Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Reshebnik211108_-_kopia_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

536.61 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

3Учебный модуль №3. Алгебра матриц

Основные определения:

Матрица – это прямоугольная таблица чисел (m¡строк, n¡столбцов)

	0 a11			a12	: : : a1n			1
mAn	= B a21			a22	: : : a2n			C	= (aij)
£	B	: : : : : : : : : : : : : : : : : : :						C
	B							C
	B a			a	: : :	a		C
	@							A
	B		m1	m2			mn	C

Замечание. Если все элементы матрицы aij = 0, то матрицу называют нулевой и обозначают £.

Две матрицы одного размера называют равными, если равны их соответствующие элементы:

A = B , aij = bij

m£n m£n

Суммой двух матриц A и B одного размера называют матрицу C того же размера:

A + B = C ; cij = aij + bij
m£n m£n m£n
Произведением матрицы A на число ¸ называют матрицу
mCn	= ¸ ¢ mAn; cij = ¸ ¢ aij
£	£
Произведением матрицы B	на матрицу B называют матрицу	C , эле-
m£n	n£p	m£p

менты cij которой получают по правилу:

cij = aik ¢ bkj

k=1

(элементы i-й строки матрицы A умножают на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и полученные произведения складывают).

Матрицей, транспонированной к матрице A называют матрицу	A T ,
m£n	n£m

элементы aTij которой получают по правилу aTij = aji (строки матрицы A становятся столбцами матрицы AT ).

3.1Основные свойства операций над матрицами

1)A + B = B + A.

2)(A + B) + C = A + (B + C).

3)¸ ¢ (A + B) = ¸ ¢ A + ¸ ¢ B.

4)(¸ + ¹)A = ¸A + ¹A.

5)Вообще говоря A ¢ B 6= B ¢ A , но для каждой квадратной матрицы есть

n£n n£n n£n n£n

бесконечное множество матриц, для которых A¢B = B ¢A (например, B = E, B = £, B = A). Такие матрицы B называют перестановочными с матрицей

6)	mAn	¢ (nBp ¢	pCq) = (mAn ¢		nBp) ¢	pCq
	£	£	£	£	£	£
7)	(A ¢ B)T = BT ¢ AT
Матрицу nBn			называют обратной к матрице nAn, если A ¢ B = B ¢ A = E
		£				£

(обозначают B = A¡1).

Не всякая квадратная матрица имеет обратную, но если A¡1 существует, то она единственна.

Критерий обратимости матрицы:

для того, чтобы матрица A имела обратную, необходимо и достаточно чтобы jAj 6= 0.

Рассмотрим решения простейших типовых примеров. Выполнить действия с матрицами:

1.		2 0		1 2		1		3	0	¡1 4			1T =		0		2 4		1		3	0	¡1 5				1	= 0	2	4		1
		@		¡1 3		A¡			@	5 6			A @				¡2 6		A¡			@	4 6				A @		¡2 6			A¡
		0	¡3 15			1 =			0		2 + 3 4 ¡ 15						1 = 0			5 ¡11					1
	¡ @			12 18		A @				¡2 ¡ 12 6 ¡ 18							A @ ¡14 ¡12								A
2.	4	0	1	2	¡1		1	+ 5		0	2		1	1T	=	0		4	8	¡4		1	+	0		10		20	¡5	1	=
		0	3	1	4		1			B	4		3	C		0		12	4	16		1		0			5	15	0	1
		@					A			B	¡	1	0	C		@						A		@						A
										@	¡			A

