Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория ФКП

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Пример 2.5. Вычислить w Arcchi.

Решение.Изусловия w Arcchi имеем:

		ew e w	i e2w 2iew 1 0 ew i		i 1
chw i				i2 1
						2

	2

Ln 1

2 i

ln 1

2 i

2 k

Ln 1

2 i

2 1 i

2 k

2.2. Предел и непрерывность функции

Определение предела функции комплексного переменного совпадает с аналогичным определением для функции действительного переменного. Для формулировки определения введем на комплексной плоскости понятие окрестно-

сти конечной точки (рис.6) и окрестности бесконечности (рис.7).

окрестность конечной точки S z0 z:

z z0

;

окрестность бесконечности

S z:

;

выколотая окрестность конечной точки

S z0 z:

z z0

;

выколотая окрестность бесконечности

S S z:

Рис.6

Рис.7

Определение (на языке окрестностей). Комплексное число A называют пре-

делом функции

f z при

z a (A, a конечные или бесконечные), если для

любого положительного

найдется такое положительное число , что

f z S A как только z S z0 .

Определение (на языке неравенств). Рассмотрим несколько случаев.

1).

lim

f z A

(a, A конечные), если для 0

0 такое, что

z a

f z

f z A

как только

z a

2).

lim

(a конечное), если для 0

0 такое, что

z a

f z A

f z

как только 0

z a

3).

lim

(A конечное), если для 0

0 такое, что

f z A

как только

Пример 2.6. Существует ли lim

z 0

y 0, x 0,

Решение.

x i y

Следовательно,

несуществует.

lim

x 0, y 0.

z 0 z

x 0 x i y

z 0 z

y 0

Теорема 2.1. Пусть f z u x,y iv x, y ,

A a ib,

z0 x0 i y0 . Тогда

lim f z A

lim

u x,y a,

lim

v x,y b.

z z

x x

y y0

Доказательство. Так как

f z A

x,y a

2 v x,y b 2

, то

f z A

0 при z z0

u x, y a 0,

v x,y b 0

при x x0 ,

y y0 .

Эта теорема позволяет перенести на функции комплексного переменного основные свойства предела функций двух действительных переменных.

Определение непрерывности для функции комплексного переменного совпадает с аналогичным определением для функции действительного переменного.

Функция f z называется непрерывной в точке z0 , если

lim f z f z0 .

z z0

Для непрерывности функции комплексного переменного f z u x,y iv x,y

в точке z0 x0 i y0 необходимо и достаточно, чтобы функции u x,y , v x, y были непрерывны в точке x0,y0 (следует из теоремы 2.1).

Это позволяет перенести на функции комплексного переменного основные свойства непрерывныхфункций двух действительных переменных.

2.3. Дифференцируемые функции

Функция f z называется дифференцируемой в точке z0 , если она имеет в этой точке производную

f z0	lim	f z f	z0	lim	f z0	.
		z z0			z
	z z0			z 0

Из определения производной и свойств предела функции следует, что для функций комплексного переменного сохраняются основные правила дифференцирования суммы, произведения, частного, правило дифференцирования сложной функции:

f z g z			f z g z ,

f z g z f z g z f						z g z ,

	f z			z	g z f z g		z	,
	f z	f		z	g z f z g		z	,

	g z				g2 z

f w z z fw wz .

Выясним, при каких условиях функция f z будет дифференцируемой.

Теорема 2.2. Пусть функции u x,y , v x, y дифференцируемы в точке x,y .

Функция f z u x,y iv x,y

будет дифференцируемой в точке z x i y тогда

и только тогда, когда выполняются следующие условия Коши-Римана:

ux vy , uy vx

(2.10)

Доказательство. Необходимость. Пусть функция

f z дифференцируема в

точке z, т.е. существует предел

f z lim

f z

lim

u x, y i v x, y

x i y

z 0

x 0

y 0

причем этот предел не зависит от способа стремления x и

y к нулю. В част-

ности, при y 0, x 0 имеем

f z

lim

xu x, y i xv x, y

ux ivx .

x 0

При x 0, y 0 имеем

y u x,y i y v x, y

f z

lim

vy iuy .

i y

y 0

Сравнивая эти равенства, получим: ux ivx vy iuy

ux vy,

uy vx .

