Теория ФКП

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

радиуса с центром в точке z0, содержащую точку z (рис. 19).

Воспользуемся интегральной формулой Коши (3.6)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Доказательство. Для простоты ограничимся областью, ограниченной внешним контуром L и только одним внутренним контуром L1 . Сделаем разрез по линии AB (рис. 14). Обозначим

через D − область D c разрезом по линии AB. Эта область

будет односвязной	с границей L . По	теореме	Коши для
односвязной области		граница L	состоит из
односвязной области	f z dz 0. Здесь	граница L	состоит из

	L

линии L, обходимой против часовой стрелки (обозначим ее L ), линии AB, линии L1, обходимой по часовой стрелке

(обозначим ее L1 ), и линии BA. Поэтому

f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz 0.

L L AB L1 BA

При изменении ориентации дуги интегралы меняют знак. Поэтому имеем

f z dz f z dz f z dz f z dz 0.

L	AB	L1	AB
Значит, f	z dz f z dz , что и требовалось доказать.
L	L1

L2 L1

Ln L

Рис. 13

L A

Рис. 14

Пример 3.4.

Вычислить интеграл

по произвольной замкнутой

L z

линии, ориентированной против часовой стрелки.

Решение. Рассмотрим два случая.

1). Если точка z0 расположена внутри контура L

, то функция

z z0 n

неаналитична

внутри контура L ,

т.к. знаменатель обращается в ноль в

точке z0, но эта функция является аналитической в многосвязной области

Рис. 15

(рис. 15), ограниченной контуром L

и окружностью . Поэтому по

теореме Коши для многосвязной области интеграл In

по внешнему контуру L

ра-

вен интегралупо внутреннемуконтуру‒ окружности , который был вычислен в

примере 3.1, т.е.

2 i, n 1

z z

0, n 1.

2). Если точка z расположена вне контура L , то функция

аналитична

z z0 n

внутри контура L ,т.к.тамзнаменательнеобращаетсявноль.Поэтомупо теореме

Кошидля односвязнойобластиинтеграл In по контуру L равен нулю.

Окончательно, In

2 i,

n 1и z0

внутри L ,

z z0

в остальных случаях .

Теорема(о первообразной). Пусть функция f z непрерывнаводносвязной об-

ласти D и f d 0 по любомузамкнутому контуру L из области D. Тогда

1) интеграл f d не зависит от формы кривой z0z, обозначается f d и

			z0z							z0
является аналитической функцией F z							в области D,
		z
		z

2) F z										f z .

			f d f z , т.е. F z является первообразной для

	z0
Доказательство теоремы опустим.
Из этой теоремы следуют формула Ньютона-Лейбница

						z
						f d F z F z0			,
						z0
где F z	–	первообразная для f z , и формула интегрирования по частям

				z				z
				u dv u v				zz v du .
				z	0			0 z
					0		0

Вывод этих формул такой же, как для функции действительного переменного.

Пример 3.5. Вычислить I z ezdz	полинии L,соединяющейточки z1 0,	z2 i.
L

Решение. Функция z ez является аналитической, значит интеграл не зависит от

формы линии, поэтому запишем его в виде z e zdz. Применим к нему метод

				0
интегрирования по частям, взяв			u z,	dv e zdz. Тогда		du dz , v e z ,
i			i		i i e i e i 1.
I z e zdz z e z		i	ezdz zez ez		i i e i e i 1.
0		0	0		0
		0			0

Так как e i cos isin 1,	то интеграл I 2 i.

3.3. Интегральные формулы Коши

Теорема. Пусть функция f z является аналитической в односвязной области

D. Тогда в любой внутренней точке a области D имеютместо формулы Коши

f a	1		f z dz	,	f n a	n!		f z dz	,	n 1,2,3...,	(3.6)
	2 i					2 i		n 1
		L	z a				L	z a

где L положительноориентированнаякриваявобласти D,охватывающаяточку a.