=@ 14 28 ¡9 A 17 19 16

¡3

1 0

3 ¡ 6 1 + 6

¡3 7

¡2

A ¢ @

A @

12 + 4 4 ¡ 4

A @

16 0

3 0 1

0 2 + 12 + 0

1 0

14 1

¡1 2

1 ¡ 4 + 12

´ B

1 ¡6 4 1

= 2 ¡ 18 ¡ 4 + 2 1 ¡ 30 + 24 + 0 =

¢ B

3 5

³´

=¡18 ¡5

6.	0	2	¡1 1		1	0		3	0			2	1	=	0	7	2 8			1
	0	3	4 2		1	¢ B		1	¡1 ¡1				C		0	17 ¡2 4				1
	@				A	B		2		1		3	C		@					A
						@							A
7.	0	1	4	1T 0		1	2			1	=	0	1	2	0	1	0	1		2	1	=	0	5 ¡4	1
	B	2	5	C ¢ B		2	¡3			C		0	4	5	1	1	¢ B	2	¡3		C		0	17 ¡3	1
	B	0	1	C B		3	4			C		@				A	B	3		4	C		@		A
	@			A	@					A							@				A

Найти все матрицы, перестановочные с матрицей A:

8. A = @	2	1	A
	3	0

Нужно найти такие матрицы B, для которых A ¢ B = B ¢ A.

Обозначим элементы искомой матрицы B следующим образом:

B = 0 x1

@ x3

Найдем произведения A ¢ B, B ¢ A и сравним соответствующие элементы по-

лученных произведений.

B = 0

1 0 x1

1 = 0

2x1 + x3 2x2 + x4

A ¢ @ x3

A @

3x1

3x2

0 x1 x2

1 0

= 0

A =

2x1 + 3x2 x1

x3 x4

A ¢ @

A @

2x3 + 3x4 x3

2x1 + x3 = 2x1 + 3x2

3x2 ¡ x3 = 0

2x2 + x4 = x1

> x1

2x2

x4 = 0

3x1 = 2x3 + 3x4

()

3x1

2x3

3x4 = 0

3x2 ¡ x3 =¡0

3x2 = x3

Приходим к решению ОСЛУ. Решим ОСЛУ методом Гаусса:

0 0 3 ○¡1 0

1 c3

2c1 0 0

3 ○¡1 0

2 0

○1

2 0

¡3c2

ОСЛУ:

C c4¡c1

6 0

3 0

0 3

1 0

0 0

3 ○¡1 0

» B

○1 ¡2

¡1

Общее решение:

3x2 ¡ x3 = 0

> x1 = 2x2 + x4

свободное неизвестное

> x2

> x3 = 3x2

> x

свободное неизвестное

можно записать общий вид всех матриц B, перестановочных с мат-

Теперь>

рицей A:

B =

2x2 + x4 x2

3x2

Заметим, что при x2 = x4 = 0 получим нуль-матрицу, при x2 = 0, x4 = 1 полу-

чим единичную матрицу, при x2 = 1, x4 = 0 получим матрицу A =	@	3	0	A
	0	2	1	1.

Рассмотрим два способа отыскания обратной матрицы.

Способ 1 основан на известной конструктивной формуле, полученной при доказательстве критерия обратимости матрицы:

		1			0	A11	A12		: : : A1n		1T
A¡1 =	j	A	j	¢	B	A21	A22		: : : A2n		C
	j		j		B	: : : : : : : : : : : : : : : : : : :					C
					B						C
					B A		A		: : : A		C
					@						A
					B	n1		n2		nn	C

Решим примеры на отыскание обратной матрицы первым способом:

9. A = @

A; A¡1¡?

¡1 2

)

j j

A¡1

существует

A = ¯

¯ = 2 + 3 = 5 = 0

¯¢

2 = 2;

A12 = (

1)1+2

1) = 1;

A11 =¯

(

1)1+1¯

(

A21 = (¡1)2+1 ¢ 3 = ¡3;

A22 = (¡1)2+2 ¢ 1 = 1;

A¡1 = 1

= 1

2 ¡3

0 5 ¡5 1

¡3

Сделаем проверку:

1 3

1 =

0 5 + 5 ¡5 + 5

1 =

¡5

1 0

¡1 2

¢ B 5

C B ¡5

+ 5 5 + 5

0 1

следовательно A¡1

¡5

найдена верно.

¡1

10. A =

;

A¡1¡?

A =

3 1

¯ c

===¡

3 1

¯ = 1

(

1)2+3

3:=c3 c2

j j

2 ¡1 0

¢ ¡

3 2 1

1 0

(

4) = 6 =

A¡

¯0

)

¯существует.

