Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория ФКП

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

f t	1	s i	F p eptdp	1		s ib	F p eptdp,
					lim
	2 i
		s i		2 i b		s ib

гдеинтегралберется вдольлюбой прямой Re p s s0 (рис. 42).

Доказательство формулы Меллина мы опустим. Отметим, что непосредственное применение формулы Меллина обычно затруднительно. Однако при некоторых дополнительных условиях интеграл Меллина может быть вычислен с помощью вычетов.

Отыскание оригинала с помощью вычетов

Теорема 7.2. Пусть

1) функция F p

является изображением оригинала

f t

с показателем роста s0 ,

2) функция F p

является аналитической в комплексной плоскости, за исключени-

ем конечногочисла изолированныхособыхточек p1,

p2,...,

pn изобласти Re p s0,

F p

R на полуокружности

p s

s s

и R 0

при R .

Re p s,

Тогда

f t Res F p ept,

t 0.

(7.9)

k 1 p pk

Доказательство.

Рассмотрим

замкнутый контур

состоящий

из

отрезка

s iR, s iR и

полуокружности

(рис.

43).

Выберем R

настолько большим, чтобы особые точки

попали

p1, p2, ,pn

s iR

внутрьконтура . По теореме (6.1)

F p eptdp 2 i

F p ept .

Res

p pk

k 1

С другой стороны, по свойству аддитивности интеграла

s iR

F p eptdp

s iR

F p eptdp F p eptdp.

Рис. 43

s iR

Сравнивая эти два равенства, получим:

s iR

p eptdp

F p eptdp 2 i

p ept .

(7.10)

Res

p pk

s iR

k 1

F p

На полуокружности

R по условию

теоремы функция

удовлетворяет

условиям леммы Жордана, поэтому из леммы Жордана следует, что

F p eptdp 0

при R ,

t 0.

Тогда равенство (7.10) в пределе при R примет вид:

s i

F p eptdp 2 i

F p ept .

Res

p p

s i

k 1

Учитывая формулу Меллина, получим:

f t

s i

F p eptdp

p ept

Res

, t 0

2 i

p p

s i

k 1

Следствие. Пусть функция F p

Rk p

есть отношение двух многочленов,

k n и

Qn p

p1, p2, ,pn

естьнулизнаменателя Qn p .Тогда

f t

F p ept .

Res

p p

k 1

Доказательство. Запишем функцию F p								Rk p		в виде

								Qn p
F p	R p	a pk a pk 1		... a	k		pk a0		a1p 1 ... ak p k
	k	0	1

	Qn p	b0pn b1pn 1 ... bn					pn b0		b1p 1 ... bn p n
				a0		a1p 1 ... ak p k
			где p b0			b1p 1 ... bn p n .

pn k p ,

Так как lim p

,то

M приусловии,что

R. Поэтому

F p

R .

n k

Rn k

Так как n k 0, то R 0 при R , и можно применить теорему 7.2:

f t ResF p ept.

k 1 p pk

Пример 7.18. Найти оригинал по его изображению

F p	1		.
	p 4 2
		p 3

Решение. Изображение F p является правильной дробью, имеет две особые точ-

ки: p 4 полюс второго порядка, p 3 полюс первого порядка. Используя следствие изтеоремы7.2,найдеморигинал:

f t Res F p ept	Res F p ept		ept p 4 2	/		ept p 3
		lim			lim
		lim			lim
p 4	p 3	p 4	p 4 2 p 3		p 3	p 4 2 p 3
				p

	ept t p 3			ept			ept
lim					lim				e4t t 1 e3t.
lim			2		lim			2	e4t t 1 e3t.
p 4		p 3	2			p 3	p 4	2
		p 3					p 4

Этот оригинал можно было найти, разлагая F p напростейшиедроби.

Отыскание оригинала с помощью разложения в ряд

Пусть функция F p вокрестности бесконечноудаленнойточкиразложимавряд

	c	c	c		c
F p	0	1	2	...		n	.
		2	3		p	n 1
	p	p	p	n 0

Тогда F p

являетсяизображениеморигинала

f t c0

t2 ...

tn .

