Глава 5. Исследование и построение графиков функции одной переменной

5.1. Условия возрастания и убывания функции

Пусть функция определена на интервале.

Определение. Функция называетсястрого возрастающей (строго убывающей) на , если для любых, верно неравенство . Функция возрастает (убывает) на , если для любыхверно неравенство.

Теорема 5.1 (о необходимом и достаточном условии возрастания (убывания) функции)

Пусть функция непрерывна наи дифференцируема. Тогда:

1) для того чтобы функция возрастала (убывала) на , необходимо и достаточно, чтобы для всех;

2) если производная для всех , то функциястрого возрастает (строго убывает) на.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть возрастает на . Покажем, что . Предположим противное, т. е., . Тогда по теореме Ферма (достаточные условия возрастания (убывания) функции в точке) функция строго убывает в точке , что противоречит тому, чтовозрастает.

Достаточность. Пусть для всех. Для любой пары точектаких, что, функцияна отрезкеудовлетворяет условиям теоремы Лагранжа:, для которой. Так как, то и, следовательно, . Т. о., мы доказали, что функциявозрастает на.

2) Пусть для всех. По схеме доказательства предыдущего пункта с помощью формулы конечных приращений Лагранжа получаем

.

Так как , то и если , то, то есть функциявозрастает в строгом смысле на.

Замечание. Условие , будучи достаточным для строгого возрастания (убывания) функции, не является необходимым. Это видно на примере функции, которая строго возрастает, но.

5.2. Локальный экстремум Теорема 5.2 (первое достаточное условие локального экстремума дифференцируемой функции)

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестностикритической точки , за исключением, быть может, самой точки, и непрерывна в точке. Если при переходе через точкуслева направо производнаяменяет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точкефункцияимеет строгий локальный максимум (минимум).

Если же производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки, то экстремума в этой точке нет.

Доказательство. Если производная меняет знак с «+» на «–», то по теореме предыдущего пункта 5.1 (необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) функции) функция возрастает для значенийиубывает для значений. Следовательно,, то есть– точка локального максимума функции(рис. 5.1).

Аналогично доказывается теорема и в случае минимума.

Теорема 5.3. (второе достаточное условие локального экстремума дважды дифференцируемой функции)

Пусть функция в критической точкеимеет конечную вторую производную. Тогда функция имеет в точкелокальный максимум, если, и локальный минимум, если.

Доказательство. Запишем формулу Тейлора для функции в окрестности точкипри:

.

По условию , поэтомупри. Если , то , и, следовательно, – точка локального минимума функции . Если же , то , и, следовательно, – точка локального максимума функции .

Пример 5.1. Доказать неравенство для.

Рассмотрим функцию Имеем. Дляа для. Таким образом,на интервалеубывает, на интервалевозрастает, и так какнепрерывна при, то точкаявляется точкой минимума. Следовательно, для, откуда и вытекает неравенство

Пример 5.2. Исследовать на экстремум функцию .

Определим промежутки монотонности и экстремумы данной функции. Первая производная функции равна: . Находим критические точки:приине существует при.

При , при. На каждом из промежутковфункция возрастает, на промежуткеубывает (рис. 5.2), в точке (5; 4,5) имеет локальный максимум. Отметим, что , т. е. график функции имеет в этой точке горизонтальную

касательную, точка является критической, но локального экстремума у функции в этой точке нет, т. к. первая производная не меняет знак. Точка также не является точкой экстремума (заданная функция в ней не определена), хотя производная при переходе через эту точку меняет знак.

Пример 5.3. Исследовать на экстремум функцию .

Первая производная функции равна . Приравнивая производную нулю, находим единственную критическую точку. Далее находим вторую производную. Ее значение в точке равно . Согласно второму достаточному условию локального экстремума делаем вывод о наличии максимума функции и вычисляем.