Теория ФКП

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

равенство lim e pt 0.

Если p s i , то e pt e s i t e st e i t .

Функция e st является бесконечно малой при t , так как s Re p 0. Функ-

является ограниченной, так как

cos2 t sin2 t

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Поэтому функция e pt , как произведение бесконечно малой функции на огра-

ниченную функцию, является бесконечно малой при t , т.е. lim

e pt 0.

Итак, мы получили:

или 1

Во второй формуле мы по договоренности опустили множитель t .

Пример 7.5. Найти изображение функции eqt (t).

Решение. Функция eqt (t)

является оригиналом с показателем роста

s Req

(пример 7.3). Поэтому ее изображение F p

определено в области

Re p Req.

Найдем это изображение:

F(p) e qt e ptdt e q p tdt e q p t

q p

p q

e q p t 0,

Здесь, также как в предыдущем примере,

можно показать, что lim

так как Re q p 0. Итак,

eqt (t)

или e qt

Re p Req

p q

Для перехода от оригинала к изображению (и для обратного перехода) надо знать свойства изображения.

7.2. Свойства изображений

1. Линейность

Пусть f t есть оригинал с показателем роста s1 , g t есть оригинал с показателем роста s2 , f t F p , g t G p . Тогда

f t g t F p G p ,

где , − любые постоянные,

Re p max s1,s2 .

t g t есть оригинал

Действительно, по свойству оригиналов функция f

с показателем роста s max s1,s2 , поэтому в области

Re p max s1,s2 изобра-

жение оригинала f t g t существует. Вычислим его:

f t g t f t g t e ptdt f t e ptdt g t e ptdt F p G p .

Используя это свойство, можно показать, что

sin t

cos t

Re p

p2 2

sh t

ch t

Re p

p2 2

(по договоренности опускаем множитель t ).

Действительно, по формуле Эйлера sin t 21i ei t e i t .

Используя свойство линейности и пример 7.5, получим

sin t

p i p i

Re p Re

2i p i

p i

p i2 2

2 2

Аналогично, например,

ch t 1

, Re p Re

2. Свойство подобия

Пусть f t есть оригинал с показателем роста s0

f t F p . Тогда

f t

p ,

Re p s

Действительно,

f t

t e

dt d

f e

, причем,

так как f t

есть оригинал с показателем роста s0, то его изображение суще-

ствует в области Re p s0 .

3. Дифференцирование оригинала

Пусть

f n t

есть оригинал с показателем роста s

. Тогда f n 1 t ,

f n 2 t ,…,

f t ,

f t есть оригиналы с показателями роста s0 , причем, если

f t F p , то

f t pF p f 0 ,

f t p2 F p p f 0 f 0 ,....,

f n t pn F p pn 1f 0 pn 2 f 0 ... f n 1 0 ,

где f k 0 lim

f k t

k 1,2,3,...

и Re p s .

t 0

Действительно, если f n t естьоригинал с показателем роста s

, то из свойств

оригиналов следует, что f n d f n 1 t f n 1 0 , а следовательно и	f n 1 t ,
0
t

есть оригинал с показателем роста s0 . Аналогично, f n 2 t f n 1 d f n 1 0

является оригиналом с показателем роста s0 и т.д.

Найдем изображение оригинала

f t . Для этого воспользуемся определением

изображенияиметодоминтегрированияпочастям:

u e pt

du pe ptdt

f t

f t e ptdt

f t e pt

p f t e ptdt .

dv f t dt

v f t dt f

Оценим функцию f t e pt , где p s i . Так как

f t

M e s0t

e i t

1, то

	f t e pt	M es0t	e st		e i t	M es0t e st M e s s0 t .
Предел этой функции при t					равен нулю, так как s Re p s0 . Поэтому

f t 0 f 0 pF p pF p f 0 . Пользуясь полученным изображением про-

изводной и учитывая, что f t f t , находим

f t p pF p f 0 f 0 p2F p

p f 0 f 0 и т.д.

Пример 7.6. Найти изображение F p

функции

f t sin2t.

Решение. Продифференцируем это равенство:

f t 2sintcost

sin2t .

Перейдем к изображениям:

pF p f 0

p p

4. Интегрирование оригинала

Пусть f t есть оригинал с показателем роста s0 ,

f t F p , Re p s0. Тогда

F p

f d

pG p g 0 F p ,

g 0 f d 0

G p F pp .

Таким образом, при интегрировании оригинала его изображение делится на p .

и ее изображение G p . Извест-

Действительно, рассмотрим функцию g t f d

но,что g t f t .Перейдемвэтомравенствекизображениям,учитываясвойство3:

Пример 7.7. Доказать, что t n n! . pn 1

Решение. Применим n раз свойство 4, учитывая, что 1 1 .

