АГ Векторная алгебра 2015-16 / 04 Скалярное произведение векторов

5

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения векторов

Определение 45

Скалярным произведением вектора на называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла :

, (42)

где - наименьший угол между векторами и , приведённых к общему началу.

Выражение скалярного произведения векторов через ортогональную проекцию вектора на направление другого вектора

(43)

(44)

Геометрические свойства скалярного произведения

1) Скалярное произведение перпендикулярных векторов

(45)

2) Зависимость знака скалярного произведения от угла между векторами

(46)

Доказательство:

1. .

2. 

– острый;

– тупой.

Замечание

(47)

Алгебраические свойства скалярного произведения

1. коммутативность

(48)

2. дистрибутивность

(49)

3. ассоциативность относительно умножения на число

(50)

4) (51)

Доказательство:

;

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами в ПДСК

Пусть в ПДСК заданы координаты векторов

Теорема 11

Скалярное произведение двух векторов заданных координатами в ПДСК есть сумма произведений соответствующих координат:

(52)

Доказательство:

Вследствие взаимной перпендикулярности векторов

.

.

Из свойств скалярного произведения и взаимной перпендикулярности векторов:Пусть в АСК заданы координаты векторов

Тогда

Применение формулы вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ПДСК

Пусть в ПДСК заданы координаты векторов

1. Угол между векторами

(53)

2. Длина вектора, расстояние между двумя точками

(54)

3. Проекция вектора на направление другого вектора

(55)