Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Пусть функция дифференцируема в точке. Тогда

(4.2)

Рассмотрим два случая:

1. если – независимая переменная, то, поэтому

;

2. если дифференцируема в точке, то сложная функциядифференцируема в точкеи

. (4.3)

Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной.

Свойство первого дифференциала иметь одинаковые выражения через дифференциалы независимой переменной (в случае 1)) и зависимой переменной (в случае 2)) называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Замечание. В (4.2) , здесь– независимая переменная. В (4.3)

, здесь – зависимая переменная,.

Так, ,

.

Дифференциал и приближенные вычисления

Если , то, то есть

, . (4.4)

Этим равенством часто пользуются для приближенного вычисления значений дифференцируемой функции из некоторой - окрестности точки при достаточно малом. Формулу (4.4) записывают в виде

, . (4.5)

Так как , тои формула (4.5) принимает вид

,. (4.6)

Графиком функции правой части (4.6) является прямая , проходящая через точкуи имеющая угловой коэффициент. Эта прямая – касательная к графику функции в точке– доставляет линейное приближение функцииf в окрестности точки . Следовательно, геометрически (4.6) означает, что в окрестности точки график функциисливается с отрезком касательной, т. е. «спрямляется». Говорят, что соотношением (4.4) функциялинеаризована в окрестности точки .

Если аргумент х вычислен с относительной погрешностью , то значение функции– с относительной погрешностью, определяется по формулеили

, (4.7)

где – эластичность функции в точке х (подробнее см. п. ).

Пример 4.1. Найти время удвоения вклада в банк, если ставка банковского процента за год составляет 10 % годовых.

Найдем количество лет Т, в течение которых сумма вклада увеличится в 2 раза. За год вклад увеличивается в раз, поэтому заТ лет вклад увеличится в раз. Т. о., необходимо решить уравнение=2. Логарифмируя, получаем, откудаДля приближенного вычисленияиспользуем понятие дифференциала. Полагая, найдеми в соответствии с (4.5)В данном примере прих =1 и получимТак как, то время удвоения вклада(лет).

Пример 4.2. С какой относительной погрешностью надо измерить радиус шара, чтобы объем его можно было определить с точностью до 1%?

Решение. . Значит,. Нужно, чтобы, значит,

. Ответ: с точностью 1/3%.

Пример 4.3. На сколько процентов увеличится , еслих увеличится на 2%.

Решение. Найдем эластичность функции и по формуле (4.7) относительная погрешность.

Упражнения. 1. Вычислить приближенно: а) ; б); в); г).

2. На сколько процентов увеличится площадь круга, если его радиус увеличится на 1%?

3. Известно, что и. С какой точностью выполняется приближенное равенство, есливыполняется с точностью 0,001.

4. На сколько процентов изменится величина степени при изменении основания степени на 3%?

4.2. Производные и дифференциалы высших порядков Понятие производной - го порядка

Пусть для функциимножествоне имеет изолированных точек и пусть для любогосуществует производная. Функцияназываетсяпервой производной функции и обозначается . Индукцией определим производную функции произвольного порядка. Если функциядифференцируема на множестве, то ее производная называется - й производной функции на множестве и обозначается через . Таким образом,

.

При этом функция называетсядифференцируемой (раз дифференцируемой) на .