Статрадиофизика%202015

Найти дисперсию случайной величины.

Ответ: 2 = 2 − 8. 4

1.2.13 Случайная величина задана плотностью вероятности

Найти дисперсию случайной величины.

2 − 8 Ответ: ² = 16 .

1.2.14Найти плотность вероятности случайной величины,

характеристическая функция которой имеет вид

1( ) = 1 + 2 .

Ответ: 12 −| |.

1.2.15 Производится стрельба по подвижной мишени до первого попадания.

Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. На стрельбу отпущено 4

снаряда. Найти среднее число израсходованных снарядов, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Ответ: = 2,2; 2 = 1,38; = 1,17.

1.2.16Характеристическая функция ( ) случайной величины,

равномерно распределенной на отрезке ≤ ≤ , имеет вид

−

( ) = ( − ) .

Найти среднее значение случайной величины.

+ Ответ: = 2 .

11

2.СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. МОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ

2.1Основные обозначения и расчетные формулы

Случайный процесс – это непредсказуемое изменение физической системы во времени. Случайный процесс описывается случайной функцией ( ), которая в любой момент времени может принимать различные значения с заданным распределением вероятностей. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции

( )( ).

Одномерная интегральная функция распределения вероятностей случайного процесса ( , ) определяет вероятность того, что случайная функция ( ) в

фиксированный момент времени = , находится ниже уровня x :

Плотность вероятности или одномерная функция распределения случайного процесса определяется как частная производная интегральной функции распределения:

1{[ ( ) − 1( )][ ( ) − 1( )]} =

∞

Следует отметить, что получило распространение определение корреляционной и ковариационной функций противоположным образом, то есть функция, полученная согласно (2.10), называется ковариационной, а функция,

полученная согласно (2.11), - корреляционной. Мы будем следовать приведенным выше определениям.

Стационарным в узком смысле называется случайный процесс, функция распределения вероятностей которого ( 1, 2, … , , 1, 2, … , ) не меняется при одновременном сдвиге всех точек 1, 2, … , вдоль оси времени на любое ,

то есть

( 1, 2, … , , 1, 2, … , ) = ( 1, 2, … , , 1 + , 2 + , … , + ). (2.12)

Стационарным в широком смысле называется случайный процесс,

математическое ожидание и дисперсия которого не зависят от времени, а

корреляционная функция зависит лишь от разности = | − | между двумя рассматриваемыми моментами времени.

Свойства корреляционных функций стационарного случайного процесса:

Теорема Хинчина-Винера: энергетический спектр F( ) и корреляционная функция B( ) стационарного случайного процесса связаны друг с другом парой

преобразования Фурье:

14

2.2.1 Найти одномерную плотность вероятности для фиксированного момента времени, математическое ожидание и дисперсию случайного сигнала

( ) = cos( 0 + 0) = cos ( ),

частота 0 и начальная фаза 0 которого являются детерминированными и постоянными величинами, а амплитуда A – случайная величина, равновероятная в интервале от 0 до .

( ) для стационарного случайного процесса

15

( ) = sin( 0 + ),

где и 0 - постоянные амплитуда и угловая частота, – случайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале (- , ).

Определить соотношение между эффективной шириной спектра ∆

процесса ( ) и шириной спектральной плотности ∆ на уровне 0,5 (0).

Ответ: ∆∆ = 2.

2.2.5 Установить, является ли функция

( ) = ² −| | cos 0

корреляционной функцией случайного процесса ( ).

2.2.6 Определить корреляционную функцию и спектральную плотность случайного стационарного процесса

( ) = cos( + ),

где A, , – независимые случайные амплитуда, частота и начальная фаза.

Случайные величины A и заданы одномерными плотностями распределения

16

вероятностей ( ) и ( ), а начальная фаза – равномерно распределена на интервале (-, ), то есть

1( ) = 2 ; − ≤ ≤ .

1

∞

Ответ: ( ) = 2 [ ²] ∫ ( ) cos ;

−∞

( ) = 2 [ ²] ( ).

2.2.7 Найти корреляционную функцию стационарного случайного процесса

( ) со спектральной плотностью

2.2.8 Доказать, что не существует стационарного случайного процесса ( ),

корреляционная функция которого постоянна на каком-то временном интервале (-, ) и равна нулю вне его:

2.2.9 Стационарный гауссовский шум ( ) имеет равномерную спектральную плотность в полосе шириной F:

статистически независимы.

2.2.10 Определить эффективную ширину ∆ спектра ( ) стационарного случайного процесса ( ) с корреляционной функцией:

( ) = ² − | |.

Ответ: ∆ = .

2.2.11Найти спектральную плотность случайной функции ( ),

корреляционная функция которой на интервале от 0 до 0 является линейной функцией и имеет вид:

2.2.12Найти спектральную плотность случайной функции ( ),

корреляционная функция которой является показательной функцией и имеет вид:

18

19

3.ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ШУМЫ И ФЛУКТУАЦИИ

3.1Основные обозначения и расчетные формулы

Различные формы теоремы Найквиста:

а) Шум в цепи, поддерживаемой при определенной температуре T, может быть описан шумовой Э.Д.С. √ 2 , включенной последовательно с сопротивлением цепи R, и такой, что интенсивность 2 в малом частотном интервале df равна:

б) Шум в цепи, поддерживаемой при определенной температуре T, может

быть описан генератором тока √ 2 , обладающим бесконечно большим внутренним сопротивлением и подключенным параллельно сопротивлению R:

1

где =

в) Для величины номинальной мощности в частотном интервале df:

где = 6,62 ∙ 10−34 Дж ∙ с – постоянная Планка.

При невысоких температурах (порядка комнатных) даже на высоких частотах (миллиметровые волны) ( ) ≈ 1.

20