(7.11)

n 0

Эта формула основана на том, что

. Строгое обоснование формулы мы

pn 1

приводитьнебудем.

Пример 7.19. Найти оригинал по его изображению F p

p2 1

Решение. Функция F p

имеет две особые точки

p i,

p i

и является анали-

тической в окрестности бесконечности

1. Для

разложения функции F p в

ряд в этой окрестности представим функцию F p

в виде

F p

1/2

p2 1

и воспользуемся стандартным разложением

1 2

1 .

1 x

x3 ...

Тогда в окрестности бесконечности

1 имеем

1 и

1/2

F p

1/2

1/2 3/2

1 3

... .

...

2p3

2!22 p5

С учетом формулы (7.11), оригинал

будет иметь вид:

1 3

f t 1

... 1

...

1 n t /2 2 .

24 2!

2 1! 2!

2 2!4!

n 0

СуммуэтогоряданазываютфункциейБесселянулевогопорядкаиобозначают J0 t .

7.4. Применение операционного исчисления

Использование операционного метода основано на том, что при переходе от оригинала к изображению операции дифференцирования и интегрирования заменяются более простыми операциями умножения и деления. Поэтому операционный метод удобно применять для решения дифференциальных и интегральных уравнений. При этом следует:

1)перейти от оригиналов к их изображениям (исходное дифференциальное или интегральное уравнение для оригиналов перейдет в более простое уравнение для изображений – операторное уравнение);

2)из операторного уравнения найти изображение;

3)по изображению восстановить оригинал.

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим задачу Коши

a x	t bx t cx	t f t ,
			a,b,c постоянные.
	x 0 x0, x 0		a,b,c постоянные.
	x 0 x0, x 0		x1,
1). Перейдем оторигиналовк ихизображениям, полагая x t X p ,				f t F p :
	x t X p ,

			p x 0 ,
	x t pX		p x 0 ,
		2X p px 0 x 0 .
	x t p	2X p px 0 x 0 .

Умножаяпервоесоотношениена c,второе–на b ,третье–на a искладывая,получим:

ax t bx t cx t X p a p2 bp c x 0 ap b a x 0 .

x0	x1
С другой стороны, a x t bx t cx t f t F p .

Сравнивая эти два соотношения, получим операторное уравнение

X p a p2 bp c x0 ap b ax1 F p . 2). Решая операторное уравнение, найдем изображение

X p F p x0 ap b a x1 . a p2 bp c

3). По изображению X p восстановим оригинал x t .

Замечания.

1). Случай дифференциального уравнения n го порядка с постоянными коэффициентами принципиально ничем не отличается отслучая уравнения 2-го порядка.

2). При операционном методе решения, в отличие от классического метода, получаем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, минуя получение общего решения.

3). Для получения общего решения уравнения нужно считать начальные значения не заданными, а произвольными постоянными, т.е. x 0 c1, x 0 c2.

4). Операционный метод применим и когда функция f t кусочна непрерывна.

5). Если начальные условия заданы при t t0					0, то сначала нужно сделать за-
мену t t0 . При этом xt	t x	t t	x t , xtt t x t .

				t 9x	t	2		f t
		x		t 9x	t	f t ,
Пример 7.20. Решить задачу Коши:						0,
		x 0 0, x 0				0,
							2	4 t
						0	2	4 t

если функция f t задана графиком (рис.44).

Рис.44

Решение. 1). Перейдем ÷ от оригиналов к их изображениям, полагая x t X p , f t F p . Тогда

x t X p ,
x t p2X p px 0 x 0 p2X p ,
f t F p	1	2	1	e 2p	1	e 4p	пример 7.10	.
	p2		p2		p2

Используя свойство линейности, перейдем в дифференциальном уравнении от оригиналов к изображениям:

p2 X p 9X p F p .

