Элетродинамика. Специальная теория относительности. Теория электромагнитного поля. Памятных Е. А

Подставляя сюда значение величины поля излучения для нерелятивистского движущегося заряда, получаем

(8.14)

где ϑ — угол между ускорением заряда и направлением -из лучения. Полная излучаемая мощность в этом случае будет описываться формулойЛармора

(8.15)

Задачи

8.1. Выразить потенциалы поля движущегося заряда через расстояние до заряда и его скорость в момент создания поля (потенциалыЛиенара —Вихерта).

Ответ:

8.2. Показать, что в случае равномерно и прямолинейно движущегося заряда потенциалыЛиенара –Вихерта приводят к тому же результату, который получается с помощью преобразования потенциалов от системы отсчета, связанной с зарядом, к лабораторной системе отсчета (см. задачу3.3).

Решение. Выберем осьx системы координат вдоль скорости движения заряда, и пусть в момент времениt = 0 заряд находился в точке с координатамиr = 0 (рис. 2).

Уравнениеt′ = t – R(t′)/c тогда принимает вид

откуда находим

60

Рис. 2. Движущийся заряд и выбранная система пространственных координат

Поскольку t′ должно быть меньшеt, то подходящим является только нижний знак перед квадратным корнем.

Величина R (t′) – R (t′) V (t′)/с с учетом того, чтоR  (t′) = = c (t – t′), может быть переписана  в виде

Подставляя сюдаt′, находим

61

Тогда дляϕ получаем

что совпадает с выражением, полученным ранее с помощью преобразования потенциалов электромагнитного поля от-од ной инерциальной системы отсчета к другой.

8.3. С помощью потенциалов Лиенара – Вихерта определить напряженности поля движущегося заряда в нерелятивистском случае.

Решение. П олю излучения отвечают вклады, убывающие с расстоянием как 1/R. Поэтому при вычислении, например, магнитного поля достаточно дифференцировать лишь зависимость скорости от координат, входящую через дополнительное условие на время

Для производной∂t′/∂r из условияt′ = t – R(t′)/c находим

и для магнитного поля получаем

Электрическое поле может быть рассчитано аналогичным образом или найдено через магнитное поле как поле электромагнитной волны

62

Именно это выражение получается из общей формулы (8.11) при V << c.

8.4.С помощью потенциалов Лиенара — Вихерта найти поле излучения ускоренно движущегося нерелятивистского заряда и угловое распределение излучаемой мощности.

8.5.Определить дифференциальное и полное сечения рассеяния плоской линейно поляризованной электромагнитной волны на свободном покоящемся электроне1.

Решение. Под действием поля электромагнитной волны заряд приходит в ускоренное (колебательное) движение и, следовательно, излучает электромагнитные волныЗаряд. излучает сферические волны, частота которых в нерелятивистском случае равна частоте падающей волныТаким. образом и происходит процесс рассеяния первоначальной волны на свободном заряде.

В нерелятивистском случае ускорение заряда под действием поля волны определяется уравнением

mx = eE0e–iωt,

а угловое распределение излучаемой мощности — формулой Лармора (8.14).Подставляя в эту формулу ускорение, выраженное через комплексную амплитуду поля, V = (E0e–iωt + + E0*eiωt) e/2m, и усредняя по периоду поля, находим

Дифференциальное сечение рассеяния представляет собой отношение количества энергии, испускаемой рассеивающей системой в данном направлении в единицу времени  (<dP/ dΩ >), к плотности потока энергии, падающей на систему. Последняя дается вектором Умова —Пойнтинга и для плоской волны равна < S > = (c/8π)|E 0|2. Тогда для дифферен-

1 См.: Алексеев А. И. Сборник задач по классической электродинамике. М . : Наука, 1977. № 399.

63

циального сечения рассеяния плоской линейно поляризованной электромагнитной волны на свободном заряде получаем

Угол ϑ в этом выражении — это угол между направлением поляризации падающей волны и направлением рассеянной

8.6. Определить дифференциальное и полное сечения рассеяния для неполяризованной электромагнитной волны на свободном заряде2.

