Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы высшей математики для инженеров 2009

.pdf

Скачиваний:

241

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

10.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 4916 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

3.2. Интегрирование по частям…		151
III. Интегралы вида
Dekx cosbx dx,	Dekx sin bx dx

вычисляются двукратным интегрированием по частям. Здесь все равно, что брать за u и за dv, но оба раза нужно выбирать за u функ цию одного и того же типа (либо ekx, либо тригонометрическую).

П р и м е р.

Dex sin 2 x dx.

3.2.2. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен

J D

bx c

Выделим полный квадрат в знаменателе:

c :

ax2 bx c

a 9x2

< a 9x2 2

/ k2 < ,

a 9x

< a 9x

a 4a2

;

где

/ k2 и знак (+) или (–) берется в зависимости от того,

4a2

комплексные

или

действительные

корни у

квадратного трехчлена

ax2 bx c.

/ k2

Сделаем замену

t, dx dt. Пришли к табличному интегралу

t2 / k2

П р и м е р.

arctg

2 x 1

x2 x 1


152	Глава 3. Интегральное исчисление функций одной переменной
II.	J D	Ax B		dx.
		2
		ax	bx c

Произведем тождественное преобразование подынтегрального выра жения. Сначала выделим в числителе производную знаменателя:

(2ax

b) B

(2ax b) dx

ax2 bx c

ax2

bx c

Второй интеграл мы уже умеем вычислять. В первом интеграле сдела ем замену ax2 bx c t, (2ax b)dx dt.

2ax b

dx D

ln |t | C ln | ax2 bx c| C.

ax2 bx c

П р и м е р. D

x 2

dx.

2 x 3

III.

M62

D 2 2

a 0

ax2 bx c

Выделяя полный квадрат в знаменателе под знаком корня и произво

дя замену

приходим к интегралу вида

при

/ k

или D

при a 0. Оба интеграла табличные.

k2 t2

Ax B

(2ax

b) B

IV.

dx D

ax2 bx c

(2ax b)dx

ax bx c

bx c

Второй из этих интегралов уже рассмотрен. В первом сделаем замену ax2 bx c t, (2ax b)dx dt:

c 2 ax2 bx c C.

П р и м е р. D

2 x 1

dx.

4x 3

3.3. Интегрирование рациональных дробей

153

V. Интегралы вида

подстановкой t

mx n

bx c

(mx n) ax

приводятся к интегралам рассмотренных типов.

mx n

Рассмотрим интегралы вида D

x2 A dx, D

a2 x2 dx.

x2 A

J D x2

A dx

D x

x A

x u

dx du

dx dv,

v x2 A

A ln | x x

A | x x A J

x2 A

ln | x

x2 A

arcsin

a2 x2

3.3. ИнтегрированиеM62рациональных дробей

Определение рациональной дроби. Интегрирование простейших ра циональных дробей. Разложение рациональной дроби на простейшие. Метод неопределенных коэффициентов. Правила интегрирования ра циональных дробей.

3.3.1. Определение рациональной дроби. Интегрирование простейших рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида

R(x) Pm(x) ,

Qn(x)

где Pm — многочлен степени m, а Qn — многочлен степени n. Если m n, то дробь правильная, m n — дробь неправильная.

Всякая неправильная дробь может быть представлена в виде сум мы многочлена и правильной рациональной дроби. Для этого нужно числитель разделить на знаменатель (выделить целую часть).

Пусть

Pm(x) Qn(x) L(x) r(x), где L(x) — частное от деления, а r(x) — остаток.

154	Глава 3. Интегральное исчисление функций одной переменной
Тогда
		Pm(x)	L(x)	r(x)	,
		Qn(x)	L(x)		,
		Qn(x)		Qn(x)

где степень r(x) меньше степени Qn(x). Тогда

DR(x)dx DL(x)dx D r(x) dx.

Qn(x)

Таким образом, нужно научиться интегрировать правильную дробь. Как будет показано ниже, интегрирование правильной рациональ ной дроби может быть сведено к интегрированию алгебраической сум мы так называемых простейших дробей следующих четырех видов.

dx. II.

dx.

x )

(x ))n

III. D

Mx N

dx. IV. D

Mx N

dx.

(x px q)

x px q

M62

q 0.

Покажем, как они интегрируются.

