Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория ФКП

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

	z z		n
Поэтому ряд f			0	по признаку Вейерштрасса сходится равномерно
	z		n 1
n 0		0

по на и его можно почленно интегрировать по на .

Кроме того, в замкнутом круге z z0 R ряд Тейлора cn z z0 n ,

n 0

как степенной ряд, сходится равномерно. Следовательно, ряд Тейлора можно почленно интегрировать и дифференцировать. Теоремадоказана.

Следствие. Радиус сходимости ряда Тейлора функции f z по степеням z z0

равенрасстояниюотточки z0 доближайшейособойточкифункции f z .

Действительно, если R есть расстояние от точки z0 до ближайшей особой точки функции f z , то в круге z z0 R нет особых точек функции f z , т.е.функция

является аналитической в этом круге и по теореме 4.1 разлагается в этом круге в ряд Тейлора.

Пример4.4.Разложитьфункцию f z врядпостепеням z 4 .

z 1 2 z 6

Решение. 1). Функция

f z

имеет две особые точки

z 1,

z 6. От

точки

z0 4 до

ближайшей особой точки z 6 расстояние R 2. Поэтому функция

разлагается

врядТейлорапостепеням z 4 вкруге

z 4

2 (рис. 20).

2).Разложимфункцию f z

напростейшиедроби

0 1

4 6

f z

z 1 2 z 6

z 1 2

z 1

z 6

Послеприведениякобщемузнаменателюполучим

Рис. 20

z A z 6 B z 1 z 6 C z 1 2

z 1

1 5A

A 1/5

z 6

6 25C C 6/25

при z2

0 B C

B 6/25 .

3).Преобразуем дробь

,выделиввеезнаменателе z 4 :

z 6

z 4 2

В знаменателе из двух величин z 4 ,

вынесем за скобку большую по мо-

дулю вкруге

z 4

2 , т.е. 2 (рис.20)

z 6

z 4 2

1 z 4

Тогда эту дробь можно рассматривать как сумму

бесконечно убывающей

1 q

геометрической прогрессии, где b

z 4

, причем

z 4

1. Учитывая,

z 4

что

b1 b1q b1q2 ,получим

...

2n 1

1 q

z 6

n 0

4).Преобразуем дробь

,выделиввеезнаменателе z 4 :

z 1

z 4 3

В знаменателе из двух величин z 4 ,

вынесем за скобку большую по моду-

лю вкруге

z 4

2 , т.е.

z 1

z 4 3

1 z 4

Тогда эту дробь можно рассматривать как сумму

бесконечно убывающей

1 q

геометрической прогрессии, где b

z 4

, причем

z 4

1. Учитывая,

что

b b q b q2 ,получим

1 q

z 4

... 1 n

3n 1

z 1 3

n 0

5).Продифференцируемполученноеравенство:

n z

n 1

3n 1

n 1

n 0

Заменив n 1 на k ,получим

n 1

n 1 n z 4

k 1 z 4

z 1

n 1

k 2

n 1

k 0

6). Подставим полученные ряды в f z :

1/5

6/25

n 1 z 4 n

n z 4 n

z 4 n

f z

5 1

3n 2

6 1

3n 1

2n 1

z 1

z 6 25

n 0

Окончательно,объединивтрирядаводин,получимразложениефункции f z вряд

постепеням z 4 вкруге

z 4

2 :

n 5 n 1

n 6

f z

cn z 4

,где cn

3n 2

3n 1

25 n 0

2n 1

Перейдемкразложениюврядфункций,аналитическихвкольце.

Теорема

4.2.

Функция

f z ,

аналитическая

кольце

z z0

R ,

разлагается в этом кольце в ряд Лорана по степеням z z0

f z

cn z z0 n , где cn

dz,

(4.2)

2 i

z z0 n 1

контур из кольца, охватывающий точку z0.

В замкнутом кольце r1

z z0

r r1 R1 R ряд Лорана сходится рав-

номерно и его можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Доказательство опустим; оно аналогично доказательству предыдущей теоремы.

В теоремах 4.1 и 4.2 число R не обязательно конечное. Если R и z0 0,

то круг	z	есть вся комплексная плоскость, а кольцо	r	z	есть
окрестность бесконечности (см. рис. 22).

Формулы (4.2) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяются редко, так как требуют громоздких вычислений. Обычно используют известные

разложения в ряд элементарных функций.			y
Пример 4.5. Функцию f z	1	разложить в ряд:	y
	1
	z z 2
	z z 2
а) в окрестности точки z0		0;	2	x
б) в окрестности бесконечности;			2	x
б) в окрестности бесконечности;
в) в окрестности точки z0		2.

