Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Reshebnik211108_-_kopia_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

536.61 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ¾ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿

И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

(решебник)

Ростов-на-Дону

2008

Рецензенты:
кандидат физ.-мат. наук, доцент
кафедры высшей математики Ро-	Задорожная Н. С.
стовского военного института РВ
кандидат физ.-мат. наук, доцент ка-
федры алгебры и дискретной мате-	Кряквин В. Д.
матики ЮФУ

Аннотация

Решебник по линейной алгебре предназначен для самостоятельной работы студентов специальностей “Физика” и “Радиофизика”. Решебник содержит описание основных методов решения задач по линейной алгебре, конкретные примеры с методическими ссоветами, а также задания для самостоятельного решения.

Содержание

1	Учебный модуль №1. Системы линейных уравнений		4
	1.1	Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . .	10
2	Учебный модуль №2. Определители		12
	2.1	Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . .	19
3	Учебный модуль №3. Алгебра матриц		21
	3.1	Основные свойства операций над матрицами . . . . . . . . . . . . .	22
	3.2	Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . .	31
4	Учебный модуль №4. Линейные пространства		33
	4.1	Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Базис. Коор-
		динаты вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	33
	4.2	Правила сложения векторов и умножения вектора на число в коор-
		динатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	34
	4.3	Связь координат вектора в двух разных базисах. Матрица перехода	40
	4.4	Линейные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	42
	4.5	Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43

4.6Линейные оболочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.7Множество решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений (ФСР) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.8Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5	Учебный модуль №5. Евклидовы пространства		51
	5.1	Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . .	55
6	Учебный модуль №6. Линейные операторы в конечномерном про-
	странстве		56
	6.1	Матрица линейного оператора. Ядро, образ оператора . . . . . . . .	56
	6.2	Собственные числа и собственные векторы линейного оператора . .	58
	6.3	Линейные операторы с симметрическими матрицами в евклидовых
		пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	62
	6.4	Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . .	65
7	Учебный модуль №7. Квадратичные формы		67
	7.1	Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . .	73
Список литературы			75

1Учебный модуль №1. Системы линейных уравнений

Будем рассматривать систему линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (СЛУ):

8 a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1
>
>
<		+ a22x2	+ : : : + a2nxn = b2
> a21x1		+ a22x2	+ : : : + a2nxn = b2	(1)
>				(1)
>	: : :	: : :	: : : : : : : : :
>	: : :	: : :	: : : : : : : : :
>
>
>
:		+ am2x2 + : : : + amnxn = bm;
> am1x1		+ am2x2 + : : : + amnxn = bm;

где aij – коэффициенты, bi – свободные члены. Приведем основные определения:

1.Решением СЛУ называют упорядоченный набор n чисел (x01; x02 : : : x0n), при подстановке которых в каждое из уравнений вместо соответствующих неизвестных получим верные равенства;

2.СЛУ называют совместной, если есть хотя бы одно решение, и, несовместной, если нет решений (множество решений пусто);

3.совместную СЛУ называют определенной, если она имеет единственное решение;

4.совместную СЛУ называют неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений;

5.две СЛУ с n неизвестными называют равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Рассмотрим один из вариантов метода Гаусса решения СЛУ. Он основан на элементарных преобразованиях (ЭП) СЛУ, которые приводят к равносильным СЛУ:

•ЭП 1: перемена местами двух уравнений СЛУ;

•ЭП 2: умножение обеих частей уравнения на число ¸ 6= 0;

•ЭП 3: прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого уравнения, умноженных на некоторое число.