1/ p

1 t2 t

1/ p2

t3 t

1/ p3

t 1 d

2 d

2 3

Тогда получим:

p14 ,...,ntn! p1n 1 tn pnn!1.

5. Дифференцирование изображения

Пусть f t есть оригинал с показателем роста s0 , f t F p , Re p s0. Тогда

F p t f t , F p t 2 f t ,..., F n p t n f t .

т.е. при дифференцировании изображения его оригинал умножается на t .

Действительно, функция F p	в области Re p s0 является аналитической и
ее можно дифференцировать по	p , причем, в силу равномерной сходимости

интеграла, дифференцирование по p можно провести под знаком интеграла:

f t e ptdt

pt /

t f t e ptdt t f t ,

F p

f t e

pt /

t … .

p F

t f t e

pdt

Пример 7.8. Найти изображение оригиналов t sin t,

t cos t.

Решение. Учтем,

что sin t

cos t

. Умножим оригиналы на t .

p2 2

При этом их изображения нужно продифференцировать по p , т.е.

sin t

p2 2

cos t

p2 2

Следовательно, t sin t

t cos t

p2 2

6. Интегрирование изображения

Пусть f t есть оригинал с показателем роста s0 ,

f t F p ,

Re p s0. Тогда

F p dp

при условии, что 1

является оригиналом,

F p dp

p dp, при-

lim

Req

чем путь интегрирования лежит в области Re p s0.

Действительно, рассмотрим функцию g t

f t

и ее изображение G p .

Учитывая свойство 5, получим:

f t

p t g t t

t .

С другой стороны,

F p f t .

Сравнивая эти два равенства, получим: F p G p .

Проинтегрируем это равенство, выбирая

путь

интегрирования

в области

Re p s0, где изображение существует и аналитично:

F p dp

G p dp lim

G p dp

q G p G

p .

lim

Req

Здесь мы воспользовались тем, что

lim G q 0 из следствия к теореме 7.1.

Req

Пример 7.9. Найти изображение интегрального синуса si t sint dt .

0 t

Решение. Так как sint

, то из свойства 6, а затем из свойства 4 следует:

p2 1

sint

si t

sint

dp arctg p

arctg p,

arctg p .

p2 1

p 2

7. Запаздывание оригинала

Пусть f t t

есть оригинал с показателем роста

s0 и

f t t F p , Re p s0 .

Тогда при запаздывании оригинала на время умножается на e p , т.е.

f t t F p e p

0 .

(рис. 33) его изображение

f(t) t

f(t ) t

Действительно, используя определение изображения и учитывая, что t 0 при t , имеем:

		0	α
f t t f t t e ptdt f t e ptdt.
0
Сделав в интеграле замену t , dt d , получим

f t t f e p d e p f e p d e p F p .
0	0

Следствие (о единичной функции отрезка)

Единичная функция a, b t отрезка a,b , равная единице на от-

резке a,b и нулю вне этого отрезка (рис.34), представима в виде

	a, b t t a t b						(7.3)
и имеет изображение	a, b	t	1	e pa	1	e pb.
			p
					p

Действительно, рассмотрим функции t a , t b (рис.35). На интервалах , a и b, их значения совпадают, а разность равна нулю. На отрезке a,b их разность равна 1. Следовательно,

a, b t t a t b .

Рис.33

a,b t

0 а b t

Рис.34

t a

0 а

t b

Этот оригинал часто используется в приложениях.

Найдем его изображение, используя соотношение t

и свой-

Рис.35

ство запаздывания оригинала:

a, b

e pb .

Пример 7.10. Найтиизображение треугольного импульса(рис. 36).

Решение. Исходная функция f t равна сумме двух вспомогательных функций

f1 t и f2 t (рис. 37 и 38). Функция f1 t

равна t на отрезке 0,2

и нулю вне

этого отрезка т.е. f1 t t 0, 2 t . Функция f2 t равна 4 t на отрезке 2, 4

нулю вне этого отрезка, т.е. f2 t 4 t 2,4 t . Таким образом,

t f1 t f2 t t 0,2 t 4 t 2,4 t .

f t

Воспользуемся соотношением (7.3):

t 2

4 t

t 2

t 4

4 t

t t 2 t 2 t 2 t 4 t 4 .

Рис.36

Оригинал t t имеет изображение

. Для оригиналов, запаз-

дывающих соответственно на 2

это изображение надо

умножить на e 2p и e 4p . Поэтому

f t

e 2p

e 4p .

8. Смещение изображения

Рис. 37

Пусть f t есть оригинал с показателем роста

s0 ,

f t F p ,

Re p s0. Тогда

F p f t e t, Re p s0.