Решение. Для решения этой задачи нужно взять решение предыдущей задачи и переписать его для случая, когда направление поляризации падающей волны произвольно, а затем усреднить его по возможным поляризациям падающих волн.

Если направление поляризации падающей волны задается углом ψ, как показано на рис. 3, то sin2ϑ может быть выражен через ψ и сферические углыγ и φ, задающие направление рассеянной волны, следующим образом:

sin2ϑ = 1 – cos2ϑ = 1 – sin2γ cos2 (φ – ψ).

Тогда, в соответствии с решением предыдущей задачи для дифференциального сечения рассеяния такой электромагнитной волны на свободном заряде, имеем

Усредняя это выражение по поляризациям падающих волн (по углу ψ), находим

2 См.: Алексеев А. И. Сборник задач по классической электродинамике. № 400.

64

задающие направление рассеянной волныn

Полное сечение рассеяния при этом получается равным

Эти формулы называются формуламиТомсона, а соответствующие сечения рассеяния – томсоновскими сечениями рассеяния.

Задания для самостоятельного решения

8.7. В классической модели атома электрон вращается по круговой орбите вокруг ядраНайти. закон убывания энергии электрона, обусловленный излучением ЭМВ. Определить время, за которое электрон упадет на ядро, вследствие потери энергии на излучение3.

8.8.Оценить потери энергии на излучение для электронов

вускорителе на 20ГэВ длиной 3 км (стэнфордский линейный ускоритель).

3 См.: Алексеев А. И. Сборник задач по классической электродинамике. № 300.

65

8.9.Оценить потери энергии на излучение для электронов

втипичном синхротроне радиусом 1 м с приростом энергии за один оборот в 1 кэВ. До каких энергий можно ускорить электрон в таком ускорителе? Что нужно сделать для достижения больших энергий?

8.10.Намагниченная звезда равномерно вращается вокруг оси, не параллельной магнитному моменту звезды. Определить угловое распределение интенсивности излучения4.

8.11.Показать, что лоренцевская сила трения излучением для заряженной частицы, совершающей гармонические -ко лебания, приводит к конечной ширине спектральной линии, излучаемой таким осцилляторомРассчитать. форму и ширину спектральной линии как функции частоты и как функции длины волны5.

4Бредов М. М., Румянцев В. В., Топтыгин И. НКлассическая. электродинамика. М. :Наука, 1985.С. 175.

5Там же. С. 39.

66

Контрольные вопросы и задания

1.Уравнения ЭМП (в трехмерной записи). Физический смысл каждого уравнения. Интегральная форма записи уравнений.

2.Граничные условия для полей на границах раздела.

3.Постановка задач электродинамики. Единственность решения задач электродинамики.

4.Показать, что в уравнениях ЭМП содержится закон сохранения заряда.

5.Показать, что в уравнениях ЭМП содержится закон сохранения энергии с учетом ЭМП . Плотность энергии ЭМП . Плотность потока энергии ЭМП (вектор Умова —Пойнтин- га).

6.Показать, что из уравнений ЭМП следует возможность представления напряженностей через потенциалы. Уравнения для потенциалов.Н еоднозначность потенциалов. Условие калибровки.КалибровкаЛоренца и уравнения для потенциалов

вкалибровкеЛоренца.

7.Показать, что в электростатике уравнения ЭМП сводятся к уравнению Пуассона для скалярного потенциала. Функция Грина для задач электростатики и сведение с ее помощью решения прямой задачи электростатики к вычислению интегралов. ФункцияГрина для всего пространстваПо.- тенциал ограниченной системы зарядов во всем пространстве. Обратная задача электростатики и особенности ее решения.

8.Потенциал ограниченной системы неподвижных зарядов на больших расстояниях.Разложение по мультиполям. Дипольный и квадрупольный моменты системы.

9.Энергия электростатического поляРазличные. формы записи. Элементарный заряд. Энергия электростатического поля элементарного заряда. Противоречивость классической электродинамики. Классический электромагнитный радиус электрона.

10.Уравнения электромагнитного поля в магнитостатике. УравнениеПуассона для векторного потенциала в прямоли-

нейных и криволинейных координатахПотенциал. поля огра - ниченной системы токов в безграничном пространстве.

67