УДК 517.1

Составители: О.Я. Шевалдина

Научный редактор: канд. физ.-мат. наук В.И. Максимов

Задачи экономики в курсе математического анализа: Методические указания по курсу «Математика», «Математический анализ» для студентов экономических / О.Я. Шевалдина. Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ – УПИ», 2008. 34 с.

Методические указания содержат кратко изложенный теоретический материал, типовые задачи, рекомендации к их решению по теме «Исследование функций с помощью производных. Приложение производной в экономической теории» курса «Математика». Приводятся простейшие приложения математики в экономике (предельный анализ, эластичность функций, максимизация прибыли, оптимизация налогообложения предприятий и др.). Предлагаются задачи для самостоятельной работы студентов (в том числе, с экономическим содержанием). Наряду с традиционными упражнениями приводятся тестовые задания открытой и закрытой формы. Теоретические сведения, а также набор предлагаемых задач можно использовать в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов, при проведении контрольных работ, собеседований и экзаменов. Методические указания предназначаются для студентов всех специальностей факультета экономики и управления.

Подготовлено кафедрой «Анализ систем и принятия решений»

ГОУ ВПО «Уральский государственный

технический университет – УПИ» , 2008

Глава 3. Производная функции одной переменной

3.1. Производная функции в точке

Пусть функция определена на множестве и– предельная точка множества Х. Напомним: для любой точки приращениеопределяется формулой.Приращением функции в точкеназывается функция аргумента:

.

Определение. Если существует конечный предел

,

то значение этого предела называют производной функции в точке, обозначают или.

Используются и другие символические обозначения производной:

, ,.

Лагранж¹Ньютон²Лейбниц³

Таким образом, по определению

, (3.1)

где .

Пример 3.1. Найдем производную функции в любой точкеобласти определения:

.

Следовательно, функция имеет в каждой точкепроизводную.

Экономисты используют для обозначения производной также символ (т. е.) и терминмаржинальное значение функции в точке .

X Физический смысл производной

Производная – скорость изменения функции в точке . В частности, если– время, – координата точки, движущейся по прямой в момент , то– мгновенная скорость точки в момент времени .

Геометрический смысл производной. Связь с существованием касательной

Пусть график функции ;,– две точки графика функции (рис. 3.1).

Угол между секущей АВ и осью Ох обозначим .

Г

Определение. Если существует , то прямаяс угловым коэффициентом, проходящая через точку, называетсякасательной к графику функции в точке.

Теорема 3.1. График функции имеет в точкекасательную тогда и только тогда, когда функцияимеет в точкепроизводную.

Доказательство.

Необходимость. Пусть . Так как функциянепрерывна, то. Но. Поэтому, то есть функцияимеет в точкеконечную производную.

Достаточность. Если существует , то есть, то. Так как функции,непрерывные, то, то есть существует касательная к графику функции в точке.

Замечание. Так как , то приполучаем.

Таким образом, – это тангенс угла наклона касательной к графику функциив точке.

Уравнения касательной и нормали

Найдем уравнение касательной. Будем искать его в виде . Так как, то, откуда. Поскольку угловой коэффициент касательной, то ее уравнение имеет вид

_.

Определение. Нормальной прямой (или нормалью) к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точкуперпендикулярно касательной в этой точке.

Угловой коэффициент нормали связан с угловым коэффициентом касательной формулой

.

Уравнение нормали к графику функции в точке

.

Бесконечные производные

Если функция непрерывна в точке иравенили, то говорят, что функцияимеет в точкебесконечную производную (равную илисоответственно). В этом случаекасательная к графику функции в точке параллельна оси(), и так как она проходит через точку, то ее уравнение имеет вид:.

Пример 3.2. Рассмотрим функцию ,. Имеем

–вертикальная касательная к графику функции (рис. 3.2).

Пример 3.3. Рассмотрим функцию ,. Имеем:. Следовательно, прямая – вертикальная касательная к графику функции (рис. 3.3).

Односторонние производные

Пусть определена на множествеи– предельная точка.

Если существует конечный предел , то его называютлевой производной функции в точке и обозначают.

Аналогично . Число(если оно существует), называетсяправой производной функции в точке.

Теорема 3.2. Пусть – предельная точка. Функцияимеет производную в точкетогда и только тогда, когда,, причем

.

Пример 3. 4. . .

Имеем: ,.

Так как , функцияне имеет производной в нуле.

Пример 3.5. Пусть . Выясним, существует ли производная этой функции в точке.

Имеем: .

Итак, функция в точкеимеет производную.

Пример 3.6.

, то есть непрерывна в точке. Однако

не существует. Действительно, если , а если. Следовательно, предел по Гейне не существует.