Таким образом, при смещении изображения на ,

оригинал

умножается на e t

. Действительно,

Рис. 38

p t

f t e

f t

dt F

и интеграл сходится, если Re p s0 .

Пример 7.11. Найти изображение оригинала tne t . Решение. Применяя свойство 8 к известному уже соотношению

tne t	n!	.
	p n 1

t n n! , получим

pn 1

9. Изображение периодического оригинала

Пусть оригинал	f t с показателем роста s0					имеет период T , f t F p . Тогда
		f t		1 T	f t e ptdt, Rep s0		.

			1 e pT
			1 e pT
				0
					T
Действительно,	f t F p			f t e ptd t		f t e ptd t		f t e ptd t I1 I2.
			0		0	T

Сделав во втором интеграле I2 замену t T , dt d , получим

		f t e ptdt		f T e p T d e pT					f e p d e pTF p
I2		f t e ptdt		f T e p T d e pT					f e p d e pTF p

	T		0	f				0
		T							T
F p I1 I2 f t e ptdt e pTF p F p 1 e pT f t e ptd t
		0		1		T			0
						T	pt
							pt
			F p			0 f t e	d t.
			F p		1 e pT	0 f t e	d t.
Пример 7.12. Найти изображение периодического с периодом T прямоугольного
импульса f		t величины A и продолжительности T /2 (рис. 39).

Решение. Применяя свойство 9, получим:

T/2

F p

f t e

A e

1 e pT

e pt

t T/2

A 1 e pT/2

t 0

1 e pT

p 1 e pT/2

10. Свертка функций и ее изображение

Cверткой функций f t и g t называют функцию

f t g t f g t d .

f t

…

0 T T	t
2
Рис.39

Отметим следующие свойства свертки.

1). Свертка симметрична, т.е. f t g t g t f t .

Действительно,

t		t q	0	t
t		t q	0	t
f t g t f g t d		d d q	f t q g q dq g q f t q dq g t f t .
0		d d q	t	0
0			t	0
2). Свертка оригиналов является оригиналом.
Действительно,		t
		t		f 0
а) при t 0 имеем:	f t g t f g t d 0, т.к.			f 0	при t 0,
		0

б)сверткакусочнонепрерывныхфункцийявляетсякусочнонепрерывнойфункцией, в) если f t , g t есть оригиналы с показателями роста s1, s2 , то

g t

M es1 M

es2 t M M

es es t Mest,

s max s,s

f t g t

f g t d

g t

d M estd Mestt Meste t Me s t,

т.е. свертка оригиналов является оригиналом с показателем роста s max s1,s2 .

3). Изображением свертки функций является произведение их изображений;


болееточно,если f t F p Re p s1 ,		g t	G p Re p s2 ,то

	f t g t F p G p ,		Re p max s1,s2 .

Действительно,

f t g t		f t g t e ptdt	t		f


	0		0	0

	p e p t dt.
g t d e	p e p t dt.		t

	e	pt
	e

0 t,	0	t
0 t,	(рис. 40).	Рис.40
Имеем двойной интеграл по области D:	(рис. 40).	Рис.40
0 t

Поменяем в двойном интеграле порядок интегрирования, затем во внутреннем интеграле сделаем замену t , dt d :

f t g t


f e p d		g e p d F p G p .
	0
	0
t

Пример 7.13. Найти изображение функции t sin t d .

Решение. Данную функцию можно записать ввиде свертки t t sint . Так как

t	1	,	sint		1			, то изображением свертки данных функций является произведе-
t		,	sint
	p2					p2 1
ние ихизображений, т.е. t t sint																			1		1		.
ние ихизображений, т.е. t t sint																							.
																		p2		p2 1
Пример 1.4. Найти оригинал по его изображению F p																												1			.
Пример 1.4. Найти оригинал по его изображению F p																													p2 1 2		.
																													p2 1 2
Решение. Имеем F p											1					1				1		, где				1	sint . Следовательно,
											p2 1 2				p	2 1 p2 1										p2 1
			1				1			sint sint t				sin sin t d										1	t	cos 2 t cost d
										sint sint t				sin sin t d											t	cos 2 t cost d
				p2 1 p2 1																				2
												0													0
									1	sin 2 t		1					t			1				1	sin t			tcost		sint tcost
									1			1					t			1				1				tcost		sint tcost
													cost								sint											.
									4			2	cost							4	sint			4				2			2	.
																	0
																	0
			11). Формула Дюамеля
Пусть				f t F p					Re p s1 ,			g t G p Re p s2 .Тогда

							p													f t g 0 ,						Re p max s1,s2 .
							p		F p G p f t g t											f t g 0 ,						Re p max s1,s2 .

Действительно,

p F p G p p G p g 0 F p g 0 F p f t g t f t g 0 .

