- •Введение
- •1. Методические указания по выполнению
- •1.1. События и действия над ними
- •1.2. Элементы комбинаторики
- •Пример 5. Акционерное собрание компании выбирает из 50 человек президента компании, председателя совета директоров и 10 членов совета директоров. Сколькими способами это можно сделать?
- •1.3. Вероятность события
- •1.4. Случайные величины
- •1.5. Элементы теории корреляции
- •2. Задания к типовым расчетам Теория вероятностей
- •Математическая статистика
- •Цепи Маркова и системы массового обслуживания
- •Рекомендуемая литература Основная
- •Дополнительная
- •Содержание
Пример 5. Акционерное собрание компании выбирает из 50 человек президента компании, председателя совета директоров и 10 членов совета директоров. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Президента компании можно выбрать 50 способами из 50 человек, тогда председателя компании 49 способами, а остальных членов совета директоров способами.Всего таких соединений можно составить
(по правилу умножения).
Схемы выбора с возвращением означают, что выбранные элементы возвращаются в исходное множество.
Размещения с повторениями. Если в размещении каждый отобранный элемент перед отбором следующего возвращается обратно, то в этом случае рассматриваются размещения с повторениями.
Число размещений с повторениями обозначается и вычисляется по формуле:
,
где черта указывает на возможность повторения элементов.
Пример 6. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует способов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные премии?
Решение. Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и порядком. Поскольку каждый фильм может получить призы как по одной, так и по нескольким номинациям, одни и те же фильмы могут повторяться. Число таких комбинаций равно
Сочетания с повторениями. Если в сочетаниях из n по k некоторые из элементов или все могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания называются сочетаниями с повторениями из n по k. Число сочетаний с повторениями обозначается и вычисляется по формуле:
Пример 7. Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта?
Решение. Искомое число равно
Перестановки с повторениями. Если множество из n различных элементов разбивается на k групп так, что в первую группу попадают k1 элементов, во вторую – k2 элементов, в k-ю группу – km элементов, то число таких разбиений равно
где .
Пример 8. Наташа получила в подарок 10 просверленных шариков из оргстекла: пять белых, два красных и три голубых. Она продела в них нитку и надела ее как ожерелье на шею. Потом стала менять порядок расположения шариков, и каждый день ожерелье принимало другой вид. Сколько разных видов ожерелья может получить Наташа?
Решение. Имеем перестановки с повторениями:
(видов).
Замечание. Изменение расположения элементов, не меняющее порядка их следования (первый элемент «следует» за последним), называют циклической перестановкой. Если в примере 8 учесть, что ожерелье замкнуто, т. е. последний шарик примыкает к первому, тогда расположение первого элемента не имеет значения. В этом случае окажется, что возможны только 252 различных вида.
Пример 9. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5 и 6, в которых цифра 4 повторяется три раза, а цифры 5 и 6 – по два раза?
Решение. Каждое семизначное число отличается от другого порядком следования цифр, при этом фактически все семь мест в этом числе делятся на три группы: на одни места ставится цифра 4, на другие – цифра 5, на третьи места – цифра 6. Таким образом, в нашем случае множество состоит из семи элементов и число таких чисел равно
Запишем основные формулы комбинаторики в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Формулы комбинаторики
|
Без повторений |
С повторениями |
Сочетания | ||
Размещения | ||
Перестановки |