Статрадиофизика%202015
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ЖУКОВ В.В.
«СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОФИЗИКА» УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Ростов-на-Дону
2015
УДК 537.86
ББК 32
Ж86
Печатается в соответствии с решением кафедры квантовой радиофизики физического факультета ЮФУ, протокол № 18 от 7 апреля 2015 г.
Учебно-методическое пособие разработано кандидатом физикоматематических наук, доцентом кафедры квантовой радиофизики физического факультета В.В. Жуковым
Ж86 СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОФИЗИКА: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону, 2015. – 52 с.
Ответственный редактор доктор физ.-мат. наук Е.Л. Латуш
Компьютерный набор и верстка кандидат физ.-мат. наук В.В. Жуков
УДК 537.86
ББК 32
© Южный федеральный университет, 2015
Настоящее учебно – методическое пособие создано с целью оказания помощи студентам в освоении теоретического материала лекционного курса
«Статистическая радиофизика», для проведения практических занятий и самостоятельной работы по решению задач. Пособие охватывает материалы 7
модулей: «Элементы теории случайных процессов», «Спектрально-
корреляционный анализ случайных процессов», «Случайные процессы в линейных системах», «Электрические шумы и флуктуации», «Нелинейные преобразования случайных процессов», «Обнаружение и измерение параметров сигналов в шумах», «Теория информации» и структурировано в соответствии с тематическим планом практических занятий.
Каждый раздел пособия содержит основные обозначения и расчетные формулы, необходимые для решения задач. Задачи снабжены ответами и необходимыми справочными данными.
Настоящее пособие является переработанной и дополненной версией
«Методических указаний к лекционным и практическим занятиям по статистической радиофизике» и «Методических указаний к лекционным и практическим занятиям по теории информации», разработанных ранее в соавторстве с кандидатом физико-математических наук Папакиным В.Ф.
Пособие рекомендуется в качестве методического руководства для студентов, обучающихся по направлению подготовки (специальности): 011800 «Радиофизика».
3
1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
1.1 Основные обозначения и расчетные формулы
Наиболее общей характеристикой, пригодной как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является интегральная функция распределения вероятностей. В одномерном случае интегральная функция распределения
( )
( ) = ( ≤ ) |
(1.1) |
определяет вероятность ( ≤ ) того, что случайная величина примет значение
меньше (или равное) некоторого числа . |
|
||||
Свойства интегральной функции распределения: |
|
||||
1. |
(−∞) = 0; |
(1.2) |
|||
2. |
(∞) = 1; |
(1.3) |
|||
3. |
( ) – неубывающая функция; |
(1.4) |
|||
4. |
( < ≤ ) = ( ) − ( ). |
(1.5) |
|||
Плотность вероятности ( ) одномерной случайной величины |
|||||
определяется как производная интегральной функции распределения: |
|
||||
|
|
( ) = |
( ) |
. |
(1.6) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Свойства плотности вероятности случайной величины: |
|
||||
1. |
( ) ≥ 0; |
(1.7) |
|||
|
|
|
|
||
2. |
( < ≤ ) = ∫ ( ) ; |
(1.8) |
|||
|
|
|
|
||
|
|
∞ |
|
||
3. |
∫ ( ) = 1. |
(1.9) |
|||
−∞
4
Связь между ( )и ( ) определяется как:
|
|
|
( ) = |
∫ ( ) . |
(1.10) |
−∞ |
|
|
В случае двухмерной случайной |
величины ( , ) интегральная |
функция |
распределения ( , ) определяет вероятность одновременного выполнения двух неравенств ≤ и η ≤ :
( , ) = ( ≤ , ≤ ). |
(1.11) |
В геометрической интерпретации ( , ) можно определить как вероятность попадания случайной точки внутрь бесконечного левого нижнего квадранта с вершиной ( , ).
Плотность вероятности ( , ) двухмерной случайной величины определяется формулой:
( , ) = |
² ( , ) |
. |
(1.12) |
|
Одномерные интегральные функции распределения и плотности вероятности выражаются через двухмерные с помощью следующих соотношений:
∞ |
|
|
|
( ) = |
( , ) , |
(1.13) |
|
−∞−∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
( ) = |
∫ ( , ) , |
(1.14) |
|
−∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
( ) = |
( , ) , |
(1.15) |
|
−∞−∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
( ) = |
∫ ( , ) . |
(1.16) |
|
−∞
5
Момент распределения k -го порядка ( ) одномерной случайной величины :
а) для непрерывной случайной величины
∞
( ) = |
∫ ᵏ ( ) |
(1.17) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
б) для дискретной случайной величины |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
= ∑ |
|
. |
(1.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
Среднее значение или математическое ожидание 1( ): |
|
||||||
а) для непрерывной случайной величины |
|
|
|
||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1( ) = |
∫ ( ) = |
(1.19) |
|||||
|
|
−∞ |
|
|
|
||
б) для дискретной случайной величины |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ∑ |
= . |
(1.20) |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
Центральный момент распределения 2-го порядка или дисперсия: |
|
||||||
а) для непрерывной случайной величины |
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ∫( − )² ( ) = 2 |
(1.21) |
||||||
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
б) для дискретной случайной величины |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = ∑( |
− )² . |
(1.22) |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
||
Связь между дисперсией, средним значением и моментом распределения |
|||||||
второго порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
2 |
− 2. |
|
(1.23) |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
Плотность вероятности нормальной случайной величины:
|
1 |
− |
( −а)2 |
|
|
||
( ) = |
22 |
, |
(1.24) |
||||
|
|
||||||
|
√2 |
|
|
|
|
||
где – среднее квадратичное (стандартное) отклонение случайной величины от её среднего значение.