Доказательство. 1). Функция f z неаналитична в области D (знаменатель в z a

точке a этой области равен нулю), но эта функция аналитична в многосвязной области D с удаленной из нее окрестностью точки a (рис. 16). Поэтому по теореме Коши для многосвязной области имеем

f z dz

z a

где есть окружность

z a

r . Преобразуем интеграл

Рис. 16

f z

f a

dz I1 I2.

z a

Для вычисления интеграла I2

воспользуемся результатом примера 3.4:

2 i

f a

dz f a

2 i f a .

z a

Длявычисленияинтеграла I1 воспользуемсянепрерывностьюфункции f z

вточке a:

lim f z f a

для >0

>0:

f z f a

как только

z a

Тогданаокружности

срадиусом r

получим:

f z f a

z f

2 r 2 для >0

z a

Итак,

f z dz

I 0, I

2 i f a

2 i f a f a

2 i

z a

2). Вторую из формул (3.6) можно доказать продифференцировав n

раз по па-

раметру a только что полученное равенство

f a

z dz

2 i

z a

f a

f z dz

f z

dz,

2 i

z a 2

2 i

z a 2

2 i

z a

f z

3dz,...

z a

2 i

z a

2 i

Замечания

1). Из теоремы следует,

что аналитическая функция

f z имеет производные

любого порядка в произвольной внутренней точке a области D.

Отметим, что из дифференцируемости действительной функции не следует существованиедажевторойпроизводной;например,функция y x3/2 имеетпервуюпроизвод-

ную y	3	x1/2, новтораяпроизводная	y	3		1	x 1/2	несуществуетвточке x 0.

2			2		2

2). Интегральные формулы Коши можно переписать в виде

	f z dz			f z dz	2 i		n
		2 i f a ,				f		a	(3.7)
L	z a		L z a n 1		n!

и использовать для вычисления соответствующих интегралов при условии, что точка a находится внутри контура L. Если точка a находится вне контура L, то подынтегральная функция является аналитичной, поэтому по теореме Коши эти интегралыравнынулю.

Пример 3.6. Вычислить интегралы I1

e2z

dz,

e2z

dz.

Решение. В первом интеграле точка

z 1

1/2 z 1

z 1

находится

внутри

контура

интегрирования

(рис. 17),

поэтому по второй из формул

(3.7) при z

n 3 имеем

e2z

2 i

8 i

4 dz

z 1

2 z 1

Во втором интеграле точка z 1 находится вне контура интегрирования

Рис.17

1/2; внутри

этого контура подынтегральная функция

является

аналитичной,поэтомупо теоремеКошиинтеграл I2

равен нулю.

Пример 3.7. Вычислить интеграл

sinz

dz.

z2 1

Решение. Внутри

контура

(рис.

18)

знаменатель функции

обращается в нуль в точках

z1 i, z2

i .

Построим окружности

1, 2

с центрами в этих точках достаточно малых радиусов, таких,

чтобы

окружности не пересекались

целиком

лежали

внутри

Рис. 18

контура . В многосвязной области, ограниченной внешним

контуром

и внутренними контурами 1, 2 , подынтегральная функция является

аналитической (т. к. нули знаменателя не входят в эту область); поэтому

применима теорема Коши для многосвязной области:

sinz

dz.

z2 1

Разложим z2 1 z2 i2

на множители z i z i ,

затем в интеграле по кривой 1,

окружающей точку i,

в знаменателе оставим z i , а в интеграле по кривой 2 ,

окружающей точку i, в знаменателе оставим

z i

и применим для каждого

интеграла первую из формул Коши (3.7):

sinz

z i

sini sin i 2 sh1.

dz 2 i

2 i

z i

Теорема Морера (обратная к теореме Коши). Пусть

1) функция f z	непрерывна в односвязной области D,
2) f d 0 по любому замкнутому контуру L из области D.
L
Тогда функция	f z является аналитической функцией в области D.

