Геометрия

Тема: Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

1.Векторы даны своими координатами относительно ортонормированного базисапространства V:,,,.

1) Докажите, что система образует правый базис пространства V.

2) Найдите координаты вектора в базисе.

3) Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах .

4) Найдите высоту параллелепипеда, выбрав за основание параллелограмм, построенный на векторах и.

2.Точки A(1;3; 5),B(0; 3; 2),C(1; 2; 4),D(3; 0; 1) заданы своими координатами относительно декартовой прямоугольной системы координат.

1) Докажите, что эти точки не лежат в одной плоскости.

2) Докажите, что точки A,B,Cне лежат в одной прямой.

3) Найдите площадь треугольника ABC.

4) Найдите объем тетраэдра ABCD.

Тема: Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

1.Плоскость: 2x+y5z+3=0 задана своим общим уравнением относительно декартовой прямоугольной системы координат.

1) Докажите, что прямая лежит в этой плоскости.

2) Найдите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M(2; 3; 0) перпендикулярно плоскости .

3) Найдите угол между плоскостями и, если: x+3y+z11=0.

4) Найдите расстояние от точки до плоскости.

2.Прямаяdзадана своим параметрическим уравнением относительно декартовой прямоугольной системы координат

1) Докажите, что прямая d параллельна плоскости : x2y+3z+13=0.

2) Найдите расстояние от прямой d до плоскости .

3) Найдите общее уравнение плоскости , проходящей через точку M(0; 1; 1) перпендикулярно прямой d.

4) Найдите угол между прямыми dи n, если.

Тема: Плоские линии второго порядка

1.Эллипс задан каноническим уравнением в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найдите параметрическое уравнение этого эллипса.

2) Найдите уравнения директрис эллипса.

3) Укажите координаты точки M, лежащей на эллипсе и отличной от его вершин.

4) Докажите, что гипербола софокусна (имеет те же фокусы) с данным эллипсом.

2.Гипербола задана каноническим уравнением в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найдите параметрическое уравнение этой гиперболы.

2) Найдите уравнения асимптот гиперболы.

3) Найдите уравнения директрис гиперболы.

4) Докажите, что эллипс и данная гипербола софокусны (имеют одинаковые фокусы).

Тема: Геометрические преобразования плоскости

1.Преобразование плоскости задано формулами

1) Докажите, что это преобразование является движением.

2) Определите вид этого движения.

3) Если существуют неподвижные точки заданного преобразования, то укажите координаты хотя бы одной из них.

4) Если существуют неподвижные прямые заданного преобразования, то запишите общее уравнение хотя бы одной такой прямой.

2.Прямаяd: x2y+3=0 на плоскости задана своим общим уравнением относительно декартовой прямоугольной системы координат.

1) Найдите формулы осевой симметрии относительно прямой d.

2) Докажите, что прямая m: 2x+y15=0 переходит в себя при осевой симметрии относительноd.

3) Найдите образ окружности при осевой симметрии относительноd.

4) При осевой симметрии относительно dтреугольник ABC переходит в треугольник. Какие из следующих утверждений являются верными:

а) Треугольник ABC конгруэнтен треугольнику .

б) Треугольник ABC подобен треугольнику с коэффициентом подобия k=3.

в) Треугольники ABC и одинаково ориентированы.

г) Треугольники ABC и противоположно ориентированы.

Тема: Сложное отношение точек проективной прямой

1.Точки A(3; 2),B(2; 1),C(8; 3),D(7; 0) заданы своими аффинными координатами.

1) Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

2) Найдите сложное отношение (AB, CD).

3) Найдите проективные координаты точки Dв проективном репере {A, B, C}.

4) Чему равно сложное отношение (BA, DC)?

2.Точки A(2: 1),B(3: 2),C(1: 1),D(5: 3) заданы своими проективными координатами относительно некоторого репера.

1) Найдите сложное отношение (AB, CD).

2) Докажите, что пара точек (A, B) разделяет пару точек (C, D).

3) Найдите координаты точки Dв репере {A, B, C}.

4) Чему равно сложное отношение (BA, CD)?

Тема: Первая квадратичная форма гладкой поверхности

1.Дана квадратичная форма вида.

1) Докажите, что является первой квадратичной формой некоторой поверхности.

2) Найдите угол между координатными линиями этой поверхности в точке M(1; 1).

3) Найдите угол между линиями иэтой поверхности.

4) Найдите длину дуги линии между точкамии.

2.ПоверхностьQзадана своим параметрическим уравнением

1) Докажите, что Q является гладкой поверхностью.

2) Найдите первую квадратичную форму этой поверхности.

3) Найдите угол между координатными линиями этой поверхности в точке M(0; 2).

4) Найдите угол между линиями иэтой поверхности.

Тема: Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского

1.На модели Пуанкаре задана прямая AB (полуокружность в евклидовой полуплоскости) и точка P, не принадлежащая AB.

1) Через точку P проведите прямые, параллельные прямой AB.

2) Через точку P проведите прямую, пересекающую прямую AB.

3) Через точку P проведите прямую, расходящуюся с прямой AB.

4) Через точку P проведите перпендикуляр к прямой AB.

2.На модели Пуанкаре задана прямая AB (луч в евклидовой полуплоскости, перпендикулярный границе) и точка P, не принадлежащая AB.

1) Через точку P проведите прямые, параллельные прямой AB.

2) Через точку P проведите прямую, пересекающую прямую AB.

3) Через точку P проведите прямую, расходящуюся с прямой AB.

4) Через точку P проведите перпендикуляр к прямой AB.