Достаточность. Пусть выполнены условия Коши-Римана и функции u x, y , v x, y − дифференцируемы. Тогда

u ux x uy y o ,v vx x vy y o .

Здесь x 2 y 2 z . Тогда

f z u i v ux ivx x uy ivy y o z .

Во второй скобке этого равенства воспользуемся условиями Коши-Римана: uy ivy vx iux i 2 vx i ux i ux ivx ;

f z ux ivx x i ux ivx y o z ux ivx x i y o z ux ivx z o z .

Поэтому существует производная

z lim

f z

ux ivx z

lim

z 0

т.е. функция f z − дифференцируема,

причем f z ux ivx .

Следствие 1. Еслидляфункции f z

выполняются условияКоши-Римана, то

f z ux ivx vy iuy ux iuy vy ivx.

Первая из этих формул получена при доказательстве теоремы, остальные формулы следуют из условий Коши-Римана.

Следствие 2. Элементарные функции sinz, cosz, ez, zn, lnz z 0 , shz, ch z

дифференцируемы, причем

sinz cosz, cosz sinz, ez e z, zn nzn 1,

	1
lnz		z 0 , shz	chz, chz shz.
lnz	z	z 0 , shz	chz, chz shz.
	z

Докажем это утверждение, например, для функции sin z. Для этого выделим действительную и мнимую части этой функции:

sinz sin x i y sinx cos i y cosx sin i y sinx ch y icosx sh y;

	u x,y sinx ch y,			v x,y cosx sh y.
Проверим условия Коши-Римана:
		,
ux	cosx ch y vy	,	uy	sinx sh y vx .

ТаккакусловияКоши-Риманавыполняются,тофункция sinz дифференцируемаи

sin z ux ivx cosx ch y isinx sh y cosx cos i y sinx sin i y cos x i y cosz.

Пример 2.7. Исследовать, будет ли дифференцируема функция f z z Rez.

Решение. Учитывая, что z x i y, Rez x, получим f z x i y x x2 ixy .

Таким образом, мы выделили у функции f z ее действительную часть u x2 и

мнимую часть v xy. Найдем частные производные этих функций: ux 2x, vx y , uy 0, vy x . Условия Коши−Римана ux vy , uy vx выполняются только при x y 0. Поэтомуфункция f z z Rez дифференцируема только вточке z 0.

Геометрический смысл аргумента и модуля производной

1). На плоскости z	рассмотрим точки z0				и z, кривую , их соединяющую,
и угол наклона секущей z0 z (рис. 8).
При отображении w f z		получим в плоскости w					их образы: точки w0 и w,
кривую Г , их соединяющую, и угол			наклона секущей w0w (рис. 9).
z		z			w			Г
		z						w
	z0							w
							0

Рис. 8							Рис. 9
По определению производной
	f z0 lim			w	lim	w w0		.	(2.11)
	f z0 lim				lim			.	(2.11)
		z 0 z			z 0 z z0

Так как при делении комплексных чисел их аргументы вычитаются, то из равенства (2.11) следует, что

	arg f z0	lim	arg w w0		lim	arg z z0 .
		w w			z z
		0	угол		0	угол
При z z0	имеем: w w0,	угол	наклона		секущей z0 z стремится к углу
наклона 0 касательной к кривой			в точке	z0, угол наклона секущей w0 w

подобия любой малой кри-

стремится к углу наклона 0 касательной к кривой Г в точке w0 . Поэтому

arg f z0 0 0 .

Это равенство выражает геометрический смысл аргумента производной:

arg f z0 естьуголповоротакасательнойккривой вточке z0

приотображении f z .