Доказательство.	Из теоремы о первообразной следует, что функция
z

F z f d является аналитической и F z f z . Но аналитическая функция

имеет производные любого порядка, в частности, F z f z . Отсюда следует,

что f z , следовательно, функция f z является аналитической функцией.

4.Ряды в комплексной области

4.1.Числовые ряды

Напомним основные сведения о числовых комплексных рядах, которые были рассмотрены ранее в теории рядов.

Ряд из комплексных чисел zn называют сходящимся, если последователь-

n 1

ность его частичных сумм Sn zk имеет конечный предел S . Этот предел

k 1

называют суммой ряда.

Необходимый и достаточный признак сходимости ряда:


ряд zn xn i yn сходится		ряды	xn , yn сходятся.
n 1	n 1		n 1	n 1

Пример 4.1. Исследовать ряд

n 1

1 n 1 i

насходимостьи найтиегосумму.

n 2n

	1	n 1
Решение. Ряд	1	является знакочередующимся и сходится по признаку
n 1	n

Лейбница, так как его члены по абсолютной величине убывают и стремятся к нулю. Для вычисления его суммы запишем ряд Тейлора для функции ln 1 x :

ln 1 x x x2 x3 ..., x 1,1 .

			2		3				n 1
				1		1		1	n 1
В частности, при x 1			получим ln2 1	1		1	...	1	.
В частности, при x 1			получим ln2 1				...	n	.
			2		3		n 1	n
	1										1
Ряд	1	являетсягеометрическойпрогрессиейспервымчленом b1									1	,знаменателем
Ряд	n	являетсягеометрическойпрогрессиейспервымчленом b1										,знаменателем
n 1	2									2

1/2

n 1

и суммой

1. Окончательно, ряд

сходится и

1 q

1 1/2

n 1

его сумма S ln2 i .

Необходимый признак сходимости ряда:

если ряд zn сходится, то lim zn 0.

n 1

		1			3n3 5
Пример 4.2. Исследовать ряд				i				на сходимость.
			2		10n	3	7
n 1	n

Решение. Ряд

расходится, так как

lim zn lim

0. Следова-

10n

n 1

n 10n

7 10

тельно, заданный ряд расходится.

Достаточный признак сходимости ряда: если ряд

сходится, то ряд zn

n 1

сходится и называется абсолютно сходящимся рядом.

1 i n

Пример 4.3. Исследовать ряд

на сходимость.

n/2

n 1

Решение. Рассмотрим ряд из модулей

1 i n

1 i

n 1

2n/2 n3

n 1 2n/2 n3

n 1

n n3

n 1 n3

Последний ряд сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

4.2. Функциональные ряды

Рассмотрим ряд un z , составленный из функций un z , определенных на

n 1

множестве D, и его n ю частичную сумму Sn z u1 z u2 z ... un z .


Определение 1. Ряд un z		сходится к функции S z в точке z		области D, если
	n 1
длялюбого 0	найдется номер N ,z такой,что		Sn z S z	для n N.
длялюбого 0	найдется номер N ,z такой,что		Sn z S z	для n N.

Определение 2. Ряд un z сходится равномерно к функции S z в области D,

n 1
если для любого 0	найдется номер N такой, что	Sn z S z	для
если для любого 0	найдется номер N такой, что	Sn z S z	для
любого n N и любого	z D.

Отличие этих определений состоит в том, что в определении 2 найдется один номер N , обслуживающий все точки z области D, а в определении 1 номер

N ,z для каждой точки z свой.

Напомним один из признаков равномерной сходимости.


ПризнакВейерштрассаравномернойсходимости:если		un z	an длялюбойточки
ПризнакВейерштрассаравномернойсходимости:если		un z	an длялюбойточки

z области D иряд an	сходится,торяд un z сходитсяравномерновобласти D.
n 1	n 1

Свойства равномерно сходящихся рядов

1). О непрерывности суммы ряда

Пусть функции un z непрерывны вобласти D иряд un z сходитсяравномерно

		n 1
к функции S z вобласти D.Тогдасуммаряда S z непрерывна вобласти D.