Решение. Аналитичностьфункции нарушаетсявточках z 0 и z 2. Рис.21 а). Выделим окрестность точки z0 0, в которой функция является аналитической.

Это кольцо					0			z				2		(рис. 21).						По	теореме 4.2			в		этом						кольце					функция
f z		1	1		разлагается в ряд Лорана по степеням z. Для разложения дроби																																			1
f z		1	z 2																																				z 2
		z	z 2																																				z 2
по степеням					z		в знаменателе этой дроби из двух слагаемых																									z		и 2			вынесем
большее по модулю в кольце 0																		z		2,	т.е. 2:			1				1					1		.	Эту дробь
																								1				1					1
																								z 2				2						z
																															1


можно рассматривать как сумму геометрической прогрессии																																	2
можно рассматривать как сумму геометрической прогрессии																																	b b q b q2
																																	1			1	1
при b		1, q			z	,		q					z	1	. Таким образом, в кольце									0			z		2				имеем



	1				2						2
	1				2						2

		1			1		1			1						z	z		2			zn				1										zn 1
												2		1						...																		.
		z 2		2			1		z			2		1		2	2			...		2	n 1		z z					2						2	n 1	.
																					n 0													n 0
									2												n 0													n 0

Здесь ряд Лорана содержит только одну отрицательную степень z 1 /2.

б). Выделим окрестность бесконечности, в которой функция является аналитической. Это кольцо 2 z (рис. 22). По теореме 4.2 в этом кольце

функция

f z

разлагается в ряд Лорана по степеням z. Применим

к дроби

тот

же

прием,

что и

в предыдущем случае: в

z 2

знаменателе из двух слагаемых z

и 2 вынесем большее по модулю

в кольце 2

,т.е.вданномслучае −это z:

22 ...

z 2

n 0 z

n 1

z z

n 0 z

n 2

1 z

0 2

Рис. 22

Здесь ряд Лорана содержит бесконечно много отрицательных степеней z. в). Выделим окрестность точки z0 2, в которой функция f z

аналитична − это кольцо 0			z 2	2 (рис. 23). По теореме 5.2 в	z

этом кольце функция		f z разлагается в ряд Лорана по степеням			0	2
z 2. Множитель	1	является степенью z 2. Поэтому разложим

	z 2

Рис. 23

в ряд только множитель 1z . Выделим в знаменателе z 2 и из двух слагаемых

z 2 и 2

вынесемнаибольшее помодулю вкольце 0

z 2

2, т.е. 2

z 2

z 2 2

n z 2 n

... 1

n 1

n 0

n 1

1 n z 2

z z 2

n 0

2n 1

Пример 4.6. Функцию

f z cos

разложить в ряд в окрестности точки z

z 1

Решение.

Функция

f z

имеет одну особую точку z 1;

следовательно,

f z

аналитича в кольце 0

z 1

и разлагается в этом кольце в ряд Лорана по сте-

пеням z 1 . Дляполученияэтогоразложениясделаемпреобразования

z 1 1

cos

z 1

cos

cos1cos

sin1sin

z 1

и воспользуемся рядами для cos

и sin

z 1

cos

cos1

sin1

z 1 2n

z 1

n 0

2n !

n 0

2n 1 ! z 1 2n 1

5.Теория вычетов

5.1.Нули функции

Точка z a	является нулем функции	f z	порядка k , если функцию		f z

можно представить в виде
	f z z a k z ,		a 0.		(5.1)
Например,	функция f z z i 3 z 4	имеет два нуля: z i		нуль третьего

порядка и z 4 нуль первого порядка (такой нуль называют простым нулем).

Функция f z 1 ez обращается в нуль

при

z ln 1 ln1 i i.

Чтобы

определить порядок этого нуля, запишем ряд Тейлора функции

f z 1 ez

по

степеням z i , учитывая, что

f n i e i

f z z i

z i

... z i

z i

... ,

т.е. f z z i z ,

где z 1

z i

z i 2 ..., причем i 1.

Поэтому z i

есть нуль первого порядка для функции f z 1 ez .

Рассмотрим более простой способ определения порядка нуля.