Все основные правила и формулы операционного исчисления, рассмотренные выше, удобно свести в следующую таблицу.

№

оригинал

изображение

№

оригинал

изображение

f t g t

F p G p

f t

pF p f 0

pn 1

f t

p2F p pf 0 f 0

e t

F p

sin t

f t dt

p2 2

t n f t

F n p

cos t

p2 2

sh t

F p dp

p2 2

f t t

F p e p

ch t

p2 2

f t e t

F p

t sin t

2 p

2 2

F p

G p

t cos t

f t g t f g t d

p2 2 2

G p

2 p

p2 2 2

с периодом T

t ch t

p2 2

f t e

p2 2 2

1 e pT

Более подробные таблицы приведены, например, в [2], [6], [7].

7.3. Восстановление оригинала по его изображению

При решении задач с использованием преобразования Лапласа сначала переходят от уравнения для оригинала к более простому уравнению для его изображения, из которого находят изображение. Затем по этому изображению восстанавливают оригинал.Рассмотримразличныеспособывосстановленияоригинала.

Сведение изображения к табличным изображениям

а) представить изображение в виде суммы табличных изображений (например, разложив дробь на простейшие дроби), б) представить изображение в виде произведения табличных изображений

F p F1 p F2 p

t f1 t f2 t ,

(7.4)

F p p F p F p f

t f

t f t

0 ,

(7.5)

в) использовать свойства запаздывания оригинала и смещения изображения

F p f t

F p e p f t t ,

(7.6)

F p f t F p f t e t,

(7.7)

г) использоватьизображение периодического оригинала с периодом T , т.е. если

F p

G p

(7.8)

то по изображению G p

1 e pT

g t

на отрезке 0,T

восстановить оригинал

и продол-

житьэтот оригинал периодически.

Пример 7.15. Найти оригинал по его изображению F p

e 3p .

p 1 2

Решение. Воспользуемсятабличнымизображением

иформулами (7.7),(7.6):

te t t

e 3p t 3

t 3 .

p 1 2

Пример 7.16. Найти оригинал по его изображению F p

p3 3p 5

p 1 2 p2 2p 10

Решение. Разложимдробьнапростейшиедроби:

F p

p3 3p 5

Cp D

p 1 2 p2 2p 10

p 1

p 1 2

p2 2p 10

p3 3p 5 A p 1 p2 2p 10 B p2 2p 10 Cp D p 1 2

p 1

9 9B

B 1

1 A C

A C 1

A 2/3

0 3A B 2C D

A D 1

C 1/3

p 0

5 10A 10B D

10A D 5

D 5/3

F p

p 5

p 1 6

p 1 2

3 p 1

3 p2 2p 10

3 p 1

3 p 1 2 9

Воспользуемся табличнымиизображениями исвойством(7.7):

cos3t,

sin3t

p 1

2 9

f t

e t

te t

cos3t e t

sin3t e t.

Пример 7.17. Найти оригинал по его изображению

F p

G p

, где G p

e pT/2 .

1 e pT

p p2

Решение. Изображение имеет вид (7.8), поэтому искомый оригинал есть периодическая функция с периодом T , которая на отрезке 0,T совпадает с оригиналом g t изображения G p . Оригинал g t найдем, используя свойство линейности,

соотношение (7.6) итабличныеизображения

t t ,

t :

t, 0 t T /2,

g t t t

t t t t

t T /2.

Искомыйоригинал f t

получаетсяприпериодическомпродолжении

оригинала g t сотрезка 0,T наположительнуюполуось t (рис.41).

f t

0 T T

Рис. 41

Отыскание оригинала по формуле Меллина

Пусть F p	в области Re p s0 является изображением ориги- Im p	s ib
нала f t с показателем роста s0 . Тогда в точках непрерывности		s0 s
функции f t	справедлива формула Меллина:	s0 s
		s ib

Re p

Рис.42

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2018102 Кб30Теория управления. Амбарова.docx
#
25.12.2018441 Кб32Теория управления. Шпаргалка_РИОР, 2010 -36с.doc
#
22.02.201544 Кб45Теория управления1.doc
#
16.09.2019153 Кб31Теория фазовых переходов.doc
#
22.02.2015166 Кб16теория физика 2 курс 2 семестр.docx
#
13.03.20162 Мб71Теория ФКП.pdf
#
13.03.201632 Кб35Теория Холла.docx
#
01.07.202592 Кб1теория_диплом.docx
#
23.02.20152 Мб99Теория(30 вопросов).pdf
#
31.08.2019109 Кб7теорю концепц. граф. диз. 60 - 80е.doc
#
01.07.2025444 Кб2Теософские и АНТРОПОСОФСКИЕ ИДЕИ в русском искусстве Каненга.doc