Так как ЭП фактически выполняются над коэффициентами и свободными членами уравнений, то эти преобразования принято выполнять над строками таблицы (матрицы СЛУ):

0 a11

a12 : : : a1n

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

a22

: : : a2n

B a21

: : :

¡ расширенная матрица СЛУ;

B a

m C

0 a11

a12 : : : a1n

: : : : : : : : : : : : : : : : : : :

a22

: : :

a2n

B a21

C ¡ матрица СЛУ:

B a

: : :

Будем символически записывать ЭП:

ЭП 1 ¡ ci -% cj; ЭП 2 ¡ ¸ci; ЭП 3 ¡ ci + ¸cj

Идея метода Гаусса – последовательное исключение неизвестных из всех уравнений, кроме одного, с помощью ЭП так, чтобы привести систему к такой эквивалентной системе уравнений, решение которой легко найти.

Рассмотрим этот метод на примерах. Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

8	3x1 ¡ 2x2 + 5x3 = 5;
>	¡6x1 + 2x2 ¡ 5x3 = ¡2;
>
<	3x1 ¡ 6x2 + 10x3 = 11:
>	3x1 ¡ 6x2 + 10x3 = 11:
>
:

Сначала запишем расширенную матрицу системы:

0	○3	¡2		5		1	○
0	○3	¡2		5	5	1	○
B	¡6	2		¡5	¡2	C	»
B	3	¡	6	10	11	C
@		¡				A

Метод Гаусса состоит из шагов. На первом шаге выберем, например, неизвестное x1, которое будем исключать из всех уравнений, кроме первого. Коэффициент a11 = 3 назовем ведущим (ведущим может быть любой ненулевой элемент основной матрицы СЛУ) и выполним следующие ЭП:

c2 + 2c1 ○		0	○3 ¡2			5		1	○
c2 + 2c1 ○		0	○3 ¡2			5	5	1	○
c3 ¡ c1	» B		0	○¡2		5	7	C	»
		B	0	¡	4	5	6	C
		@		¡				A

На втором шаге выберем, например, неизвестное x2, которое исключим из всех уравнений, кроме второго. Коэффициент a022 = ¡2 назовем ведущим и выполним

следующие ЭП:		0					1
c1	c2		○3 0		0
c1	c2		○3 0		0	¡2
c3	¡2c2	○» B	0	○¡2 5		7	C	○»
	¡	B	0	0	5	8	C
		B			○¡	¡	C
		@					A

На третьем шаге исключим неизвестное x3 из всех уравнений, кроме третьего. Коэффициент a0033 = ¡5 назовем ведущим и выполним следующие ЭП:

c2 + c3	0	○3 0 0	¡2	1	○»
c2 + c3	○» B	0 ○¡2 0	¡1	C	○»
	B			C
	B			C
	@			A

00 ○¡5 ¡8

Умножим первую строку на 13, вторую на ¡12, третью на ¡15, получим

0	○1	0	0
○» B	0	○1	0
B
B	0	0	1
B	0	0	1
B
@

Восстановим по расширенной матрице СЛУ:

8 x1 = ¡		2
8 x1 = ¡		3
> x2 = 1
>	2
>	2
>
>
<
> x3 =	8
> x3 =	5
>
>

¡23 C C

1 C:

2 CC

8 A

Итак, СЛУ имеет единственное решение. Важное замечание.

В каждой ненулевой строке матрицы СЛУ ведущий элемент выбирается один раз. Метод Гаусса считаем завершенным, если в каждой ненулевой строке основной матрицы СЛУ был выбран ведущий элемент и с помощью ЭП в столбце с ведущим элементом все остальные элементы стали равными нулю.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений:

8	2x1 ¡ 2x2 ¡ 3x3 ¡ 2x4 = 0;
> x1		¡	x2 + 2x3	+ x4	= 2;
>		¡			¡
>
>
>
<

>> ¡2x1 + x2 ¡ x3 + x4 = ¡1;

: x1 ¡ 2x2 + 2x3 + x4 = ¡4:

Запишем расширенную матрицу СЛУ:
0	2		¡2		¡3		¡2			1
0	2		¡2		¡3		¡2	0		1
B	○1		¡1 2				1	¡2		C	»
B	¡	2	1		¡	1	1	¡	1	C
B	¡				¡			¡		C
B	1			2	2		1		4	C
B	1			2	2		1		4	C
@			¡					¡		A