Теорема 5.1 (о порядке нуля).			f z порядка k
Точка z a является нулем аналитической функции			f z порядка k	тогда и толь-
ко тогда, когда	f a f a ... f k 1 a 0,	f k	a 0,	(5.2)

т.е. порядок нуля равен порядку первой отличной от нуля производной.

Необходимость. Пусть z a

есть нульпорядка k

для f

z . Тогда

f z z a k z , a 0.

Продифференцируем это равенство k

раз:

f z z a k z k z a k 1 z ,

f z z a k z 2k z a k 1 z k k 1 z a k 2 z ,

.............................................................................

f k 1 z z a k k 1 z ... k k 1 k 2 ...1 z a z ,

f k z z a k k z ... k! z .

Вычислим эти производные в точке z a :

f a 0,

f k 1 a 0,

f k a k! a 0.

Достаточность. Пусть f a f a ... f k 1

a 0,

f k a 0. Тогда ряд Тей-

лора функции

f z по степеням z a

приметвид:

f z f a

z a ...

k 1

z a k 1

z a k

k 1

z a k 1 ...

k 1 !

f k a

k 1 a

f z z a

z , где

z a ...,

причем a

f k a

k 1 !

Следовательно, z a естьнульпорядка k для

f z .

Пример 5.1. Найти нули функции f z 1 cosz 3

и определитьих порядок.

Решение. Найдем нули функции

f z 1 cosz 3 0

cosz 1

zk 2 k k 0, 1, 2... .

Определим

порядок

нуля

сначала

для

функции

g z 1 cosz .

Так как

g zk sinzk

0, g zk coszk

0, то в силу теоремы 6.1 точки zk

2 k

являются

нулями второго порядка для функции g z 1 cosz ,

т.е. эту функцию можно

представить в виде g z 1 cosz z zk 2 z ,

zk 0. Тогда

f z 1 cosz 3

z zk 6 3 z ,

3 zk 0.

Поэтому точки zk 2 k

являются нулями шестого порядка для функции f z .

5.2. Особые точки функции и их классификация

Особые точки функции − это точки, в которых нарушается ее

аналитичность.

Особую точку называют изолированной, если в некоторой ее окрестности нет других особых точек функции.


Например, функция	f z		1	имеетособые точки z 0, z		1	k 1, 2,... .
Например, функция	f z			имеетособые точки z 0, z			k 1, 2,... .
		sin 1/ z		0	k	k
При этом точки z	1	k 1, 2,...		являются изолированными, их можно отделить
При этом точки z		k 1, 2,...		являются изолированными, их можно отделить
k	k

одну от другой окрестностью. Точка z0 0 является неизолированной, так как в любуюееокрестностьпопадутнекоторыеизособыхточек zk .

В зависимости от того, каким будет предел функции в особой точке z0 , различают три типа изолированных особых точек.

1). Если	lim	f z	− конечен, то z0			называют устранимой особой точкой.
	z z 0	f z
2). Если	lim	f z	, то z0	называют полюсом.
	z z0	f z					называют существенно особой точкой.
3). Если	lim	f z	не существует, то z0				называют существенно особой точкой.
	z z 0
Например, для функции				f z		1		особые точки z 1, z 2 являются
Например, для функции				f z				особые точки z 1, z 2 являются
					z 1 3 z 2

полюсами, т.к. в этих точках предел функции равен бесконечности. Но это полюсы разного порядка: точку z 1 называют полюсом 3−го порядка, точку z 2 − полюсом 1−го порядка или простым полюсом.

Порядок полюса − это натуральное число k , такое, что lim f z z z0 k

z z0

отличен от нуля и бесконечности. Более удобно определять порядок полюса, используя связь полюса с нулями.

Теорема 5.2. Пусть z0 есть нуль порядка k функции z и нуль порядка n функ-

ции z ; тогда для функции

f z

точка z

есть полюс порядка n k , если

k n , и устранимая особая точка, если k n.

Доказательство. Так как точка z0 есть нуль порядка k

функции z

и нуль по-

рядка n функции z , то

z z z0 k 1 z ,

1 z0

z z

z z z n

z ,

1 z0

z z0 n 1 z

Тогда при k n получим

f z

1 z

lim f

z ,

lim

f z z z0 n k 0.

z z

n k

1 z

z z0

z .

Следовательно, точка z0

является полюсом порядка n k

функции f

При k n

получим

f z

z z

k n

1 z

k n 0. Следовательно,

lim f z ко-

1 z

z z 0

нечен и z0

есть устранимая особая точка функции f z .