2). Из полученного алгебраического уравнения найдем изображение

X p	F p	1	1		e 2p	1	e 4p .
			2
	p2 9	p2 p2 9		p2 p2 9		p2 p2 9

3). По изображению восстановим оригинал. Сначала найдем оригинал первого слагаемого

1	1	1	1	1	1	3	1		1		1	t		sint
								t		sint					t .
p2 p2 9	p2	p2 9		p2		p2 9			3				9	27
			9		3		9				9

Второе и третье слагаемые в изображении X p отличаются от первого множителями e 2p и e 4p ,значит,ихоригиналызапаздываютпосравнениюспредыдущимна 2 и 4:

1			t 2		sin t 2
		e 2p				t 2	,
p2 p2	9			9	27

1			t 4		sin t 4
		e 4p				t 4	.
p2 p2	9			9	27

			t	sint								t 2			sin t 2								t 4			sin t 4
Окончательно, x t			t					t 2											t	2							t 4	.
Окончательно, x t	9							t 2							27				t	2						27	t 4	.
	9				27							9			27								9			27

0, t 0														0, t 2		, t 4					0, t 4
Подставляя t		1,			, t 2									1, t 2		, t 4						t 4		, получим:
		1,		t 0										1, t 2							1,	t 4
							t		sint ,
							t														0 t 2,
						9															0 t 2,
						9			27					sin t 2

				t	sint						t 2
x t				t					2								,						2 t 4,
x t				9					2					27			,						2 t 4,
				9	27						9			27

		t		sint		2 t 2							sin t 2				t 4				sin t 4			,	t 4.
		t											sin t 2								sin t 4

		9			27					9				27				9		27

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом Дюамеля

Метод Дюамеля выгодно применять при решении уравнения со сложной правой частью f t или при решении нескольких уравнений с одинаковыми левыми

и различными правыми частями. Рассмотрим задачу Коши

		t cx		t f t ,
a x	t bx				(7.12)
			0	0
	x 0 0, x

с нулевыми начальными условиями и постоянными коэффициентами a,b,c. Рассмотрим вспомогательную задачу Коши

				t cx	t	1,
a x		t bx					(7.13)
	1		1	1
			x1 0 0, x1 0 0

с нулевыми начальными условиями и правой частью, равной единице. Перейдем в задачах (7.12) и (7.13) от оригиналов к их изображениям, полагая

x t X p , x1 t X1 p ,	f t F p иучитывая,что x t pX p ,x t p2X p , 1								1	.

Получим следующие операторные уравнения:									p

		X p a p2 bp c F p ,						(7.14)
		X1 p a p2		bp c		1	.	(7.15)

		X p				p
Поделим эти уравнения:			pF p		X p pF p X			1 p .

		X1 p

ПрименивформулуДюамеля (формула №10 из таблицы изображений), получим:

x t f t x t f t x		0 f t x t .
1			1
	1
	0

Итак, для решения задачи (7.12) нужно:

1) рассмотретьвспомогательную задачу(7.13) справойчастью,равнойединице

				t cx t 1,
ax		t bx		t cx t 1,
	1		1	1
		x1 0 0, x1 0 0;
2) в задаче (7.13) перейти к изображениям X1 p ap2							bp c	1	и восстано-
2) в задаче (7.13) перейти к изображениям X1 p ap2							bp c		и восстано-
								p
вить оригинал x t	по его изображению pX				1	p	1		;
вить оригинал x t	по его изображению pX					p			;
1							a p2 bp c
							a p2 bp c

3) решение исходной задачи (7.12) найти по формуле

x t f t x1 t f x1 t d .

Замечание

Если начальные условия не являются нулевыми, то нужно их сделать нулевыми с помощью замены y t x t t и подбора чисел , .

		t x t					1
							4 sin2t ,
	x						4 sin2t ,
Пример 7.21. РешитьзадачуКоши					0	0.
	x		0 0, x		0	0.

Решение. Для функции f t	1			изображение найти сложно. Поэтому
Решение. Для функции f t				изображение найти сложно. Поэтому
	4 sin2t

применим метод Дюамеля. Для этого запишем вспомогательную задачу с правой частью, равной единице:

		t x	t 1,
x		t x	t 1,
	1	1
		0 0, x1 0 0.
x1		0 0, x1 0 0.