Пусть 1 другаякривая,проходящаячерезточку z0,

1 угол наклона ее касательной к оси ox,

Г1 образ 1,проходящийчерезточку w0 ,

1 угол наклона ее касательной к оси ox.

Тогда arg f z0 0 0 , arg f z0 1 1. Вычитая эти два равенства, получим

1 0 1 0 , т.е.

уголмеждуобразамикривыхвточке w0 равенуглумеждукривымивточке z0.

Это есть свойство сохранения или консерватизма углов в точке z0 при отображении w f z .

2). Из равенства (3.1) следует:

f z0

lim

w w0

f z0

z z0

, т.е.

z z0

z 0

f z0

Это равенство выражает геометрический смысл модуля производной:

величина

f z0

определяет коэффициент изменения (подобия) длины любой

бесконечно малой дуги, выходящей из точки z0

при отображении w f z .

Так как коэффициент изменения (подобия) одинаков для любой бесконечно малой дуги, выходящей из точки z0, то это свойство называют свойством постоянства растяжений.

Пример 2.8. Найти угол поворота и коэффициент

вой, выходящей из точки z

при отображении f z

z z0

Решение. Найдем производную этой функции в точках z

и z0:

1 z

z0 1 z z0

f z

f z0

x0 i y0 x0 i y0

2y0

Тогда угол поворота любой кривой, проходящейчерезточку z0, при данном отоб-

ражении равен

arg f z0

, если y0 0

и равен arg f z0

, если y0 0.

Коэффициент подобия в точке z0 равен

f z0

y0 0 .

2y0

2.4.Аналитические функции

Втеории функций комплексного переменного важную роль играет класс аналитических функций. Однозначная функция f z называется аналитической в

точке z , если она дифференцируема в этой точке и внекоторой ее окрестности. Однозначная функция f z называется аналитической в области D, если

она является аналитической в каждой точке этой области. Укажем ряд свойств аналитических функций.

1). Функция f z является аналитической в области D тогда и только тогда,

когда в этой области ее действительная и мнимая части удовлетворяют условиям Коши-Римана.

2). Сумма, разность, произведение, суперпозиция аналитических функций являются функциями аналитическими. Частное аналитических функций является аналитической функцией, если знаменатель не обращается в нуль.

3). Пусть функция f z u x, y iv x, y				является аналитической в области D.
Тогда в этой области функции		u x, y ,		v x, y		являются гармоническими, т.е.
удовлетворяют уравнению Лапласа:
			,				.	(2.12)

	uxx uyy 0				vxx vyy 0
Докажем это свойство. Так как функция				f z является аналитической, то ее дей-
ствительная имнимая части u x,y , v x, y				удовлетворяют условиям Коши-Римана:
ux vy , uy vx . Продифференцируемпервоеравенство по x, второе−по y :
	uxx vx y ,		uy y vx y .
						. Аналогично доказывается, что
Складывая эти равенства, получим: uxx			uyy 0
функция v x, y также является гармонической.

Отметим, что из гармоничности функций u x,y , v x, y не следует аналитич-

ность функции f z u x, y iv x, y . Например, для функции f z z x i y ее действительная и мнимая части u x,y x, v x,y y являются функциями гар-

моническими, но не удовлетворяют условиям Коши-Римана, т.е. функция f z z

не является аналитической.	f z ,
4). Если известна действительная или мнимая часть аналитической функции
то с точностью до постоянной можетбытьвосстановлена сама функция f z .
Пусть, например, известна Re f z u x, y . Требуется найти Im f z v x, y .
Воспользуемся условиями Коши-Римана:
vx uy , vy ux .	(2.13)

Первое из этих равенств проинтегрируем по x с точностью до константы c y , не зависящейот переменной интегрирования

v uy dx c y .

Для отыскания c y следует подставить найденную функцию v x,y во второе из равенств (2.13).

Пример 2.9. Найтианалитическую функцию f z , укоторой

Im f z v x, y 6x2y 2y3 y .

