Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 31. Четырехугольники

q Разобьем заданный четырехугольник на треугольники BAD è BCD. Имеем SDBAD = 6 (половина произведения катетов). По теореме Пифагора из

D BAD найдем BD = 5. Теперь в D BCD известны три стороны. По формуле Герона находим SDBCD =

= 6 × 1× 4 × 1 = 2 6. Èòàê, SABCD = 6 + 2 6. n

7.Если около четырехугольника можно описать окружность, то его площадь S выражается формулой

ãäå a, b, c, d — стороны четырехугольника, p =

=0,5 (a + b + c + d) — полупериметр.

8.Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности:

427

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

Ïр и м е р 7. Основания трапеции равны 4

è16 см. Известно, что существуют окружности, вписанная в эту трапецию и описанная около нее. Используя формулы (14) и (15), найти площадь трапеции.

q Так как около трапеции ABCD (рис. 205) можно описать окружность, то трапеция должна быть равнобочной, т. е. ÀÂ = ÑD. Далее, так как в трапецию ÀBCD можно вписать окружность, то сумма оснований трапеции должна быть равна сумме ее бо-

ковых сторон, т. е. AD + BC = AB + CD = 2AB, откуда следует, что AB = 0,5 (AD + BC) = 10. Проведем BK^AD è èç D AKB, ãäå ÀÂ = 10, AK = 0,5 (16 - 4) =

= 6, найдем BK = 102 - 62 = 8. Значит, r =

= 0,5BK = 4.

По формуле (14): S = (p - a) (p - b) (p - c) (p - d), ãäå ð = 20, ð – à = 16, ð – b = 4, ð – ñ = 10, ð – d = 10.

Тогда S = 16 × 4 × 10 × 10 = 80.

По формуле (15): S = pr = 20 × 4 = 80. n

§32. Окружность

282.Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая. Окружностью называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки Î, называемой центром окружности (рис. 206). Расстояние от точки окружности до ее центра называется радиусом окружности (отрезок ÎÀ íà ðèñ. 206).

428

ГЕОМЕТРИЯ

§ 32. Окружность

Окружность делит плоскость на две части: внутреннюю по отношению к окружности и внешнюю. Внутренняя часть, включая и контур, ее ограничивающий, т. е. окружность, называется кругом. Все точ- ки круга удалены от центра на расстояние, не большее, чем радиус окружности. Внешняя часть состоит из точек, удаленных от центра на расстояние, превышающее радиус.

Прямая, лежащая в той же плоскости, что и окружность, может не иметь с окружностью общих то- чек, может пересекать окружность в двух точках (такая прямая называется секущей; MN на рис. 206) и может иметь с окружностью одну общую точку (такая прямая называется касательной; KL íà ðèñ. 206).

Ò.9.25. Прямая, проходящая через точку окружности, тогда и только тогда является касательной к этой окружности, когда она перпендикулярна радиусу, проведенному в данную точку.

283. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент. Отрезок секущей, заключенный внутри окружности, на-

429

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

зывается хордой (отрезок ÀÂ на рис. 207). Перпендикуляр, опущенный на хорду из центра окружности, делит эту хорду пополам.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (отрезок CD на рис. 207). Все диаметры равны между собой и равны удвоенному радиусу.

Хорда разбивает круг на две части, называемые сегментами (на рис. 208 — это сегменты I è II).

Если хорда совпадает с диаметром, то эти сегменты превращаются в полукруги.

Часть круга, ограниченная двумя его радиусами ÎÀ è ÎÂ и дугой окружности, соединяющей концы этих радиусов, называется сектором (на рис. 209 — это секторы I è II).

Справедливы следующие утверждения: 10. Равные хорды стягивают равные дуги.

20. Равные дуги стягиваются равными хордами.

30. Хорды, одинаково удаленные от центра, равны.

40. Равные хорды одинаково удалены от центра.

50. Всякий диаметр является осью симметрии окружности и делит ее на две равные полуокружности.

430

ГЕОМЕТРИЯ

§ 32. Окружность

284. Уравнение окружности. Уравнение окружности с центром Ñ (a;b) и радиусом R в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (1) примет вид

П р и м е р. Составить уравнение окружности:

а) с центром в начале координат и радиусом 7; б) с центром Ñ (2;–6) и радиусом 9; в) с центром Ñ (–3;4), причем окружность прохо-

дит через начало координат.

q а) Используя формулу (2), получим x2 + y2 = 7.

б) Согласно формуле (1), имеем (x - 2)2 + (y +

+ 6)2 = 81.

