Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
111
Добавлен:
11.03.2016
Размер:
523.78 Кб
Скачать

§5. Графическое решение задач вида () и ().

Пример 5.1. Найти оптимальное решение игры (), заданной в виде следующей платежной матрицы:

Все расчеты удобно проводить в таблице :

Таблица 5.1

Аi \ Bj

В1

Вг

В3

В4

α i

А1

2

2

3

-1

-1

A2

4

3

2

6

2

β j

4

3

3

6

α =2\ β = 3


На оси абсцисс откладываем отрезок единичной длины (рис.5.1), из концов которых откладываем выигрыши игрока А, соответствующие различным сочетаниям стратегии игроков А и В.

Максимальной оптимальной стратегии игрока А соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых В4В4, В2В2 и В3В3, для которых можно записать следующую систему уравнений:

Рис.5.1

Уравнение прямой В4В4 ,проходящей через точки (0; -1) и (1;6):

Уравнение прямой В3В3 ,проходящей через точки (0; 3) и (1;2):

Уравнение прямой В2В2 ,проходящей через точки (0; 2) и (1;3):

Точка пересечения прямых В2В2 и В4В4 является решением системы:

или х = 1/2, у = 5/2 , т.е. N (1/2 ;5/2).

Таким образом, p*1 =1/2 ,p*2 =1 - 1/2 = 1/2. Оптимальная стратегия S*A=(1/2 ;1/2), цена игры ν = 5/2.

Пересечение нескольких прямых говорит о наличии альтернативного плана.

Пример 5.2. Найти оптимальное решение игры (), заданной в виде следующей платежной матрицы:

Таблица 5.1

Аi \ Bj

В1

Вг

α i

А1

2

4

2

A2

2

3

2

А3

3

2

2

A4

-2

6

-2

β j

3

6

α =2\ β = 3


Рассмотрим решение с позиции минимаксной стратегии игрока В. На оси абсцисс (рис.5.2) строим отрезок единичной длины, точки которой соответствуют различным стратегиям игрока В. На осях ординат откладываем проигрыши игрока В, соответствующие каждой стратегии игрока А.

Граничная ломаная выделяется сверху, что соответствует минимаксной стратегии игрока В. Точка N на ломаной А1, А4 и А3 соответствует минимаксному проигрышу игрока В при осторожной тактике и определяется на пересечении отрезков А1А1, А3А3 и А4А4.

Уравнение прямой А1А1 ,проходящей через точки (0; 2) и (1;4):

Уравнение прямой А3А3 ,проходящей через точки (0; 3) и (1;2):

Рис.5.2

Граничная ломаная выделяется сверху, что соответствует минимаксной стратегии игрока В. Точка N на ломаной А1, А4 и А3 соответствует минимаксному проигрышу игрока В при осторожной тактике и определяется на пересечении отрезков А1А1, А3А3 и А4А4.

Уравнение прямой А4А4 ,проходящей через точки (0; -2) и (1;6):

Найдем точку пересечения прямой А1А1 и А3А3:

или х = 1/3, у = 8/3 , т.е. N (1/3 ;8/3).

Найдем точку пересечения прямой А1А1 и А3А3:

или х = 2/3, у = 10/3 , т.е. N (2/3 ;10/3).

Таким образом, оптимальное решение

,,

цена игры ν = 8/3 (наименьшее из 8/3 и 10/3 ).

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.