Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 31. Четырехугольники

гольника. Радиус R описанной около этого треугольника окружности найдем с помощью теоремы сину-

=a 2, т. е. этот радиус равен диагонали квадрата.n

280.Трапеция. Трапецией называется четырехугольник, имеющий только одну пару параллельных сторон (рис. 191). При этом параллельные стороны называются ее основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. Одно из оснований трапеции называется бˆˆольшимX , а другое — меньшим. Из свойств параллельных прямых (см. п. 259) следует, что сумма углов, прилежащих к каждой из боковых сторон трапеции, равна 180°. Отрезок прямой, перпендикулярный основаниям и заключенный между ними, называется высотой трапеции (отрезок EF на рис. 191). Трапеция, одна из сторон которой перпендикулярна основаниям, называется

417

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

прямоугольной (рис. 192). Трапеция, у которой равны боковые стороны, называется равнобочной (иногда ее называют также равнобокой èëè равнобедренной). На рис. 193 изображена равнобочная трапеция ÀÂÑD.

Отметим некоторые свойства равнобочной трапеции:

10. Углы, прилежащие к каждому из оснований трапеции, равны.

20. Диагонали равнобочной трапеции равны.

30. Если продолжить боковые стороны равнобоч- ной трапеции до их пересечения, то вместе с большим основанием они образуют равнобедренный тре` - угольник.

Каждое из перечисленных свойств выделяет равнобочную трапецию из всех других трапеций.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон произвольной трапеции, называется средней линией трапеции (отрезок MN íà ðèñ. 191).

Справедлива следующая теорема:

Ò.9.24. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.

418

ГЕОМЕТРИЯ

§ 31. Четырехугольники

П р и м е р 1. Длина большего основания трапеции равна 24. Найти длину ее меньшего основания, если расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 4.

средние линии в DABC è DDBC ). Значит, KL = KE + +EF + FL = x + 4. С другой стороны, KL — средняя линия трапеции ÀÂÑD, ò. å. KL = 0,5 (x + 24). Решив уравнение õ + 4 = 0,5(õ + 24), найдем

õ= 16.n

Ïр и м е р 2. Меньшее основание равнобочной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне (рис. 195). Найти углы трапеции.

q По условию, в трапеции ÀÂÑD имеем

AB = CD = BC, AC^CD. Пусть РBCA = x; тогда

419

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

à ÐCDA = 180° - (x + 90°) = 90° - x (поскольку сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, рав-

на 180° ). Отсюда следует, что ÐCAD = 90° - -ÐCDA = x, и, значит, ÐBAD = ÐBAC + ÐCAD = 2x.

Используя равенство углов BAD è CDA, прилежащих к основанию AD равнобочной трапеции, имеем 2x = 90° - x, откуда õ = 30°. Итак, углы трапеции равны 60° и 120°. n

281. Площади четырехугольников. Приведем важнейшие формулы для вычисления площадей че- тырехугольников.

1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны или половине квадрата его диагонали (ðèñ. 196):

2. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон или половине произведения квадрата его диагонали на синус угла между диагоналями

(ðèñ. 197):

420

ГЕОМЕТРИЯ

§ 31. Четырехугольники

П р и м е р 1. Пусть диагональ прямоугольника равна 5, а синус угла между диагоналями равен 0,96. Тогда S = 0,5 × 25 × 0,96 = 12.

3. Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведенную к ней, либо произведению квадрата его стороны на синус угла между смежными сторонами (ðèñ. 198, à), либо половине произведения его диагоналей (ðèñ. 198, á):

4. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, либо произведению его смежных сторон на синус угла между ними

421

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

Ðèñ. 198

Ðèñ. 199

(ðèñ. 199, à), либо половине произведения его диагоналей на синус угла между ними (ðèñ. 199, á):

422

ГЕОМЕТРИЯ

§ 31. Четырехугольники

Заметим, что площаль треугольника с таким же основанием à и такой же высотой hà, как у параллелограмма, равна половине площади этого параллелограмма, например SDABD = 0,5SABCD (ñì. ðèñ. 199, à).

Отметим еще, что площадь параллелограмма, построенного на векторах a è b , равна модулю векторного произведения векторов a è b (ñì. ï. 301).

Ïр и м е р 2. Найти площадь ромба со стороной

à= 6 и углом в 30° между его смежными сторонами (рис. 200), используя формулы (5), (6) и (7).

q По формуле (6): S = a2 sin a = 36 Ч sin 30° = 18. По формуле (5): S = aha = AD × BK, ãäå BK =

= 0,5AB = 3 (òàê êàê ÐBAD = 30° ). Значит, S = = 6 × 3 = 18.

По формуле (7): S = 0,5d1d2 = 0,5AC × BD, ãäå BD

найдем по теореме косинусов из DBAD, à ÀÑ — по той же теореме из DABC. Имеем BD2 = 36 + 36 - 2 ´

´ 36 cos 30° = 72(1 - cos 30°) = 36(2 - 3), AC2 = 36 + + 36 - 2 × 36 cos150° = 72(1 + cos 30°) = 36(2 + 3).

Поэтому S = 0,5 × 6 × 6 (2 - 3) (2 + 3) = 18. n

П р и м е р 3. Найти площадь параллелограмма, диагонали которого равны 5 и 3, а синус угла между ними равен 0,8 (рис. 201), используя формулы (8), (9) и (10).

q По формуле (10):

S = 0,5d1d2 sin j = 0,5 × 5 × 3 ´· 0,8 = 6.

423

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

По формуле (9): S = ab sin a, ãäå a = AD, b = CD

424

ГЕОМЕТРИЯ

§ 31. Четырехугольники

По формуле (8): S = aha, где сторона a = AD =

= 13 была найдена ранее, а высоту ha = BH íàé-

5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту или произведению ее средней линии на высоту:

П р и м е р 4. Найти площадь прямоугольной трапеции, если ее острый угол равен 60°, меньшее основание равно 6, а большая боковая сторона равна 8.

q В трапеции ABCD проведем BH^AD (рис. 202). Тогда РABH = 30° è AH = 0,5AB = 4,

BH = 0,5 3AB = 4 3, AD = AH + HD = 10. Значит,

S= 0,5 (10 + 6) × 4 3 = 32 3. n

6.Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

П р и м е р 5. В равнобочной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, а средняя линия равна 5

425

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

(рис. 203). Найти площадь трапеции, используя формулу (12) или общую формулу (13).

q По формуле (12): S = lh, ãäå h = EF = EM + +MF = BE + AF = 0,5 (a + b) = l (a = BC è b = AD —

основания трапеции). Значит, S = l2 = 25.

По формуле (13): S = 0,5d2 (так как j = 90° ). Проведем CH^AD; ранее мы установили, что CH = = 0,5(a + b) = 5. Â D AMD имеем РMAD = 45°. Тогда из D CHA следует, что AH = CH = 5. Поэтому

d2 = AC2 = 2CH2 = 50, откуда S = 25. n

Заметим, что площадь произвольного четырехугольника можно найти, разбив его на треугольники.

П р и м е р 6. Найти площадь четырехугольника ABCD, в котором Р BAD = 90°, AB = 3, BC = 2, CD = = 5, AD = 4 (ðèñ. 204).

426