2).Опочленноминтегрированииряда

Пустьфункции un z непрерывнынакусочно-гладкойкривой
Пустьфункции un z непрерывнынакусочно-гладкойкривой			иряд un z сходится
равномернокфункции S z			n 1
равномернокфункции S z	накривой .Тогдарядможнопочленноинтегрировать,т.е.

S z dz un z dz un z dz			.
	n 1
	n 1	n 1

3).Опочленномдифференцированииряда

Пусть функции un z аналитичны в односвязной замкнутой области D и ряд un z

n 1

сходитсяравномернокфункции S z вобласти D.Тогдасуммаряда S z аналитична вобласти D ирядможнопочленнодифференцироватьлюбоечислораз,т.е.

				k			k z .
S	k z	u	n	z		u	k z .
			n				n
	n 1				n 1

Первое и второе свойства такие же, как в теории рядов с действительными членами. Поэтому их доказательства мы опускаем. Докажем третье свойство, которое отличаетсяотаналогичногосвойства для рядасдействительными членами.

Функции un z аналитичны,
Функции un z аналитичны,	а значит непрерывны в области D и ряд un z
		n 1
сходится равномерно к функции	S z	в области D. Поэтому сумма ряда S z

непрерывна в области D и ряд можно почленно интегрировать по любой замкнутой кривой изобласти D,т.е.

S z dz

z dz

z dz .

n 1

Так как функции un z

аналитичны

в области

то по теореме Коши для

односвязной области un z dz 0. Тогда

S z dz 0

по любой замкнутой кривой

изобласти D,ипотеоремеМорерафункция S z аналитичнавобласти D.

Для обоснования почленного дифференцирования ряда рассмотрим произвольную

точку z0 изобласти D иокружность суравнением

z z0

R изобласти D.Таккак

ряд un z сходится равномерно

к функции S z на

и функция

z z0

k 1

n 1

u z

S z

ограниченана ,торяд

сходитсяравномернокфункции

на

z z k 1

z z

k 1

n 1

иегоможнопочленноинтегрировать,т.е.

S z				un z
			dz			dz .
z z		k 1		z z	k 1
	0		n 1
				0

Изэтогоравенства,используяинтегральныеформулыКоши(3.7),получим

2 i		2 i
	S k z0		un k z0	S k z0 un	k z0 .
k!
	n 1	k!		n 1

Рассмотрим важный частный случай функционального ряда ‒ степенной ряд.

Степенные ряды

Степенной ряд в комплексной области есть ряд вида

an z z0 n a0 a1 z z0 a2 z z0 2 ... ,

n 0

где an n 0,1,2,3,... , z, z0 комплексные числа.

Степенной ряд в комплексной области обладает следующими свойствами.


1). Областью сходимости					степенного ряда	an z z0 n		является круг
						n 0
	z z0	R.
	z z0	R.
Этот круг может выродиться в одну точку						z0 или	во всю	комплексную
плоскость R .

2). В круге			z z0	R	степеннойряд an z z0 n		сходитсяравномерно.
2). В круге			z z0	R	степеннойряд an z z0 n		сходитсяравномерно.

n 0

3). Сумма степенного ряда внутри круга сходимости является функцией аналитической.

4). Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз и почленно интегрировать.

Доказываются эти свойства так же, как в действительной области.

4.3. Разложение аналитической функции в степенной ряд

Рассмотрим сначала несколько примеров.

I). Функцию f z

можно трактовать как сумму бесконечно убывающей

1 z2

геометрическойпрогрессии

b b q b q2 ,

где b 1, q z2 . Если

1, то

1 q

1 z2

z6 ,

1 z2

Заметим, что в круге

функция

является аналитической и мы ее

1 z 2

разложили вряд по неотрицательным степеням z, называемый ее рядом Тейлора.