Замечания

0 z

1). Если z

0, то можно записать z

z z

и считать z

нулем функ-

ции z порядка k 0. Теорема 5.2 остается справедливой и вэтом случае.

2). Вчастности, если точка z0 является нулем порядка n функции z , то точка z0

является полюсомпорядка n функции	1	.

z
Пример 5.2. Определить типы особых точек функции			f z	z2
					.
				1 cosz 3

Решение. В примере 5.1 было установлено, что точки zi 2 i i 0, 1, 2,... яв-

ляются	нулями		порядка n 6		для функции z 1 cosz 3. Для функции
z z2	точка z	0	0	является нулем порядка k 2, а точки z 2 i i 0 ‒ ну-
					i
лями порядка k 0.				Поэтому по теореме 5.2 точка z0 0 является полюсом по-
рядка n k 6 2 4,				а точки zi 2 i i 0 ‒ полюсами порядка n k 6 0 6.

Тип изолированной особой точки можно охарактеризовать также через разложение функции в ряд Лорана в выколотой окрестности этой точки.

Теорема 5.3 (о ряде Лорана в окрестности устранимой особой точки).

Точка z0 является устранимой особой точкой функции f z тогда и только тогда,

когда разложение функции f z в ряд Лорана в выколотой окрестности точки z0

не содержитотрицательныхстепеней z z0 .

Необходимость. Пусть точка z0

является устранимой особой точкой функции

f z , тогда lim f z

− конечен. Отсюда следует, что функция f z

ограничена

z z 0

f z

по модулю в выколотой окрестности точки z0; в частности,

M на

окружности r с уравнением

z z0

r, где r . Оценим коэффициенты c n ряда

Лорана, воспользовавшисьформулой (4.2):

f z

2 r M rn n 0,1,2,... .

c n

2 i

z z0 n 1

r n 1

Так как r можно взять сколь угодно малым, то все коэффициенты c n ряда Лорана при отрицательныхстепенях z z0 равны нулю.

Достаточность. Пусть разложение функции f z в ряд Лорана в окрестности точки z0 не содержитотрицательныхстепеней z z0 , т.е.

f z c0 c1 z z0 c2 z z0 2 .

Тогда

lim

f z c , т. е. z

является устранимой особой точкой функции f

z .

z z0

Теорема 5.4 (о ряде Лорана в окрестности полюса)

Точка z0 является полюсом порядка k функции

f z

тогда и только тогда, когда

разложение функции f z

в ряд Лорана в выколотой окрестности точки

z0 со-

держитконечное число отрицательныхстепеней z z0 , а именно

f z

z z

z z0 k

z z0

k 1

Необходимость. Пусть точка z0

является полюсом порядка k функции

f z ,

тогда

lim

f z ,

lim f z z z0 k

отличен от нуля и бесконечности. Отсюда

z z0

следует,что z является устранимой особойточкой дляфункции z f z z z k

и,значит,в ее ряде Лорана нет отрицательных степеней z z0 ,т.е.

z f z z z k

c c

z z

2 ... c

z z

k c

k 1

z z

k 1 ...,

причем lim f z z z

k c

0. Тогда

z z0

f z

z z

0 .

z z0 k

z z0

k 1

f z

Достаточность. Пусть разложение функции

в ряд Лорана в окрестности

точки z0 содержит конечное число отрицательныхстепеней z z0 , т.е.

f z

z z

0 .

z z0 k

z z0

Отсюда следует, что

f z lim

c c

z z

c z z

lim

z z 0

z z 0 z

lim

f z z

lim

z z

функции f z .

Следовательно,

z0 является полюсом порядка k

Теорема 5.5 (о ряде Лорана в окрестности существенно особой точки)

Точка z0 является существенно особой точкой функции

f z

тогда и только то-

гда, когда разложение функции f z

в ряд Лорана в выколотой окрестности точ-

ки z0 содержит бесконечно много отрицательныхстепеней z z0 .

Эта теорема следует из предыдущих теорем 5.3 и 5.4.

Пример 5.3. Исследовать особые точки функций f z	sinz	,	g z e1/z .
	z3

Решение. Точка z 0 является особой точкой этих функций. Для установления ее типа воспользуемся разложениями в ряд функций sinz, e1/z :

f z

sinz

...

...,

g z e1/z 1

1/ z

1/ z 2

1/ z 3

z2 2!

z3 3!

В силу теоремы 5.4 для f z точка z 0 является полюсом второго порядка.

Всилу теоремы 5.5 для g z точка z 0 является существенно особой точкой.

