4.5. Раскрытие неопределенностей (Правило Лопиталя)

Теорема о нахождении предела отношения функций через предел отношения производных

Пусть функции и :

1) определены и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки ;

2) ив этой окрестности;

3) существует (конечный или бесконечный);

4) или.

Тогда существует, причем

.

Замечание. Правило Лопиталя можно рассматривать и в случае . В этом случае достаточно сделать заменуи воспользоваться результатом теоремы.

Доказательство. Рассмотрим случай . Доопределим функции и в точке : и. Так как теперь, то функцииибудут непрерывны в точке. Поэтому на отрезке, где– любая точка окрестности точки, функцииинепрерывны, дифференцируемы и .Поэтому применима теорема Коши: .

Если , тои поэтому.

Случай оставляем без доказательства.

Замечания.

1. При применении правила Лопиталя дифференцируется числитель и знаменатель дроби отдельно.

2. Правило Лопиталя применяется только к дробям.

Чтобы применить правило Лопиталя для неопределенностей вида ,,,и т. д., нужно предварительно исследуемое выражение преобразовать к дроби. Рассмотрим примеры раскрытия некоторых неопределенностей.

Неопределенность : .

Неопределенность :

Неопределенности ,^, :

.

Пример 4.5. Вычислить предел .

_{Решение}. .

Пример 4.6. Вычислить предел .

Решение.

.

_Пример 4.7. Вычислить предел .

Решение. .

Пример 4.8. Вычислить предел .

.

_Пример 4.9. Вычислить предел ..

3. Иногда правило Лопиталя применяется несколько раз, если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы должны оставаться справедливыми.

Пример 4.10. Вычислить .

Решение. Значение предела

позволяет сравнить бесконечно большие при функции: показательная функция– бесконечно большая функция большего порядка по сравнению со степенной функцией– бесконечно большой при.

4. Правило Лопиталя не является универсальным, оно применимо лишь тогда, когда существует предел отношения производных .

Пример 4.11. Значение предела получить по правилу Лопиталянельзя, поскольку – не существует (не существует, см. решение примера 3.6). Однако исходный пределсуществует, его легко можно вычислить другим способом, например, так: , применяя теорему о пределе произведения бесконечно малой функции на ограниченную, в нашем случае,при,имеет место неравенство.

4.6. Формула Тейлора для многочленов

В 1715 году Брук Тейлор⁹опубликовал формулу для разложения функции в степенной ряд, которая явилась мощным инструментом для исследования функций и приближенных вычислений.

Рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть функция имеет в окрестности точки производные до - го порядка включительно. Требуется найти многочлен

степени не выше такой, что для всехвыполняются равенства

. (4.15)

Будем искать в виде многочлена по степеням разности:

, (4.16)

где коэффициенты нужно определить.

Найдем производные многочлена порядка:

,(4.17)

,

и далее,

.

Из (4.16) и (4.17) при получаем

Отсюда

.

Значит, с учетом (4.15), должны выполняться равенства

.

Таким образом, поставленную задачу решает многочлен

. (4.18)

Многочлен , заданный формулой (4.18), называютмногочленом Тейлора порядка функции в точке. Он единственен.