2). Разделим предыдущее равенство на z3 . Получим разложение

1 z z2

z3 1 z2

которое, как и первое разложение,

справедливо в круге

1, но с выколотой

точкой z 0 или, другими словами, в кольце

1. Итак, функция

1 z2

аналитическая в кольце 0

1, разложена в этом кольце в ряд, содержащий и

положительные, и отрицательные степени z, т.е. в так называемый ряд Лорана.

3). По определению,

ez 1

для любого z, т. е. функция,

аналитическая в круге

бесконечного радиуса,

разложена в этом круге в

ряд Тейлора. Заменяя в последнем разложении z на 1

, получим

z 1!

2 2!

z3 3!

z4 4!

Это разложение по отрицательным степеням z (т.е. в ряд Лорана) имеет место для любого z, отличного от нуля, т.е. в кольце 0 z .

В этих примерах функции, аналитические в круге, разложены в ряды, которые не содержат отрицательных степеней z, т.е. в ряды Тейлора; функции, аналитические в кольце, разложены в этом кольце в ряды, содержащие отрицательные степени z, т.е. в ряды Лорана.

Отмеченная закономерность имеет место не только в конкретных примерах, но и в общем случае. Точнее, имеют место следующие теоремы.

Теорема 4.I. Функция f z , аналитическая в круге

z z0

R, разлагается

в этом круге в ряд Тейлора по степеням z z0

f n z

f z cn z z0

, где cn

n 0

В замкнутом круге

z z0

R ряд Тейлора сходится равномерно и его

можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Доказательство. Возьмем произвольную точку z

из круга

z z0

R и окруж-

Преобразуем дробь	1		, выделив в ее знаменателе z z0 :
Преобразуем дробь			, выделив в ее знаменателе z z0 :
z
			1		1		.
		z					.
		z		z z z
					0	0
В знаменателе из двух величин					z0 ,	z z0 вынесем за скобку

наибольшую по модулю, т.е. z0 (рис.19)


z
z0

Рис. 19

z z

Эту

дробь

можно

рассматривать

как

сумму

бесконечно

убывающей

1 q

геометрической

прогрессии,

где

z z0

причем

z z0

Учитывая,что

b b q b q2

,получим

1 q

z z

...

n 1

z0 z0

Подставим в равенство (4.1) полученное выражение для

в виде ряда и,

внеся

под знак суммы, почленно проинтегрируем ряд

z z

z z0

f z

cn ,

2 i

n 1

2 i

n 1

n 0

f z

f n z

где cn

dz или, с учетом формул Коши (3.7),

2 i

z z0 n 1

z z0

Обоснуем возможность почленного интегрирования ряда

на

z0 n 1

n 0

окружности . Действительно,

на ,

а функция

является ана-

литической,

значит

непрерывной,

ограниченной

по

модулю,

т.е.

z z

M . Поэтому

. Ряд

не зависит от

n 1

n 0

и сходится,

как

геометрическая прогрессия со знаменателем

z z0

, 0 q 1.

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2018101.53 Кб14Теория управления. Амбарова.docx
#
25.12.2018440.83 Кб16Теория управления. Шпаргалка_РИОР, 2010 -36с.doc
#
22.02.201543.52 Кб28Теория управления1.doc
#
16.09.2019152.58 Кб19Теория фазовых переходов.doc
#
22.02.2015165.93 Кб15теория физика 2 курс 2 семестр.docx
#
13.03.20161.54 Mб70Теория ФКП.pdf
#
13.03.201632.35 Кб35Теория Холла.docx
#
01.03.20253.28 Mб0Теория(30 вопросов).doc
#
23.02.20151.91 Mб95Теория(30 вопросов).pdf
#
31.08.2019109.06 Кб4теорю концепц. граф. диз. 60 - 80е.doc
#
01.04.20253.04 Mб2Теософский словарь.doc