sint

x t sint

cost 1 cost sin

1 cost

sint

2 .

yxx

1 cost

(1 cost)

sint

1 cost

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ТЕОРЕМА (Ферма). Пусть функция y f x				имеет в точке x x экс-
	f x0 , то			0
тремум. Если существует	f x0 , то	f x	0.
		0

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть определению точки минимумаx0 ,x0 , в пределах которой

x x0 , например, – точка минимума. По существует окрестность этой точки f x f x0 0, то есть y 0, y – при-

ращение y f x в точке x x0 . По определению f x0 lim y. Вычис-

x 0 x

лим односторонние производные в точке x x0 :

f (x0 ) lim y 0 по теореме о предельном переходе в неравенстве,

x 0 x

так как y 0, x 0;

f (x0	) lim	y	0, так как	y 0,	x 0.	Но по условию f x0 су-

	x 0 x

ществует, поэтому левая производная равна правой, а это возможно лишь если f x0 f x0 f x0 0.

Предположение о том, что x x0 – точка максимума, приводит к тому же.

Геометрический смысл теоремы:			Если график функции имеет в
			Если график функции имеет в
	y		точке экстремума касательную, то
		y f (x)	она параллельна оси ОХ (рис. 26).

О	x
Рис. 26
ТЕОРЕМА (Ролля). Пусть функция y f (x) непрерывна		x a,b ,
дифференцируема x a,b и	f a f b , тогда существует	c a,b та-
кая, что f c 0.
	Геометрический смысл
y	теоремы:

	c2
a c1	О c3 b

Рис. 27

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как

если f (a) f (b), то на графике дифференцируемой функции есть точки, в которых касательная параллельна оси ОХ (рис.

х27).

y f (x) непрерывна x a,b , то по

второй теореме Вейерштрасса она достигает на a,b своих наибольшего M и

наименьшего m значений либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.


1.		Пусть M m, тогда f			x const f x 0 x a,b .
2.		Пусть M m.		Так как	f a f b , то либо M , либо m достигается в
точке экстремума x c, но по теореме Ферма						f c 0. Что и требовалось до-
казать.
	ТЕОРЕМА (Лагранжа). Пусть функция					y f (x)	непрерывна	x a,b
и дифференцируема				x a,b , тогда существует			c a,b	такая, что
	f b f a		f c .
			f c .
	b a

Геометрический смысл теоремы:
y			АВ – секущая (рис. 28) и
y f (x)	B		tg	f b f a	–угловой ее ко-
			tg		–угловой ее ко-
				b a
A				b a
A			эффициент.

a c О	b	х	f c tg – угловой коэффици-
			ент касательной.
Рис. 28

Так как tg tg , то секущая параллельна касательной. Таким образом, теорема утверждает, что существует касательная, параллельная секущей, проходящей через точки А и В.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Через точки А a, f a и В b, f b проведем се-

кущую АВ. Ее уравнение y f (a) f b f a x a . Рассмотрим функцию b a

F x f x y x f x f a f b f a x a , b a

F x – расстояние между соответствующими точками на графике и на

секущей АВ.

1.F x непрерывна x a,b как разность непрерывных функций.

2.F x дифференцируема x a,b как разность дифференцируемых функций.

3.F a F b 0.

Значит, F x удовлетворяет условиям теоремы Ролля, поэтому сущест-

вует C a,b такая, что
F c 0;	F x f x	f b f a	f c		f b f a	.
		b a
					b a
Теорема доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ.	Формула f b f a f c b a			называется форму-
лой Лагранжа.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.03.201513.88 Кб11Маркетинг1.docx
#
30.03.201597.6 Кб10Маркетинг2.docx
#
30.03.2015366.63 Кб891Маркировки сталей и чугуна.pdf
#
20.08.2019599.04 Кб3март_2011_монография (некоторые аспекты).doc
#
27.11.20192.74 Mб5мат методы задачи.doc
#
13.03.2016592.88 Кб17МАТ. АНАЛИЗ, Диф-ое исч-ие ф-ции одной переменной Конспект лекций Часть 2 Николаева.pdf
#
24.12.20181.29 Mб10МАтАН.doc
#
30.03.2015433.98 Кб16Математика. Аналитическая геометрия.pdf
#
30.03.2015193.86 Кб24Математическая логика - типовой расчёт.pdf
#
20.09.20191.41 Mб11математический анализ экзамен.docx
#
30.03.20151.63 Mб14Математический анализ.doc