Характеристическая функция Θ (v) определяется как математическое ожидание случайной величины :
а) для непрерывной случайной величины
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
( ) = |
∫ ( ) |
|
(1.25) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
б) для непрерывной случайной величины |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ∑ |
|
|
|
(1.26) |
|||||||||
|
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где - вещественная величина, i =√−1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Плотность вероятности определяется через характеристическую функцию: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||
|
( ) = |
|
|
|
∫ ( ) − . |
(1.27) |
|||||||||
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
Основные свойства характеристической функции: |
|
|
|||||||||||||
1. (0) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.28) |
|
2. (− ) = ( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.29) |
|
где ( ) – комплексно − сопряженная величина; |
|
|
|
||||||||||||
3. ( ) – непрерывная величина. |
|
|
|
|
(1.30) |
||||||||||
Момент |
распределения |
|
k–го |
|
порядка |
|
определяется |
через |
|||||||
характеристическую функцию следующим образом: |
|
|
|
||||||||||||
|
( ) = |
1 ( ) |
при = 0. |
(1.31) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||||
1.2 Задачи
1.2.1 Интегральная функция распределения случайной величины задана выражением
0 |
; |
≤ 1 |
( ) = { ( − 1)2 ; |
1 < ≤ 3 . |
|
1 |
; |
> 3 |
Найти коэффициент и построить |
график ( ). Определить вероятность |
|
того, что случайная величина в результате опыта примет значение на участке
(1, 2]. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||
Ответ: = |
|
; |
= |
|
. |
|
|
4 |
4 |
|
|
||||
1.2.2 Плотность вероятности распределения двумерных случайных величин |
|||||||
и задана выражением |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
( , ) = |
|
. |
||
|
|
|
1 + 2 + 2 2 + 2 |
||||
Найти а. Определить интегральную функцию распределения ( , ) и
вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами О (0,0),
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А (0,1), В (√ |
3, |
1), С (√ |
3, |
0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
; ( , ) = |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||||||
Ответ: а = |
|
( |
|
+ |
|
) ( |
|
+ |
|
) ; = |
|
. |
|||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
12 |
||||||||||||||||
1.2.3 Плотность вероятности случайной величины имеет вид |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
( ) = − | | ; |
|
|
|
−∞ < < ∞, |
|
|
||||||||||||
где и – постоянные величины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Найти соотношение, которому должны удовлетворять и . Вычислить |
|||||||||||||||||||||
интегральную функцию распределения случайной величины. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Ответ: = 2 ; ( ) = |
1 |
, < 0; |
( ) = 1 − |
1 |
− , ≥ 0. |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
1.2.4 Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью вероятности
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
0 ≤ ≤ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = { |
|
|
|
0, |
|
< 0, ≥ . |
|
|||||
Найти . Построить график плотности вероятности. Определить |
|||||||||||||||||||||
вероятность попадания случайной точки на участок от 0 до |
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: = |
|
|
|
|
, Р = 0,15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1.2.5 Случайная величина имеет плотность вероятности |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
< 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = { |
2 |
|
, |
≥ 0. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + )² |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти интегральную функцию распределения данной величины, а также |
|||||||||||||||||||||
вероятность попадания случайной точки внутрь интервала (0, 1]. |
|
||||||||||||||||||||
Ответ: ( ) = 1 − (1 + ) ² , |
Р = 0,75. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
1.2.6 Случайная величина задана плотностью вероятности |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = { |
, |
|
0 ≤ ≤ 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
< 0, ≥ 2 . |
|
||||||||
Найти величину коэффициента и определить математическое ожидание |
|||||||||||||||||||||
случайной величины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: = |
|
, |
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.2.7 Совместная плотность вероятности двумерной случайной величины |
|||||||||||||||||||||
( , ) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) = { |
4 −2 −2, |
> 0; > 0 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
≤ 0; ≤ 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Определить математическое ожидание величины ( , |
) и дисперсию |
||||||||||||||||||||
составляющих. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: = |
√ |
|
, |
2 = 1 − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.2.8 Случайная величина имеет распределение Лапласа, вероятность которого
9
|
( ) = |
|
−| | |
; > 0. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины. |
|||||||||||||
Ответ: = 0, |
2 = |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.9 Случайная величина распределена по показательному закону |
|||||||||||||
|
( ) |
= { |
− , |
≥ 0 |
. |
|
|
|
|||||
|
0, |
< 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти интегральную функцию распределения, математическое ожидание и |
|||||||||||||
дисперсию случайной величины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: ( ) = { |
1 − − , ≥ 0 ; |
= |
1 |
, |
|
2 = |
1 |
. |
|||||
|
|
2 |
|||||||||||
|
0 , |
|
< 0 |
|
|
|
|
|
|||||
1.2.10 Случайная величина Т – время работы радиолампы имеет показательное распределение.
Определить вероятность того, что время работы радиолампы будет больше
600 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.
Указание: воспользоваться результатами решения предыдущей задачи.
Ответ: Р = 0,2231.
1.2.11 На электронное реле воздействует случайное напряжение с
релеевской плотностью вероятности
|
|
− |
2 |
|
||
( ) = |
22 |
; |
> 0. |
|||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
Какова вероятность срабатывания схемы, если реле срабатывает каждый раз, когда напряжение на его входе превышает 2 В?
Ответ: = − 22.
1.2.12 Случайная величина задана плотностью вероятности
|
cos |
, |
− |
|
≤ ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( ) = { 2 |
2 |
2 |
. |
||||||
0, |
|
|
|
| | > |
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|||||
10