Выберем ведущий элемент a12 = 1 (=6 0) и сделаем ЭП:
													0																					1
							c1			2c2			0				0						0 ¡7 ¡4									4		1
							c3 + 2c2 » B									○ ¡											3		3			¡	5	C	»
									¡				B				0				○1						3		3				5	C
							c4		¡		c2		B									¡										¡		C
									¡				B				0							1			0		0				2	C
													B				0							1			0		0			¡	2	C
											a0		@									¡										¡		A
											a0	=		¡			1 (= 0)
Выберем ведущий элемент 32														¡			6								и сделаем ЭП:
					0						¡ ¡												1 c4¢3 0												¡ ¡									1
					0						¡ ¡												1 c4¢3 0												¡ ¡									1
c2 ¡ c3 » B						0			0		7				4			4					C				1		B	0			0			7		4			4			C »
						○ ¡ ¡																					1			○ ¡ ¡
						○ ¡ ¡																				»				○ ¡ ¡												5
c	4			3	B	0 ○1 3								3					5 C B											0 ○1 3							3					5		C
		¡			B			¡										¡					C						B		¡										¡			C
					B	0			0		3				3			3					C						B	0			0 ○1					1		1				C
					B	0			0		3				3			3					C B							0			0 ○1					1		1				C
					@						¡		¡										A						@						¡		¡							A
Выберем ведущий элемент a43 = ¡1 (=6 0) и сделаем ЭП:
c1			7c4		0	0			0		0			3					¡		3		1 c1				¢3		0		0		0			0 ○1					¡		1	1
c1			7c4		0	0			0		0			3					¡		3		1 c1				¢3		0		0		0			0 ○1					¡		1	1
					» B																		C					1	B	○ ¡														C
c2 ¡ c4					» B	0 ○1 0								¡									C			»			B	○ ¡													2	C	»
c	¡			c	B	0 ○1 0								0							2 C B										0 ○1 0						0						2	C
	¡				B	○1 0					0					1			2				C B								1 0					0			1		2			C
3 + 3 4					B				¡										¡				C B										¡								¡			C
					B	0			0 ○1							1			1				C						B		0		0 ○1						1		1			C
					B	0			0 ○1							1			1				C B								0		0 ○1						1		1			C
					@						¡			¡									A						@						¡		¡							A
											a00	= 1 (= 0)
Выберем ведущий элемент 14																	6						и сделаем ЭП:
						0	0				0	0 ○1								¡1						1 0				○1 0					0		0				1			1
						0	0				0	0 ○1								¡1						1 0				○1 0					0		0				1			1
		c2		+ c1 » B			○										0									C		» B			0		○				0				0			C
			4		1	B	0 ○1 0										0							2 C B							0		0 ○1				0				0			C
		c + c				B	1 0					0					0						1			C			B		0			1	0		0				2			C
						B				¡												¡				C			B															C
						B	0				0 ○1 0												0			C			B		0		0		0 ○1							1		C
						B	0				0 ○1 0												0			C B					0		0		0 ○1							1		C
						@					¡															A			@												¡			A

x1 = 1; x2 = 2; x3 = 0; x4 = ¡1. СЛУ имеет единственное решение.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений (зададим СЛУ расширенной матрицей):

	0	1	○1 ¡1 2			3		1 c4¡c1	0	1	○1 ¡1 2			3	1	1 c1		¡c2
	0	1	○1 ¡1 2			3	1	1 c4¡c1	0	1	○1 ¡1 2			3	1	1 c1		¡c2
СЛУ :	B	1	0	1	¡1	1	2	C c3»¡c1	B	○1	0	1	¡1	1	2	C c3»¡c2
	B							C	B				¡			C
	B	3	1	1	0	5	4	C	B	2	0	2	2	2	1	C
	B	3	1	1	0	5	4	C	B	2	0	2	2	2	1	C	¡2c2
	B	2	1	0	1	4	3	C	B	1	0	1	1	1	2	C c4	¡2c2
	@							A	@				¡			A