I. D

dx AD

d(x ))

A ln | x ) | C.

x )

II. D

dx AD

d(x ))

(x ))1 n

(x ))n

1 n

III. D

Mx N

dx — уже умеем интегрировать.

x px q

(2 x

Mx N

IV. D

dx D

px q)

(x px q)

2 x p

dx N

(x2

px q)n

(x2 px q)n

x2 px q t,

(2 x p)dx dt

3.3. Интегрирование рациональных дробей

155

J D

1 n tn 1

1 n (x2 px q)n 1

Jn D

2 n

(x px q)

]

;

				p		t,
x
x
			2
		2
q	p				m2
q					m2
		4
		4

dx dt,

Jn D

m2 t2 t2

t2 dt

n 1

2 n

]

m2M62n 1 m2 D[t2 m2]n

Jn 1

t u,

dt du,

dt dv, v

2t dt

(t2 m2)n

[t2 m2]n

2 ( 1 n)(t2 m2)n 1

m2 Jn

2( 1 n)

(t2

m2)n 1

m2 92 n 1 (t2 m2)n 1

Jn 1

;

n 1

1)(t

n 1

m 2(n

m )

(n 1)

2n 3

(1)

< .

892(n 1)(t2 m2)n 1

2n 2

n 1;<

156	Глава 3. Интегральное исчисление функций одной переменной

Формула (1) — формула приведения. Используя эту формулу, можно

свести вычисление интеграла D(t2 m2)n к вычислению табличного ин теграла

					dt	1		arctg	t	C.
				D
				D	t2 m2		m		m
П р и м е р. D		dt		.
П р и м е р. D	(t	2	3	.
	(t	4)

3.3.2. Разложение рациональной дроби на простейшие

Как было показано выше, многочлен n й степени может быть раз ложен в произведение линейных и квадратичных множителей:

Q (x) (x ) )k1(x )

(x )

)ks

(x p x q )l1 (x2 p

x q )v.

Теорема. Правильную рациональнуюM62дробь

Pm(x)

можно единственным

Qn(x)

образом представить в виде

Pm(x)

Ak1

(x )1)2

(x )1)k1

(x )2)2

Qn(x)

x )1

x )2

Bk2

Cks

(x )2)k2

x )s

(x )s )2

(x )s )ks

M x N

Ml x Nl

(x2 p x q )2

(x2

x2 p x q

p x q )l1

E x F

(2)

pv x qv)

x pv x qv (x pv x

qv)

Здесь Ai, Bi, Ci, Mi, Ni, Ei, Fi — действительные числа, которые могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов.

3.3. Интегрирование рациональных дробей

157

Из формулы (2) видно, что линейным множителям в знаменателе соответствуют простейшие дроби типа I и II, а квадратичным — дроби типа III и IV, причем каждому множителю соответствует столько дро бей, какова его кратность.

3.3.3. Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим на примере, как применяется этот метод.

2 x2 41x 91 A B C ; (x 1)(x 3)(x 4) x 1 x 3 x 4

2 x2 41x 91 A(x 2)(x 3) B(x 1)(x 3) C(x 1)(x 2).

2 x2 41x 91 Ax2M622 Ax 3Ax 6A Bx2 Bx 3Bx 3B

Cx Cx 2Cx C.

x2: x1: x0:

2 A B C	#
	&
41 5A 4B 3C$ A 4, B 7,		C 5;

91 6A 3B 2C&%


D	2 x2 41x 91	dx 4	dx	7		dx	5	dx	.
	(x 1)(x 3)(x 4)
		D x 1			D x 3		D x 4

3.3.4.Правила интегрирования рациональных дробей

1.Если рациональная дробь неправильная, выделить целую часть.

2.Разложить знаменатель дроби на множители.

3.Представить дробь в виде суммы простейших дробей с неопре деленными коэффициентами.

4.Найти коэффициенты.

5.Вычислить интегралы от простейших дробей.

158Глава 3. Интегральное исчисление функций одной переменной

3.4.Метод Остроградского. Интегралы от иррациональных функций

Метод Остроградского. Интегралы от некоторых иррациональных функций.