Перейдем от оригиналов к их изображениям, полагая x1 t X1 p

и учитывая,

что x1 t pX1 p ,

x1 t p2X1 p ,

. Получим:

X1 p p2 1

p X1 p

x1 t sint .

Решение исходной задачи найдем по формуле

x t f t x

f x t

sin t d

4 sin2

cos

sin

dsin

dcos

sint

d cost

d sint

cost

4 sin

5 cos

cost

sint

1arctgsint

cos

sint

arctgsint

cos

5 cos

5 cost

5 1

Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Операционный метод решения системы линейных дифференциальных уравнений аналогичен методу решения одного линейного дифференциального уравнения. Переходя от оригиналов к изображениям, получим систему линейных алгебраических уравнений; решим ее одним из известных способов, например, методом Гаусса, или по формулам Крамера; затем по найденным изображениям восстановим оригиналы.

Пример 7.22. РешитьзадачуКоши для системы дифференциальных уравнений


x	y	2x 2y		1 2t,
	2y		x	x 0	y 0 x 0 0.
x	2y		x	0,

Решение. 1). Перейдем от оригиналов к изображениям. Пусть x t X p , y t Y p . Тогда

x t p X p x 0 p X p ,


		t p			2		p	2	X p ,
	x	t p				X p p x 0 x 0	p		X p ,
		t pY p y 0 pY p .
	y	t pY p y 0 pY p .
Учтём еще, что 1 2t	1		2	. Тогда дифференциальные уравнения для оригина-
Учтём еще, что 1 2t	p			. Тогда дифференциальные уравнения для оригина-
	p		p2

лов перейдут в алгебраические уравнения для изображений:

2 Y p 2

p 2

p X pY 2X 2Y

или

p2X 2pY X 0,

2 1 2pY 0.

Сократим первое уравнение на

p 2:

X Y 1/ p ,

X p2 1 2pY 0.

2). Найдем изображения X и Y из этой системы алгебраических уравнений:

Y X

p p 1 2

3). По изображениям восстановим оригиналы. Для этого функцию X p разложим на простейшие дроби

(7.16)

p p 1 2

p 1

p 1 2

Приведем к общему знаменателю и приравняем числители:

2 A p 1 2 B p p 1 C p.

Это равенство верно при любом p . В частности, при p 0

получим 2 A, при

p 1 получим

2 C . Приравняв коэффициенты при p2 , получим

0 A B, от-

куда B 2. Подставляянайденные коэффициенты в разложение (7.16),получим:

X p

p 1

p 1 2

Теперь воспользуемся табличными изображениями:

e t . Так как

t ,

p 1

то

te t

(формула №8изтаблицы изображений) и x t 2 2e t

2te t .

p 1 2

Из равенства Y X

получим: y

t x t t 2 2e t 2te t t

2te

x t 2 2e

Окончательно имеем:

2te t t.

y t 2 2e t

Решение интегрального уравнения типа свертки

Интегральным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная функция входит под знак интеграла. Мы рассмотрим лишь интегральное уравнение типа свертки, т.е. уравнение вида

	t
	x t f t g t x d .
	0
При 0	уравнение называют интегральным уравнением Вольтера 1-го рода.
При 0	уравнение называют интегральным уравнением Вольтера 2-го рода.

В этом уравнении интеграл представляет собой свертку функций x t и g t , поэтому уравнение удобно записать в виде x t f t x t g t и решать операционным методом, переходя от оригиналов к изображениям.

Пусть x t X p , f t F p , g t G p . Тогда свертка функций x t и g t

имеет изображение X p G p . При этом интегральное уравнение для оригинала перейдет в алгебраическое уравнение для его изображения:

X p F p X p G p .

Найдем изображение X p из этого уравнения:	X p	F p
			.
		G p
По изображению восстановим оригинал x t .
Пример 7.23. Найти функцию x t из уравнения	t
	sin t x d sin2t .
	0

Решение. В этом уравнении интеграл представляет собой свертку функций x t

и sint , поэтому уравнение удобно записать в виде x t sint sin2t .