							0				0 ○1 ¡2 3												1
							0				0 ○1 ¡2 3								2	¡1			1
						» B				○1				0		1 ¡1			1	2			C
							B				0			0		0	0		0		0		C
							B																C
							B				0			0		0	0		0			3	C
							B				0			0		0	0		0			3	C
							@														¡		A
Четвертая строка матрицы соответствует уравнению
					0 ¢ x1 + 0 ¢ x2 + 0 ¢ x3 + 0 ¢ x4 + 0 ¢ x5 = ¡3;
которое не имеет решений. Следовательно, СЛУ несовместна.
Пример 4. Решить систему линейных уравнений :																										1	3»c2
0												1				0										1	3»c2
	5 ○¡1 ¡1 ¡3																5 ○¡1 ¡1 ¡3											1
	5 ○¡1 ¡1 ¡3							1						c2	¡c1		5 ○¡1 ¡1 ¡3								1		c1+	2c2
B												C		c3	¡c1	B										C
B	5		1		7	9					1	C		»		B	0 0					6	6		2	C		2
B	5 ¡1 5					3				3		C		»		B	0 0				6		○6		2	C cc2		¢1
@												A				@										A	+
@		¡ ¡ ¡						¡				A				@					¡ ¡				¡	A
											0		5	○¡1 2			0		2		1
											0		5	○¡1 2			0		2		1
									» B				0		0	3	○3		1		C
											B		0		0	0	0		0		C
											@										A
Запишем СЛУ, соответствующую этой матрице коэффициентов:
										8		5x1 ¡ x2 + 2x3 = 2;
		x2		x4						<					3x3 + 3x4 = 1:									свободными. Выразим
Неизвестные		x2	,	x4	назовем				главными, а остальные x1, x3															свободными. Выразим
Неизвестные			,		назовем					:
главные неизвестные через свободные:
										<					¡		3
																	x				;
										8 x2 = 5x1 + 21								3 ¡ 2
										> x4 =						x3 +		:
										:
Если теперь		задать				конкретные значения свободных неизвестных, например,
Если теперь		задать								>

x1 = 1, x3 = ¡1, и, подставить их вместо x1, x3 в найденные уравнения, то получим x2 = 1, x4 = ¡23 . Так как свободные неизвестные могут принимать любые числовые значения, то множество всех решений СЛУ, называемое общим решением,

можно записать в виде:	>		¡
	>		¡
	8 x1	= ®;
	>
	>
	>
	<	= 5® + 2¯ 2;
	> x2	= 5® + 2¯ 2;
	> x3 = ¯;
	>
	>
	>
	>	1
	>	= ¡¯ + 3;
	> x4	= ¡¯ + 3;
	:

а решение x1 = 1, x2 = 1, x3 = ¡1, x4 = ¡23 называют частным.

Замечание. Так как ведущие коэффициенты можно выбирать различным образом, то и вид общего решения может быть разным.

Пример 5. Решить однородную систему линейных уравнений (ОСЛУ), т.е. такую СЛУ, у которой все свободные члены равны нулю:

	8	3x1 ¡ x2 + x3 = 0;
	>
	<
	> x1 + 2x2 ¡ x3 = 0;
	>
	> 4x1 + 3x2 + 2x3 = 0:
Заметим, что ОСЛУ всегда	совместна, т.к. имеет нулевое решение, в данном при-
Заметим, что ОСЛУ всегда	:

мере x1 = x2 = x3 = 0. Решаем ОСЛУ методом Гаусса. Так как при любых ЭП в столбце свободных членов стоят нули, то обычно столбец свободных членов не выписывают.

