0

Министерство транспорта российской федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ

————————————————————————————————

Ястребов М.Ю.

МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЧАСТЬ I.

ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Санкт-Петербург

2005

УДК

ББК

Рецензент:

Кандидат физико-математических наук, доцент

Кузнецов В.О.

Ястребов М.Ю. Математика. Теория вероятностей. Часть I. Вероятности случайных событий. — Учебное пособие. СПб: СПГУВК, 2005. — 43 С.

Учебное пособие предназначено для студентов второго курса экономических и технических специальностей. Оно соответствует рабочей программе дисциплины «Математика» и может быть использовано как при подготовке к коллоквиуму, так и для текущих учебных занятий.

УДК

ББК

© Санкт-Петербургский государственный

Университет водных коммуникаций, 2005

Введение. Предмет теории вероятностей

Предметом изучения в теории вероятностей являются количественные закономерности массовых случайных явлений, событий.

Массовость означает практическую или мыслимую возможность многократно производить какое-либо испытание в неизменных условиях.

Случайность означает отсутствие однозначной связи между воспроизведением условий испытания и наступлением или ненаступлением какого-либо заранее оговоренного события. Случайность связана как с неизбежным влиянием неконтролируемых условий, так и с погрешностью обеспечения контролируемых условий.

Вероятность выступает как числовая характеристика возможности появления в результате испытания заранее оговоренного события.

Традиционными сферами приложения теории вероятностей являются страховое дело, военное дело, социометрия, анализ ошибок измерения, производство массовой однородной продукции, системы массового обслуживания (службы скорой помощи, телефонные сети и т. д.).

Глава 1. Комбинаторика

1.1. Факториалы

Определение. Числом (читается: «-факториал») называется произведение всех натуральных чисел от до:

далее, при .

Дополнительно полагают

Замечание. Данное определение для нуль-факториал позволяет сохранить единообразие многих формул, в которых участвуют факториалы.

Таким образом, .

Факториалы быстро растут; так, например, .

Факториалы соседних натуральных чисел связаны рекуррентным соотношением: .

Сокращение факториалов: .

1.2. Принцип умножения

Принцип умножения (принцип произведения) задает правило для подсчета количества различных наборов из элементов в случае, когда последние выбираются, соответственно, по одному изконечных множеств. Благодаря этому принципу подсчет количества вариантов во многих случаях приводит к большим числам.

1. Если для пары первый член может быть выбран изэлементов, а второй — изэлементов, то общее количество таких пар равно произведению.

Действительно, каждый фиксированный элемент порождаетпар:. Всего, таким образом, получаетсяраз попар.

2. Если для тройки первый элемент может быть выбран изэлементов, второй — изэлементов, а третий — изэлементов, то общее количество троек равно произведению.

Действительно, каждая фиксированная пара порождаеттроек:. Всего, таким образом, получаетсяраз потроек.

3. В общем случае (доказывается по индукции), если строится набор из элементов, причем первый член может быть выбранспособами, второй —способами, и т.д., наконец, последний —способами, то общее количество-членных наборов равно произведению.

Для случая пар принцип умножения иллюстрируется (по аналогии с матрицами) прямоугольной таблицей, в которой пара стоит на пересечении-ой строки и-го столбца.

Для случая троек (а также наборов из большего числа элементов) принцип умножения иллюстрируется деревом вариантов, которое приведено на рис. 1.

Рис.1.

Примеры. 1. Количество четырехзначных натуральных чисел, у которых все цифры разные, и первая цифра отлична от нуля, по принципу умножения, равно .

2. Количество пятизначных натуральных чисел, которые могут быть записаны с помощью цифр равно.

3. Каждое подмножество множества изэлементов взаимно однозначно характеризуется набором изнулей и единиц: если элементвходит в подмножество, то наi-м месте набора стоит единица, в противном случае — нуль. Например, пустому множеству соответствует набор из нулей, самому множеству — набор из единиц, одноэлементному подмножеству — набор, в котором наi-м месте стоит единица, а на остальных местах нули. Количество таких наборов, а значит, и количество всех подмножеств, равно .