4.7. Задача наилучшего локального приближения. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано10

Покажем, что именно многочлен Тейлора функциизадаетнаилучшее локальное приближение этой функции. Для этого оценим погрешность приближения , т. е. оценим в некоторой окрестности точкифункцию. Разностьназываютостаточным членом формулы Тейлора.

Покажем, что

.

В самом деле, рассмотрим

(применим последовательно раз правило Лопиталя) =а это означает, что,

т. е.

. (4.19)

Полученная формула носит название формулы Тейлора порядка функции в точке с остаточным членом в форме Пеано. Ее называют асимптотическим разложением - го порядка функциив окрестности точки. Формула (4.19) является качественной характеристикой погрешности.

В курсе математического анализа доказывается, что можно найти и другие погрешности приближения .

4.8. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Пусть функция n раз непрерывно дифференцируема на (т. е.и эта функция непрерывна)и имеет в каждой точке этого интервала, за исключением, быть может, точки производную- го порядка. Тогда для любогомежду и х найдется такая точка , что справедлива формула Тейлора

..., (4.20)

где – остаточный член в форме Лагранжа. Так как точка , то, где.

Формула (4.20) является количественной характеристикой погрешности.

Формула Маклорена11

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при :

...

где

, .

Пример 4.12. Разложить функцию по степеням.

Решение. ,,,. Отсюда

.

Следовательно, по формуле Тейлора третьего порядка

.

Остаточный член . Таким образом,

.

Пример 4.13. Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки.

_Имеем ,

…,

где 2 <  < x.

Поэтому

где ,.

4.9. Разложения основных элементарных функций (асимптотические формулы)

Запишем формулу Тейлора (4.19) при с остаточным членом в форме Пеано:

. (4.21)

Формулу (4.21) называют формулой Маклорена разложения функции по степеням с остаточным членом в форме Пеано.

1. Пусть . Вычислим производные функциив точке:.

Используя формулу (4.21), получим

.

В частности, при иимеем:

.

2. Пусть . Вычислим значения производных функциипри:

………………………………………………………………..

Используя формулу (4.21) при , находим:

.

В частности, при иимеем:

.

3. Разложение для получается аналогично:

.

В частности, при :

.

4. Пусть . Вычислим значения производных функциипри:

Тогда . Используя формулу (4.21), получим:

.

В частности, при

.

5. Аналогично получаем

.

Если , то

.

Заменив на, получим:

.

Пример 4.14. Разложить функцию в ряд Маклорена с точностью .

Решение. Воспользуемся разложением . Заменимна , получим.

На рисунке 4.6 изображена кривая , а также ее приближения, и .

Пример 4.15. Разложить функцию в окрестности точки, взяв.

Решение. Воспользуемся формулой Маклорена при . Найдем производные,,, отсюда,,,. Получаем

.

Пример 4.16. Используя разложения функций по формуле Тейлора, вычислить пределы: а) ; б).

Решение. а) Воспользуемся разложениями:

, . Тогда.

б) Если ограничиться разложением , то в пределе получаем выражение. Чему равен такой предел, сказать невозможно. Неизвестно, какие бесконечно малые скрываются поди. Поэтому следует взять приближение

. Тогда .