ОСЛУ :

03 ¡1 ○11

c2 + c1

3 ¡1 ○1 1

c1 + c2

○1 1

B1 2 ¡1C c3 ¡»2c1

4 ○1

C c3 ¡»5c2

4 ○1

B4 3

2 5

22 0

@ ¡

0 7

0 ○1 1 c1 ¡ 7c3

0 0

0 ○1 1

c3 ¢ (»¡22 )

¡»

)

○1 0

○

4c3

○

ОСЛУ имеет единственное решение x1 = x2 = x3 = 0.

Пример 6. Решить ОСЛУ:

2x1 + x2 ¡ x3 + 3x4 = 0;

> x1 + 2x3 = 0;

¡ 5x3 + 3x4 = 0:

> x2

ОСЛУ :

○1 ¡1

1 c3

»¡

○1

¡1

1 c1 ¡ 2c2

1 0

2 0

○1 0

2 0

C c3 +»2c2

0 1

5 3

2 0

4 0

0 ○1

5 3

8 x1 = ¡2x3;

○

)

> x2 = 5x3 ¡ 3x4;

св. неизв.;

> x3

св. неизв.

Итак, ОСЛУ имеет бесчисленное множество решений, зависящее от двух па-

раметров ® и ¯. Общее решение ОСЛУ:

> x = ¡2®;

> 1

< x2 = 5® ¡ 3¯;

>> x3 = ®;

: x4 = ¯:

Пример 7. Решить ОСЛУ:

< x1 + 2x2 ¡ 3x3 + x4 ¡ x5 = 0; : 2x1 ¡ x2 + 2x4 = 0:

ОСЛУ :	0	1	2 ¡3 1	○¡1	1 c1	+ 2c2	0	5	0 ¡3 5	○¡1	1	=
	@	2	○¡1 0 2	0	A	»	@	2	○¡1 0 2	0	A	)

ОСЛУ имеет бесчисленное множество решений, зависящее от трех параметров ®,

¯, °. Общее решение:

>> x1 = ®;

> x = 2® + 2°;

< 2

> x3 = ¯;

> x = °;

> 4

: x5 = 5® ¡ 3¯ + 5°:

1.1Примеры для самостоятельного решения

Решить СЛУ методом Гаусса:
1.1	8	2x1 + x2			= 1;		¡
	:						¡
	< 3x1 + 2x2				= 1:
	Ответ: единственное решение: x1 = 1; x2 =							1.
1.2	8	3x1 ¡ 2x2			= ¡1;
	<	6x1 ¡ 4x2			= 0:
	:
	Ответ: решений нет.
	<	2x1		+ 3x2	= 2:
1.3	8	4x1		+ 6x2	= 4;
	:
	Ответ: бесконечное множество решений, общее решение:
	>				3
	8 x1 = 1 ¡				2x2	;
	>		¡
	:			свободное неизвестное:
	< x2			свободное неизвестное:
1.4	> x1		+ 2x2			= 0;
	8 x1		+ x2 + x3			= 4;
	>
	<
	> x1 + x2 + 2x3 = 7:
	>
	:						¡		= 3.
	Ответ: единственное решение: x1 = 2; x2 =							1; x3	= 3.

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.201950.69 Кб1Razyasnenia_po_kassovoy_distsipline.doc
#
20.11.2019320 Кб0recomendation_fin_150606.rtf
#
18.09.20191.65 Mб5ref-18447.rtf
#
13.02.2015196.1 Кб3ref-24254.doc
#
13.02.2015105.98 Кб19Rekomendatsii_dlya_pedagogov.doc
#
12.03.2016536.61 Кб72Reshebnik211108_-_kopia_2.pdf
#
15.11.2019293.89 Кб1rider_filology.doc
#
13.02.2015215.19 Кб4Rider_k_11_lektsii_Rozanova.pdf
#
16.11.201951.95 Кб19rider_po_kriminologii.docx
#
14.09.2019263.74 Кб5Rimskoe_chastnoe_pravo.docx
#
25.09.2019552.45 Кб6Ritorika.doc