в) Воспользуемся формулой (1) и запишем

(x + 3)2 + (y - 4)2 = R2 — это уравнение окружности с данным центром и неизвестным пока радиусом R.

Так как окружность проходит через начало координат, то значения õ = 0, ó = 0 удовлетворяют ее уравнению; подставив эти значения в полученное урав-

нение, имеем 32 + (–4)2 = R2, ò. å. R2 = 25. Èòàê,

(x + 3)2 + (y - 4)2 = 25 — искомое уравнение.n

285. Взаимное расположение двух окружностей.

Рассмотрим возможные случаи расположения двух окружностей.

431

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

a) ã)

á) ä)

â) å)

Ðèñ. 210

1.Пусть центры окружностей совпадают (такие окружности называются концентрическими). Если их радиусы не равны, то одна окружность лежит внутри другой (рис. 210, à). Если же радиусы равны, то окружности совпадают.

2.Пусть центры окружностей не совпадают. Прямая, проходящая через центры окружностей, назы-

432

ГЕОМЕТРИЯ

§ 33. Углы и отрезки в круге

вается линией центров. Взаимное расположение окружностей зависит от соотношения между длиной

d отрезка, соединяющего центры, и величинами радиусов окружностей R è r (R > r) :

d < R - r — одна из окружностей лежит внутри другой (рис. 210, á);

d = R - r — окружности касаются внутренним образом (рис. 210, â);

R - r < d < R + r — окружности пересекаются в двух точках, симметричных относительно линии центров (рис. 210, ã);

d = R + r — окружности касаются внешним образом (рис. 210, ä);

d > R + r — окружности не имеют общих точек, каждая окружность целиком лежит вне другой (рис. 210, å).

Если радиусы окружностей равны, то возможны только три последних случая: пересечение, внешнее касание, внешнее расположение.

§ 33. Углы и пропорциональные отрезки в круге

286. Углы с вершиной на окружности. Угол, составленный двумя хордами, исходящими из одной точки окружности, называется вписанным (ðèñ. 211).

Ò.9.26. Угол, вписанный в окружность, измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Например, если дуга, на которую опирается вписанный угол, равна 60°, то этот угол равен 30° (рис. 212).

433

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, поскольку дуга, стягиваемая диаметром, равна 180° (рис. 213).

Ранее (см. п. 256) мы установили, что геометри- ческое место точек, из которых данный отрезок ÀÂ виден под данным углом a , — это дуга, в которую вписан угол a (и дуга, симметричная с ней относительно ÀÂ). Отрезок ÀÂ является хордой, стягивающей эту дугу (см. рис. 132, á).

П р и м е р 1. Хорда делит окружность на две дуги, одна из которых составляет 125% другой. Найти величины вписанных углов, опирающихся на эту хорду.

q Пусть меньшая дуга содержит õ°, тогда боль-

434

ГЕОМЕТРИЯ

§ 33. Углы и отрезки в круге

С другой стороны, сумма этих дуг равна 360°, поэтому

меньшая из них равна 4 Ч 360° = 160°, а большаяX

9

равна 200°. Отсюда,используя теорему 9.26, находим искомые величины вписанных углов: 80° и 100°. n

Ò.9.27. Угол между касательной к окружности в некоторой ее точке и хордой, проходящей через ту же точку, измеряется половиной дуги окружности, лежащей внутри этого угла.

Òàê, óãîë ÂÌÀ (рис. 214) измеряется половиной дуги AnM.

П р и м е р 2. Через точку, лежащую на окружности, проведены хорда и касательная. Найти острый угол между ними, если центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен 140° (рис. 215).

435

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

q Согласно теореме 9.27, острый угол ÂÌÀ между касательной ÂÌ и хордой ÀÌ измеряется поло-

виной дуги AnM. Но центральный угол ÀÎÌ измеряется дугой AnM, поэтому искомый угол ÂÌÀ вдвое меньше угла ÀÎÌ, т. е. он равен 70°. n

287. Углы с вершиной внутри и вне круга. Рассмотрим угол, который образован двумя хордами, пересекающимися внутри круга (на рис. 216 это угол

ÀÌÂ).

Ò.9.28. Угол, образованный двумя хордами, пересекающимися внутри круга, измеряется полусуммой дуг, лежащих внутри данного угла и угла с ним вертикального.

Òàê, óãîë ÀÌÂ измеряется полусуммой дуг ÀÂ è A¢B¢ (ðèñ. 216).

П р и м е р 1. Диаметр FE и хорда HG пересекаются в точке K, причем дуга FH содержит 120°, а дуга GE — 98°. Найти угол FKG (ðèñ. 217).

436