Решение.Требуетсянайти Re f z u x, y .ВоспользуемсяусловиямиКоши-Римана:

ux vy 6x2 6y2 1,	uy vx 12x y.	(2.14)
Равенство ux 6x2 6y2 1 проинтегрируем по x:
u 6x2 6y2 1 dx 2x3 6y2x x c y .

Дляотыскания c y подставимнайденнуюфункцию u x,			y вовтороеизравенств(2.14)
uy 12x y:	uy 12x y 12x y c y	c y 0	c y c. Тогда

u 2x3 6y2x x c,

fz u iv 2x3 6y2x x c i 6x2y 2y3 y

x i y 2 x3 3x2 i y 3x i y 2 i y 3 c x i y 2 x i y 3 c.

Следовательно, f z 2z3 z c.

3.Интегрирование функций

3.1.Определение и свойства интеграла

Пусть L − гладкая ориентированная дуга на ком-

zn B

плексной плоскости z,

f z − непрерывная функция, за-

данная на дуге L . Разобьем дугу L произвольным об-

разом на

ячеек

(элементарных

дуг) точками

zk 1

z1, z2 ,...,zn

(рис.

10).

этих ячейках

выберем произ-

Рис. 10

z1,z2 ,...,zn.

вольно точки

Составим сумму f (zk) zk ,

k 1

f z

где zk zk zk 1.

Эта сумма называется интегральной суммой функции

по дуге L . Найдем предел интегральной суммы при стремлении к нулю вели-

чины d max

1 k n

Если существует предел интегральной суммы f (zk) zk

при d 0,

не завися-

k 1

щий от способа разбиения дуги L и от выбора промежуточных точек zk , то этот

предел называетсяинтеграломфункции f z по дуге L и обозначается

f z dz:

f z dz lim

f (zk) zk .

(3.1)

d 0

k 1

Для обозначения интеграла по замкнутому контуру используется знак .

Свойства интеграла

1).

f z dz

u x,y iv x,y dx idy

udx vdy i

vdx udy .

2). При изменении ориентации дуги интеграл

f z dz меняет знак.

3).

f z g z

f z dz

g z dz .

4). Пусть

f z

на дуге L . Тогда

f z dz

M L , где L − длина дуги.

5). Пусть z z t есть параметрическое уравнение дуги AB, причём концам дуги

A и B соответствуют значения параметров tA и tB . Тогда

	tB	f z t z t d t
	f z dz	f z t z t d t	.	(3.2)
AB	tA

Эти свойства следуют из определения интеграла; например, приведем вывод свойства 4):

f zk

f zk zk

f zk

M L .

k 1

Формулу (3.2) удобно использовать для вычисления интеграла. Покажем это на следующем примере.

Пример 3.1. Вычислить интеграл In	dz		по окружности с центром в
Пример 3.1. Вычислить интеграл In	z z	n	по окружности с центром в
L	0

точке z0 радиусомR, ориентированной против часовой стрелки.

Решение. Вычислим этот интеграл, используя равенство (3.2). Для этого запишем

параметрические уравнения окружности: x x0 Rcost,						y y0	Rsint, t 0,2 . От-
сюда z z0	x x0 i y y0 Rcost iRsint R eit , т.е.					мы получили парамет-
рическое уравнение окружности в комплексной форме

					z z0 Reit, t 0,2	.	(3.3)
Вычислим		dt R ie	it	dt и подставим в интеграл:
Вычислим	dz zt	dt R ie		dt и подставим в интеграл:

Rieitdt

Reit n

Rn 1

ei 1 n tdt .

Следует различать два случая. При n 1 имеем:	I1 i e0d t 2 i.
	0

f z

ei 1 n t

2 i 1 n

При n 1 получим:

n 1

i 1 n

n 1

1 n

2 i 1 n

функции,

Число

кратно

периоду

2 i

показательной

поэтому

e2 i 1 n

e0 и In 0

n 1 . Таким образом,

2 i,

n 1

z z

n 1.

Пример 3.2. Вычислить интеграл

z Rezdz

а) по отрезку OA; б) по отрезку

по отрезку

1 B

AB ; в)

BO; г) по

ломаной OABO (рис. 11).