3.4.1. Метод Остроградского

Если дробь P(x) — правильная и многочлен Q(x) имеет кратные

Q(x)

корни (действительные и комплексные), то

D P(x) dx P1(x) D P2(x) dx,

Q(x) Q1(x) Q2(x)

где Q1(x) — наибольший общий делитель Q(x) и его производной Q (x), а Q2(x) Q(x):Q1(x). Степени многочленов с неопределенными коэффи циентами P1(x) и P2(x) на 1 меньше степеней Q1(x) и Q2(x) соответствен

скобки. Это и будет Q1(x)M62. Q2(x)

но. Практически Q1(x) получают следующим образом. Разложим Q(x)

на множители. Если среди сомножителей есть скобки в степени, боль шей 1, то уменьшим показатели их степени на 1 и перемножим новые

		Все остальное —			.
П р и м е р.
D	x2 x 1	Ax3 Bx2 Cx D	D		Mx2 Nx 1	dx.
	(x 1)3(x2 x 1)2
		(x 1)2(x2 x 1)		(x 1)(x2 x 1)

Далее дифференцируем обе части равенства и находим все коэффици енты методом неопределенных коэффициентов.

3.4.2. Интегралы от некоторых иррациональных функций

Иррациональной функцией называется функция, которая содер жит переменную интегрирования по знакам радикала.

Выше мы научились интегрировать в конечном виде рациональ ные функции. В дальнейшем, основным приемом интегрирования тех или других классов функций будет отыскание таких подстановок, ко торые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду и дали бы возможность представить интеграл в конечном виде.

Этот прием называется методом рационализации подынтеграль ной функции.

3.4. Метод Остроградского…

159

Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается в ко нечном виде через элементарные функции. Рассмотрим те интегралы, подынтегральная функция в которых допускает рационализацию.

1. DR(x, nax b)dx.

Здесь запись R(x, nax b) означает, что над величинами x, nax b про изводятся только рациональные операции (сложение, вычитание, ум ножение, деление).

Этот интеграл сводится к интегралу от рационального выражения с помощью подстановки

ax b zn;

nzn 1

dz,

zn b

Тогда

n 1

DR(x, n ax b)dx DR

, z

dz.

П р и м е р.

M62

x z2,

2zdz.

x 1

zdz

ax b

ax b q

ax b

DR x,

1 ,

2 , ,

dx.

cx d

Этот интеграл приводится к интегралу от рациональной функции за

меной

ax b zS , cx d

где S — наименьшее общее кратное чисел q1, q2, …, qk oбщий знаме

натель дробей

, …,

П р и м е р.

z6,

z6 1

x 1 x

6z dz.

x 1 2

dx 6z dz

z 2

160	Глава 3. Интегральное исчисление функций одной переменной
После выделения целой части получим
		9	2z7 z6 4z5 2z4 8z3 4z2															32z 15
	6D z														16z 8			32z 15	dz
	6D z														16z 8				dz
																		z2 2
				10	8			z	7	6		5			3
		6		z		z		z			2z		2z	2z	4	4z	8z2 8z
		6												2z	4		8z2 8z
				10	4		7			3		5			3
				10	4		7			3		5			3

96D

d(z

90 D

z 2

Pn(x)

3. D

dx Qn 1(x) ax bx c D

ax2 bx c

где Qn 1(x) — некоторый многочлен степени n 1, а — число, подле жащее определению.

П р и м е р.

M62

x2(x2

D x2

4 dx

dx (Ax3 Bx Cx

D) x2

4 D

;

x2 x2 4 (3Ax2 2Bx C) x2 4

(Ax3

Bx2 Cx D)

;

x2 4

, B 0, C

, D 0, 2.

2 2

4 dx

D x x

x 4

2 ln | x

4 | C.

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 4916 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.03.2015220.23 Кб68опытная забивка свай.docx
#
29.03.20153.18 Mб289Организация работы по ДТП.docx
#
03.05.20151.72 Mб54Основания и фундаменты.pdf
#
21.11.2018100.35 Кб10Основные инструменты ТРИЗ.doc
#
12.03.20168.49 Mб285Основы архитектуры Лекции Презентация.pdf
#
12.03.201610.04 Mб241Основы высшей математики для инженеров 2009.pdf
#
14.11.2019109.06 Кб1Основы предпр_АСУ очка.doc
#
01.09.201963.34 Кб4основы предпринимательства.docx
#
24.12.201850.18 Кб10ОСНОВЫ СЕРТИФИКАЦИИ.doc
#
24.12.201859.9 Кб25ОСНОВЫ СТАНДАРТИЗАЦИИ.doc
#
01.05.2025260.88 Кб0ОСП.docx