АГ Векторная алгебра 2015-16 / 01 Векторы и линейные операции над ними
.doc
-
. Векторы и линейные операции над ними
-
Определения вектора и способы его задания
Луч – часть прямой, ограниченная одной точкой, называемой началом луча.
Определение 1
Два луча плоскости называются сонаправленными, если выполняется одно из условий:
-
лучи лежат на параллельных прямых, и если через начало лучей провести прямую, то оба луча будут лежать по одну сторону от этой прямой в их общей плоскости;
-
если лучи лежат на одной прямой, то один луч является частью другого.
Определение 2
Два луча плоскости называются противоположно направленными, если выполняется одно из условий:
-
лучи лежат на параллельных прямых, и если через начало лучей провести прямую, то оба луча будут лежать по разные стороны от этой прямой;
-
если лучи лежат на одной прямой, то ни один луч не является частью другого.
Определение 3
Множество сонаправленных лучей – это направление на плоскости.
Определение 4
Два луча пространства называются сонаправленными, если выполняется одно из условий:
-
эти лучи лежат на параллельных прямых и если через начало лучей провести плоскость, не содержащую этих лучей, то оба луча будут расположены по одну сторону от этой плоскости;
-
если лучи лежат на одной прямой, то один луч является частью другого.
Определение 5
Два луча пространства называются противоположно направленными, если выполняется одно из условий:
-
лучи лежат на параллельных прямых и если через начало лучей провести плоскость, не содержащую этих лучей, то оба луча будут лежать по разные стороны от этой плоскости;
-
если лучи лежат на одной прямой, то ни один луч не является частью другого.
Определение 6
Множество всех сонаправленных лучей пространства – направление пространства.
Определение 7
Вектор - направленный отрезок, имеющий начало и конец.
Определение 8
Вектор - упорядоченная пара точек, т.е. пара точек, одна из которых является первой (), другая – второй (). Обозначение -.
Определение 9
Луч называется соотнесённым с данным вектором, если начало этого луча совпадает с началом вектора и конец вектора лежит на продолжении этого луча.
Луч, соотнесённый с вектором:
Определение 10
Направление вектора – направление соотнесённого с ним луча.
Определение 11
Длина вектора - расстояние между началом и концом этого вектора.
Чтобы задать вектор, нужно задать:
-
начало,
-
направление (соотнесённый луч),
-
длину.
Определение 12
Равные векторы - векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковые направления, но при этом векторы не обязаны совпадать.
Длина вектора обозначается .
Утверждение 1 (Критерий равенства двух векторов)
Два вектора равны тогда и только тогда, когда четырёхугольник, построенный на данных векторах, является параллелограммом.
ABDC – параллелограмм.
B D
A C
Определение 13
Множество всех равных между собой векторов называется свободным вектором ( – обозначение).
Прикладываем вектор к точке A: , тогда вектор называется приложенным к точке A.
Длина вектора обозначается .
Определение 14
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых.
Определение 15
Три и более векторов называются компланарными, если эти векторы лежат в одной или параллельных плоскостях.
-
Сложение векторов, свойства сложения
Определение 16
Операция сложения
Правило треугольника. Говорят, что
, (1)
если будучи приложенным к началу вектора , его конец будет совпадать с концом , причём конец совпадает с началом .
B
C
A
Свойства операции сложения векторов
-
Коммутативность
(2)
B
A
D
Дано:
Доказать: , то есть .
По правилу треугольника и
Пусть точки и не совпадут, то есть .
Если , то- параллелограмм по признаку равенства векторов (Утверждение 1).
и , но , тогда и
Правило параллелограмма.
Приложим векторы и к точке A и достроим до параллелограмма. Тогда сумма – вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, с началом в точке A.
A
-
Ассоциативность
(3)
B C
A D
,
Правило сложения n векторов
Определение 17
Сложить n векторов можно так: с помощью параллельного переноса перемещаем второй вектор так, чтобы его начало совпадало с концом первого, затем начало третьего совмещаем с концом второго и т. д. по аналогии. Затем начало последнего - с концом предпоследнего. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец - с концом последнего, и будет искомой суммой n векторов.
n = 4
-
Нулевой вектор
(4)
по правилу треугольника
Определение 18
Нулевой вектор есть пара совпадающих точек.
Утверждение 2
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору, компланарен любой паре векторов.
-
Противоположный вектор
(5)
где - противоположный к .
Пусть ,
тогда по правилу треугольника.
Проверка: .
Обозначение:
Определение 19
Операция вычитания
Говорят, что
, (6)
если будучи приложенным к концу вектора , его конец будет совпадать с концом , причём начало совпадает с началом .
B
A C
-
Умножение вектора на число, свойства умножения
Определение 20
Операция умножения вектора на число
Пусть задан вектор и . Тогда
, (7)
если:
-
-
-
, .
Свойства операции умножения вектора на число
-
Дистрибутивность относительно сложения векторов.
(8)
I. не коллинеарен , , .
ABDC – параллелограмм, построенный на векторах и .
Пусть ,
B`
B
A D D`
C
C`
AB`D`C` - параллелограмм, построенный на векторах и - подобен параллелограмму ABDC с коэффициентом подобия .
AB`D’C` - параллелограмм
( – докажите самостоятельно)
II. коллинеарен ,, .
S
A` B’ C`
(по двум углам), т.к. , то коэффициент подобия равен .
(по двум углам) .
(по двум углам), т.к. , то коэффициент подобия равен
В остальных случаях рассуждения аналогичны.
-
Дистрибутивность относительно сложения чисел.
(9)
Возможны следующие случаи:
-
Ассоциативность умножения вектора на число
(10)
Теорема 1
Для того чтобы .
Необходимость:
Пусть . Если , то ;
Если , то ;
Достаточность:
Если , то по определению умножения вектора на число эти векторы коллинеарны.
-
Векторное пространство
Определение 21
Векторное пространство – произвольное множество элементов (векторов), на котором введены операции сложения элементов и умножения на число из R, удовлетворяющие 8 аксиомам:
-
Коммутативность
-
Ассоциативность
-
Существование нуля
-
Существование противоположного элемента
-
Дистрибутивность относительно сложения векторов
-
Дистрибутивность относительно сложения чисел
-
Ассоциативность умножения вектора на число
-
Умножение на единицу
Примеры векторных пространств
Примером векторных пространств могут служить: плоскость – двумерное векторное пространство, прямая – одномерное векторное пространство.