¡ ¡ ¡

A11

= (

1)1+1

= 1;

A12 = (

1)1+2

2 1

3 1

A13 = (

1)1+3

= 1;

A21

= (

1)2+1

¡1

= 1;

A22

= (

1)2+2

¯ = 2;

2 1

3 1

¯ ¡

A23 = (

1)2+3

¡1

A31

= (

1)3+1

A32 = (

1)3+2

1 1

¢ ¯

A33

= (

3+3

= 7:

A¡1 = 1 0 1 ¡4 11 1 = 0

4 2

2 ¡1

¡6 6

¡6

@ ¡

Сделаем проверку:

¡6

A¡1 =

¢ B

4 2

3 1

¡6 6

¡6

+ 6

¡ 6

¡6 + 6

1 0 0

= 0

+ 6 1

+ 7

0 1 0

6 ¡

¡ 6

¡6

6 6

3 4

4 1 3 4

¡6 ¡ 6

¡6

6 ¡ 6 6 ¡ 6

следовательно A¡1 найдена верно.

Второй способ отыскания обратной матрицы основан на использовании метода Гаусса:

обозначим неизвестные элементы в столбцах искомой матрицы A¡1 разными буквами:

0	x1		y1		: : : z1		1
A¡1 = B x2 y2					: : : z2		C
B	: : : : : : : : : : : : : : :						C
B							C
B x		n	y	n	: : : z	n	C
B		n		n		n	C
@							A

Так как A ¢ A¡1 = E, то выполняя действие умножения A ¢ A¡1 и сравнивая со-
ответствующие столбцы матриц в левой и правой частях равенства A ¢ A¡1 = E,
получим n СЛУ:
8 a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = 1
> a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn = 0
>
>
>	: : :	: : :	: : :
> : : :	: : :	: : :	: : :
<
> an1x1 + an2x2 + : : : + annxn = 0;
>
>
>
>
:
8 a11y1 + a12y2 + : : : + a1nyn = 0
> a21y1 + a22y2 + : : : + a2nyn = 1
>
>
>	: : :	: : :	: : :
> : : :	: : :	: : :	: : :
<
> an1y1 + an2y2 + : : : + annyn = 0;
>
>		: : :	: : : : : :
>: : : : : :		: : :	: : : : : :
>
:
8 a11z1 + a12z2 + : : : + a1nzn = 0
> a21z1 + a22z2 + : : : + a2nzn = 0
>
>
>	: : :	: : :	: : :
> : : :	: : :	: : :	: : :
<

: an1z1 + an2z2 + : : : + annzn = 1:

Будем решать эти n штук СЛУ методом Гаусса одновременно, т.к. матрица A коэффициентов у этих СЛУ одна и та же:

0 a11			a12	: : : a1n			0	: : : 0		1
0 a11			a12	: : : a1n		1	0	: : : 0		1
B a21			a22	: : : a2n		0	1	: : : 0		C
B	: : : : : : : : : : : : : :					: : : : : : : : :				C
B										C
B a		n1	a	: : : a	nn	0	0	: : :	1	C
B		n1	n2		nn	0	0		1	C
@										A

При решении этих СЛУ возможны два случая:

1)хотя бы одна СЛУ не имеет решения. Это значит A¡1 не существует,

2)каждая СЛУ имеет единственное решение.

Условно эти два случая покажем на схеме:

(EjA¡1)

ЭП	%	0 :0: :					6=: : 0:
ЭП
(AjE) »			:0: :	:: :: ::	:0: :	:: :: ::		:: :: ::
	&	@ : : :	: : :	: : :	: : :	: : :	: : :	: : :

AA¡1 не существует

Решим примеры на отыскание обратной матрицы вторым способом.