Решение.

а). На отрезке OA:

y 0, z x iy x ,

dz dx, Rez x. Поэтому

Рис. 11

x xdx 1 .

z Rezdz

б). На отрезке AB :

y 1 x ,

z x iy x i 1 x ,

dz 1 i dx ,

Rez x. Поэтому

1 i dx 1

1i.

z Rezdz

x i 1 x x

x 0,1 . Поэтому

в). На отрезке BO :

x 0,

z x iy iy ,

dz idy, Re z 0,

z Rezdz iy 0 idy 0.

г).

z Rezdz I1 I2

I3 13 21 16i 0 16 61i.

OABO

3.2. Интегральные теоремы

Введем следующие понятия. Область D назовем односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости принадлежит D. В противном случае область называется многосвязной. Выражаясь образно, односвязная плоская область – это область без дырок (рис. 12), а многосвязная область− это областьс дырками (рис. 13).

Рис. 12

Теорема Коши (для односвязной области).

Пусть функция является аналитической в односвязной области D.

Тогда интеграл от этой функции по любой кусочно-гладкой замкнутой кривой L из области D равен нулю, т.е.

f z d z 0	.	(3.4)
L

Доказательство. Для упрощения доказательства будем предполагать непрерывность производной f z . Запишем интеграл в виде

	f	z dz udx vdy				i	vdx udy
	L			L		L
иприменимформулуГрина Pdx Qdy (Qx Py )dxdy (рис.									12):
			L		D
	udx vdy					vdx udy
	udx vdy	vx uy dxdy,				vdx udy		ux vy dxdy .
L	D				L		D
В силу условий Коши-Римана ux vy ,					uy	vx	подынтегральные выражения в

каждом из двойных интегралов равны нулю и поэтому эти интегралы равны нулю, а значит, f z d z 0.

L
							z
		3		z		e	z
Пример 3.3. Вычислить интеграл I		3	e	z	z Rez	e		sinz			по ломаной
									5
	z						z			dz


								1

OABO (рис. 11).

Решение. Функция z3 ez ez sinz является аналитической внутри контура

z 1 5

OABO (нуль знаменателя − точка z 1 лежит вне области, ограниченной этим контуром); область, ограниченная линией интегрирования, является односвязной. Поэтому по теореме Коши

sinz

z 1

dz 0.

OABO

Функция z Rez, как показано

примере

2.7, не является

аналитической.

Интеграл от нее вычислен в примере 3.2: I2

z Rezdz

6i . Поэтому

OABO

I I

1 i.

Теорема Коши (для многосвязной области). Пусть

1)D − многосвязная область, ограниченная внешним контуром L и внутренними контурами L1, L2,...,Ln (рис. 13),

2)контуры L, L1, L2,...,Ln одинаково ориентированы (например, против хода

часовой стрелки),

3) функция f z является аналитической в области D и непрерывной в

замкнутой области D.

Тогда интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам, т.е.

f z dz		f z dz	f z dz f z dz .	(3.5)
L	L1	L2	Ln

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2018102 Кб30Теория управления. Амбарова.docx
#
25.12.2018441 Кб32Теория управления. Шпаргалка_РИОР, 2010 -36с.doc
#
22.02.201544 Кб45Теория управления1.doc
#
16.09.2019153 Кб31Теория фазовых переходов.doc
#
22.02.2015166 Кб16теория физика 2 курс 2 семестр.docx
#
13.03.20162 Мб71Теория ФКП.pdf
#
13.03.201632 Кб35Теория Холла.docx
#
01.07.202592 Кб1теория_диплом.docx
#
23.02.20152 Мб99Теория(30 вопросов).pdf
#
31.08.2019109 Кб7теорю концепц. граф. диз. 60 - 80е.doc
#
01.07.2025444 Кб2Теософские и АНТРОПОСОФСКИЕ ИДЕИ в русском искусстве Каненга.doc