5.3.Вычеты функции в ее особых точках

Вычетом функции f z в ее изолированнойособой точке z0

называетсячисло

Rez f

(5.3)

2 i

z z0

где

есть положительно ориентированная граница окрестности

точки z0 , не содержащая других особых точек функции (рис. 24).

Принято также другое обозначение вычета: Выч f z .

z z0

Рассмотрим различные способы вычисления вычетов.

Рис. 24

1). Вычисление вычета через коэффициент ряда Лорана

Разложим функцию

f z

в ряд Лорана в окрестности

ее

особой

точки z0 ,

проинтегрируем по положительно ориентированной окружности

с центром

2 i,

n 1,

в точке z0 и воспользуемся тем, что z z0

(пример 3.1):

n 1

f z cn z z0

f z dz cn z z0

dz c 1 2 i Res f z0

f z dz c 1.

2 i

Итак,

вычет функции

f z

в ее особой точке

равен коэффициенту

c 1 при

в разложении функции

f z в ряд Лорана в окрестности точки z0 :

z z0

Res f z0 c 1

(5.4)

Например, в разложении функции z2e1/z

в окрестности особой точки z

z2e1/z z2

1 1

... z

...

5! z5

z 3! z3

3! z 5! z3

коэффициент c

при 1

равняется

, следовательно,

Res f z

1 .

2). Вычет в устранимой особой точке

В окрестности устранимой особой точки z0 ряд Лорана функции не содержит отрицательных степеней z z0 , следовательно, коэффициент c 1 0. Таким образом, в устранимой особой точке

Res f z0 0

(5.5)

3). Вычисление вычета в полюсе первого порядка

Если	z0 есть полюс первого порядка функции									f z , то разложение функции
f z	в ряд Лорана в окрестности точки z0							в силу теоремы 5.4 имеет вид:
	f z		c 1			c c z z			c	z z		2
	f z	z z				c c z z			c	z z		2
		z z			0		1	0	2	0
					0
Умножим это равенство на z z0
	f(z) (z z ) c		1	c (z z ) c (z-z )2 c							(z-z )3		... .
	0		1		0		0	1	0	2		0

Переходя в этом равенстве к пределу при z z0 , получим:

lim f z z z0 c 1 Res f z0 ,

z z0

т.е. в полюсе первого порядка

Res f z0 lim f z z z0

(5.6)

z z0

4).Вычислениевычетафункции

, если z0 0,

g z0 0,

g z0 0.

g z

Так как z0 0, g z0 0,

g z0 0,

то

является нулем порядка

k 0

функции

z и нулем порядка n 1 функции

g z ; поэтомупо теореме 5.2 точка z0

является

полюсом порядка n k 1 функции

и для вычисления вычета этой функции

g z

можновоспользоватьсяформулой(5.6)

Res

lim

z z

lim

g z g z

z z0

g z

z z0

g z

z z0

g z

z z0

Итак,вслучае,когда z0 0,

g z0 0,

g z0 0,справедливаформула

(5.7)

Resz z0

g z

g z0

5). Вычисление вычета в полюсе к-го порядка

Если z0 есть полюс k -го порядка функции

f z , то разложение функции

f z в

ряд Лорана в окрестности точки z0

в силу теоремы 5.4 имеет вид:

f z

c k

c k 1

...

c 1

c z z

0 .

z z

z z0

k 1

Умножим это равенство на z z k

и затем продифференцируем k 1 раз:

f(z) (z z )k

k 1

(z z ) ... c

(z-z )k 1 c

(z-z )k c (z-z )k 1

... ,

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2018101.53 Кб16Теория управления. Амбарова.docx
#
25.12.2018440.83 Кб17Теория управления. Шпаргалка_РИОР, 2010 -36с.doc
#
22.02.201543.52 Кб29Теория управления1.doc
#
16.09.2019152.58 Кб21Теория фазовых переходов.doc
#
22.02.2015165.93 Кб16теория физика 2 курс 2 семестр.docx
#
13.03.20161.54 Mб70Теория ФКП.pdf
#
13.03.201632.35 Кб35Теория Холла.docx
#
23.02.20151.91 Mб95Теория(30 вопросов).pdf
#
31.08.2019109.06 Кб4теорю концепц. граф. диз. 60 - 80е.doc
#
24.11.2019306.18 Кб2Тепловое излучение410.doc
#
13.03.2016202.75 Кб95теплоизоляционные.doc