		0	2	1	1
11. A = @			3	4	A;	A¡1¡?		0			1		0				1
0	2	○1 1			0	1 c2	¡4c1	0	2 ○1 1	0	1	5c1+2c2	0	0 ○5	¡3	2	1
@	3		4 0		1	A	»	@	○¡5 0 ¡4	1	A	»	@	¡5 0	¡4	1	A »

			4	1
» B	1	0	5	¡5	C
» B	0	1	¡3	2	C
B					C
@			5	5	A
			5	5

B 4 ¡1 C

A¡1 = B 5 5 C @ ¡3 2 A

Сделаем проверку.					0 5			1 =	0					1 =
A A¡1 =	0	2	1	1	0 5		¡5	1 =	0	5 ¡ 5		¡5 + 5		1 =	0	1	0	1	,
	0			1		3	2			12	12	3	8		0			1
¢	@	3	4	A	¢ B	4	1	C B		8	3	2	2	C	@	0	1	A
¢		3	4		¢ B	¡5	5	C B		5 ¡	5	¡5 + 5		C		0	1
					B			C	B					C
					@			A	@					A

следовательно A¡1 найдена верно.

	0	2	¡1	0	1
12. A =	B	3	2	1	C	; A¡1¡?
12. A =	B	1	3	1	C	; A¡1¡?
	@	¡			A

0				¡									1 c3¡c2		0	2 ○1 0						1 0 0
	2				1 0				1 0 0							2 ○1 0						1 0 0					c2+3c1
	1								0 1 0							1		¡				0 1 0				1 c3¡c1
B	1			3 ○1					0 1 0				C	»	B	1		3 ○1				0 1 0				C	»
@	¡												A		@	¡		¡					¡			A
B		3 2				1			0 0 1				C		B		4		1 0			0		1 1		C
	0			2		1		0					0	0				0		0	3			0		2	¡	1	1
				2		1		0			1		0	0						0	3			0		2		1	1
				7		○¡					3			1 63cc21+7cc33						0	○¡								1
» B				7		0 ○1					3		1 0 C			»		B		0		0 ○6			11 ¡1 7 C »
	B		○¡								¡ ¡			C		+		B		○¡						¡ ¡			C
	@													A				@											A
	B			6 0				0				1	1 1 C					B			6 0			0		1		1 1 C
	0		1	0		0		6		6			¡6	1
	B							1		1			1	C
	B							11		1			7	C
	B							11		1			7	C
» B								2		1			1	C
» B			0 1 0				¡3 3						¡3	C
	B		0	0		1		6		¡6			6	C
	B							6		¡6			6	C
	@													A

0	6	6	¡6	1
A¡1 = B	1	1	1	C
A¡1 = B	¡3 3		¡3	C
B	2	1	1	C
B	6	¡6	6	C
B	6	¡6	6	C
@	11	1	7	A
B	11	1	7	C

Теперь рассмотрим решение так называемых матричных уравнений:

A ¢ X = B – матричное уравнение 1 -го типа,

m£n n£p m£p

X ¢ A = B – матричное уравнение 2 -го типа.

m£n n£p m£p

Заметим, что уравнение 2 -го типа можно свести к уравнению 1 -го типа следующим приемом:

X ¢ A = B , (X ¢ A)T = BT , AT ¢ XT = BT ¡ уравнение 1-го типа:

Решать матричное уравнение можно методом Гаусса.

Фактически мы уже решали матричное уравнение при отыскании обратной матрицы:

A ¢ X = E:

При решении матричного уравнения 1 -го типа можно использовать ту же схему. Рассмотрим примеры:

13.	@	2	0		A			¢				@		0	1	A	– это уравнение 1 -го типа A										¢	X = B.
13.	0	1	¡1		1					X =		0		2	3	1	– это уравнение 1 -го типа A											X = B.
	Запишем расширенную матрицу (AjB) и будем решать одновременно несколь-
	ко СЛУ с одной и той же матрицей A коэффициентов методом Гаусса.
	0	1 ○¡1										1					0	0 ○¡2				1			0						1
									2 3					2c1	¡c2						4 5					1 0			0	2
									2 3					2c1	¡c2						4 5					1 0			0	2
																														5
	@											A					@					A			B					1	C
	@	○2 0							0 1			A		»			@	○2 0			0 1	A		»	B	0 1			¡2 ¡2		C	)
		○2 0							0 1					»				○2 0			0 1			»	B	0 1			¡2 ¡2		C	)
																									@						A
																					B		¡2		1	C
																					B		¡2		¡2	C
																					B			0	2	C
	уравнение имеет единственное решение X = 0																							0	2	1
																				@					5	A
																									5
14.	0	1	2	1		¢	X = 0						2	3	1
	@	2	4	A		¢					@		4	6	A
	0	○1 2				2 3					1 c2¡2c1				0 ○1 2				2 3	1
	0	○1 2				2 3					1 c2¡2c1				0 ○1 2				2 3	1
	@	2 4				4 6					A		»		@		0 0		0 0	A

В данном случае фактически решались две СЛУ, каждая из них имеет бесконечное множество решений. Выпишем общие решения этих СЛУ:

8 x1 = 2 ¡ 2x2		8 y1 = 3 ¡ 2y2
:	¡ свободное неизвестное	:	¡ свободное неизвестное
< x2		< y2

	Найденные общие решения фактически являются столбцами искомой мат-
	рицы X:
	X =		0		2 ¡ 2x1 3 ¡ 2y2 1
			@			x2									y2				A
	Вывод: матричное уравнение имеет бесконечное множество решений, зави-
	сящее от двух параметров x2, y2.
15.	0	4			6		1			¢	X =						0		2		2		1
	@	¡2 ¡3					A			¢							@		¡1 0				A
	0	4			6					2 2						1 c1+2c2						0		0		0		0 2		1
	0	4			6					2 2						1 c1+2c2						0		0		0		0 2		1
	@	○¡2 ¡3						¡1 0								A			»			@		¡2 ¡3			¡1 0			A
	Одно из уравнений решаемых СЛУ имеет вид: 0 ¢ y1 + 0 ¢ y2 = 2.
	Это уравнение не имеет решений, следовательно и матричное уравнение не
	имеет решений.													@								A
16. X		¢ @		2	0				A					@				¡2		1		A		– матричное уравнение 2 -го типа.
16. X		0		3	¡1				1				=	0					1	1		1		– матричное уравнение 2 -го типа.
	0X		¢	0	3		¡1					11T						= 0			1			1	1T	0		3		2	1	¢	XT		=		0	1	¡2	1 - это
	@		¢	@	2 0							AA @								¡2 1					A , @			¡1 0			A	¢					@	1 1		A
	уравнение 1 -го типа.																													0									1
	0									¡				1							0							1						¡				1
	0									¡				1							0							1						¡				1
		3 2				1							2 c1+3c2											0 2		4 1			» B		1 0					1 ¡1			C
	@	○¡1 0				1 1								A					»		@		¡1 0			1 1		A	» B		0 1			2				2	C
	@													A							@							A		@									A
	Матричное уравнение имеет единственное решение
	Матричное уравнение имеет единственное решение
	X =		0		¡					1			1		T			=	0				1		1
			B		1				¡1				C						B	¡1			2		C
			B		2					2			C						B	¡1			2		C
			@										A						@						A

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.201950.69 Кб1Razyasnenia_po_kassovoy_distsipline.doc
#
20.11.2019320 Кб1recomendation_fin_150606.rtf
#
18.09.20191.65 Mб6ref-18447.rtf
#
13.02.2015196.1 Кб3ref-24254.doc
#
13.02.2015105.98 Кб19Rekomendatsii_dlya_pedagogov.doc
#
12.03.2016536.61 Кб72Reshebnik211108_-_kopia_2.pdf
#
15.11.2019293.89 Кб1rider_filology.doc
#
13.02.2015215.19 Кб4Rider_k_11_lektsii_Rozanova.pdf
#
16.11.201951.95 Кб19rider_po_kriminologii.docx
#
14.09.2019263.74 Кб5Rimskoe_chastnoe_pravo.docx
#
25.09.2019552.45 Кб6Ritorika.doc