Дифференциалы высших порядков

Дифференциалы высших порядков (как и старшие производные) определяются индуктивно.

Пусть функция дифференцируема в каждой точке. Если в точкедифференциал

является дифференцируемой функцией, то существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называетсявторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка функции и обозначаетсяили. Пусть определен дифференциал порядка:. По определению полагают. Тогдамдифференциалом, если он существует, называют функцию :

.

Найдем формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим два случая.

1. Если − независимая переменная, то есть некоторое фиксированное приращение независимой переменной, т. е. является постоянной величиной и. Поэтому

.

Здесь . Аналогично

, (4.8)

здесь . Из (4.8) вытекает

,

т. е. производная го порядка, как и производная первого порядка, может быть представлена как обыкновенная дробь – отношение дифференциаловго порядка функцииий степени дифференциала аргумента.

2. Рассмотрим случай зависимой переменной. Пусть , где– дифференцируемая функция. В силу инвариантности формы первого дифференциала. Здесь дифференциалв общем случае не является постоянной величиной (). Поэтому

.

Сравнивая эту формулу с формулой , где − независимая переменная, делаем вывод, что уже второй дифференциал инвариантностью формы не обладает.

Упражнение. Пусть . Показать, что для случая линейной внутренней функции свойство инвариантности дифференциалов высших порядков сохраняется.

Правила вычисления производной суммы - го порядка. Формула Лейбница для- й производной произведения двух функций

Теорема 4.1. Если функции имеют в точкепроизводные порядка, то в этой точке существуют производные порядкасуммы и произведения этих функций и выполняются равенства:

, (4.9)

, (4.10)

где ,

.

Эти формулы нетрудно проверить методом математической индукции.

Равенство (4.10) называют формулой Лейбница для - й производной произведения двух функций.

Пример 4.4. Для функции в точкенайти производную 10-го порядка.

Решение. Заданная функция представляет собой произведение двух дифференцируемых функций. В этом случае для нахождения - й производной нужно применить формулу Лейбница (4.10).

Для заданной функции в случае формула Лейбница принимает видТак как, то все остальные слагаемые в сумме равны нулю. Находим производные:,

.

При соответственно получаем

.

Т. о., .

4.3. Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях

Пусть функция определена на множестве и – предельная точка множества .

Определение. Функция называетсястрого возрастающей (строго убывающей) в точке (рис. 4.2), если существует такая окрестностьэтой точки, что,

.

Если в этих неравенствах знаки заменить соответственно на _,то говорят, что функция возрастает (не убывает) (убывает (не возрастает)) в точке .

Теорема 4.2 (о достаточных условиях возрастания (убывания) функции в точке)

Пусть функция . Пусть функция имеет в точкепроизводную. Тогда в точкефункциястрого возрастает, если, и строго убывает, если.

Доказательство. Пусть . Так как, то существуетсправедливо неравенство. Значит, если, то, т. е.. Если, то. Это и означает, чтострого возрастает в точке (рис. 4.2).

В случае аналогично доказывается, что функциястрого убывает в точке.

Определение. Точка называется

1) точкой локального максимума (локального минимума);

2) точкой строгого локального максимума (строгого локального минимума), если существует такая окрестность этой точки, что, соответственно,

1) ;

2) .

Точки локального максимума и минимума называют точками локального экстремума.

Теорема 4.3 (теорема Ферма⁴о равенстве нулю производной (необходимое условие экстремума))

Пусть определена на множествеи– внутренняя точка множества Х. Если точка локального экстремума и существует , то .

Доказательство. Если , то функция строго возрастает в точке, а если, то функциястрого убывает в точке. Значит, локальный экстремум возможен только при условии.

Замечание. Условие , будучи необходимым для локального экстремума, не является достаточным. Действительно, функциястрого возрастает на всей числовой оси. Вместе с тем, ее производнаяобращается в ноль при значении.

С другой стороны, локальный экстремум может достигаться в точках, где функция недифференцируема или даже разрывна. На рисунке 4.3 – точки локальных экстремумов.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками первого рода этой функции. Ими являются корни уравнения (стационарные точки функции ) или точки, в которых производная функции не существует. Иногда критические точки называют точками, «подозрительными на экстремум».

Замечание. Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет экстремум.

Так, для рассмотренной выше функции критической является точка , что следует из уравнения. Однако эта функция строго возрастает и экстремумов не имеет.