1). Перейдем от оригиналов к изображениям. Пусть x t X p . Из таблицы изоб-

			1		2		1 cos2t								p
ражений имеем: sint			1	, sin		t	2			1		1				. Тогда свертка функций
ражений имеем: sint		p	2	, sin		t				1			p	2	4	. Тогда свертка функций
		p	1							2	p		p		4
x t	и sint , имеет изображение X p								1	. При этом интегральное уравнение для
x t	и sint , имеет изображение X p							p	2	. При этом интегральное уравнение для
								p	1

оригиналаперейдетвалгебраическоеуравнениедляегоизображения:

X p		1	1		1		p
								.
	p	2				p	2
		1	2	p			4

2). Найдем изображение X p из этого уравнения:

X p p22 1 1p p2p 4 p22 1 p p42 4

3). По изображению восстановим оригинал. Для этого числитель представим в виде 4p2 4 p2 4 3p2 . Тогда

X p 1	4p2	4	1	p2 4 3p2	1		1		p
								3			.
	p p2	4		p p2 4					p2	4
2			2		2	p

Получили сумму табличных изображений. Используя свойство линейности можно записать оригинал

x t 1 1 3cos2t . 2

Вычисление несобственных интегралов

Пусть оригинал f t с показателем роста s0			имеет изображение F p .
Тогда из определения изображения следует, что

		f t e ptd t F p
		f t e ptd t F p	в области Re p s0.	(7.17)
	0

Пример 7.24. Вычислить интегралы cos4t e 5tdt, tsin2t e 4tdt.
		0	0

Решение. Интеграл cos4t e 5tdt		естьизображение оригиналаcos4t при p 5, т.е.
0
				p				5

cos4t e 5td t									.
cos4t e 5td t			p	2	2				.
0			p	4		p 5	41
0						p 5
Отметим, что условие Re p s0	выполняется, т.к. Re p 5, s0 0 (п. 7.2, свойство 1).

Интеграл tsin2t e 4tdt есть изображение оригинала tsin2t										при p 4, т.е.
0

		2		2 2p			1

tsin2t e 4td t
								.
		2		p2 4	2			.
0	p	4	p 4	p2 4		25
						p 4

Здесь использована формула №5 из таблицы изображений. Отметим, что условие Re p s0 выполняется, т.к. Re p 4, s0 0 (свойство 4 для оригиналов из п. 7.1 и свойство 1 для изображений из п. 7.2).

Библиографический список

1.Краснов М.Л. Вся высшая математика / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. М.: Эдиториал УРСС, 2005. Т.4. 352 с.

2.Пчелин Б.К. Специальные разделы высшей математики / Б.К. Пчелин. М.: Высшая школа, 1972. 462 с.

3.Сидоров В.Ю. Лекции по теории функций комплексного переменного / В.Ю. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. М.: Наука, 1982. 488 с.

4.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике /Д.Т. Письменный. М.: Айрис-пресс, 2004. 603 с.

5.Мышкис А.Д. Математика для технических вузов. Специальные курсы /А.Д. Мышкис. СПб.: Изд-во «Лань», 2002. 640 с.

6.Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев.М.:Наука, 1980. 946 с.

7.Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1977. 831 с.

8.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / под ред. Б.П. Демидовича. М.: «Изд-во Астрель», 2003. 495 с.

9.Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч.4 / под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 2000. 464 с.

10.Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1977. 831 с.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2018101.53 Кб14Теория управления. Амбарова.docx
#
25.12.2018440.83 Кб16Теория управления. Шпаргалка_РИОР, 2010 -36с.doc
#
22.02.201543.52 Кб28Теория управления1.doc
#
16.09.2019152.58 Кб19Теория фазовых переходов.doc
#
22.02.2015165.93 Кб15теория физика 2 курс 2 семестр.docx
#
13.03.20161.54 Mб70Теория ФКП.pdf
#
13.03.201632.35 Кб35Теория Холла.docx
#
01.03.20253.28 Mб0Теория(30 вопросов).doc
#
23.02.20151.91 Mб95Теория(30 вопросов).pdf
#
31.08.2019109.06 Кб4теорю концепц. граф. диз. 60 - 80е.doc
#
01.04.20253.04 Mб2Теософский словарь.doc