лекция 1 модели

Объем производства	Размер прибыли в зависимости от колебания спроса
	П1	П2	П3	П4
Р1= 980000	49300	197200	197200	197200	49300		197200
Р2= 1500000	-60	148900	297800	297800	-60		297800
Р2= 1980000	-1140	98400	196800	393600	-1140		393600

При построении платежной матрицы первостепенную важность имеют пропорции исходных и результативных показателей, по­скольку вызванные инфляционными пропорциями изменения цен, оказывая влияние на абсолютные величины, не изменяют их про­порциональных соотношений. Это позволяет использовать данную методику в условиях инфляции без дополнительных расчетов. Контролируемыми параметрами являются объем производства и им соответствуют три стратегии Р1, Р2, Р3. Неопределенность Пj связана с колебаниями спроса на продукцию предприятия и ей отвечают четыре стратегии: П1 — низкая зависимость от из­менений рыночной конъюнктуры, П2 — средняя зависимость, П3 — зависимость от изменения конъюнктуры высокая, П4 — за­висимость от изменений конъюнктуры абсолютная. Критерий пессимизма равный Еn = min{49300;- 60;-1140}= -1140. отвечает стратегии Р3, которой соответствует выбор объема производства продукции в сумме 1 980 000 у.е. Для анализа матрицы затрат критерий пессимизма запишет­ся как . Пример. Располагая матрицей приведенных годовых затрат, представленной в виде табл. 2.3, необходимо выбрать эффектив­ную стратегию с помощью принципа пессимизма. В рассматриваемой стратегии 3_n =max{130,200,200,150}=200. Затраты Зn = 200 могут быть обеспечены при использовании второй и третьей стратегий. Критерий Сэвиджа . Пример. Матрица полезного результата имеет вид, представ­ленный в табл. 4. Найдем значения β1 = max {49 300, - 60, - 1140} = 49 300, β2 = max {197 200, 148 900, 98 400} = 197 200, β3 = max {197 200, 297 800, 196 800} = 297 800, β4 = max {197 200, 297 800, 393 600} = 393 600, а затем по формуле ( ) строим матрицу рисков (табл. 5). Таблица 5 Анализ коммерческого риска при неопределенной конъюнктуре

	П1	П2	П3	П4
Р1= 980 000	0	0	100600	196400	196400
P2=1500000	49360	48300	0	95800	95800
Р3=1980000	50440	98800	101 000	0	101000

В данном случае E_rc = min{196400, 95800, 101000} = 95800. Следовательно, выбирается стратегия Р2, при которой величина риска, равная 95800 у.е., принимает минимальное значение в са­мой неблагоприятной ситуации. Сущность этого критерия в стремлении избежать большого риска при выборе решения. В соответствии с этим критерием (см. табл. 2.4) следует производить продукцию в объеме Р₂ = 1500000 у.е. Критерий Гурвица Пример. Анализируется матрица полезного результата, име­ющая вид табл. 2.4. При значении коэффициента оптимизма k - 0,6 найдем оптимальную стратегию Рi. Вычисляем для каждой стратегии линейную комбинацию: E1 = 0,6 • 49300 + (1-0,6) • 197 200=108 460, E2 = 0,6 • (- 60) + (1 - 0,6) • 297800 = 119 084, E3 = 0,6 • (- 1140) + (1 - 0,6) • 393 600 = 147 756. Выбираем наибольшее из этих значений: Eiг = mах{108460; 119084; 147756}. В соответствии с критерием Гурвица средний размер прибыли будет равен 147756 у.е. при выборе объема производства Р3 = 1980000 у.е. Применительно к матрице рисков R критерий Гурвица имеет вид: (2.3.9). где k — коэффициент, рассматриваемый как показатель оптимизма (О < k < 1). (2.3.9) Пример. Рассматривается матрица коммерческого риска, при­веденная в табл. 2.5. Необходимо определить оптимальную стра­тегию с помощью критерия Гурвица (2.3.9). Вычисляем при коэффициенте оптимизма k = 0,6 линейные комбинации: Er1 = 0,6 • 196400 + (1 - 0,6) • 0 = 117840, Er2 = 0,6 • 95800 + (1 - 0,6) • 0 = 57480, Er3 = 0,6 • 101000 + (1 - 0,6) • 0 = 60600. Находим Eri = min{117840; 57480; 60600} = 57480, что отвечает выбору объема производства P2 = 1500000 у.е. Оптимальность по Парето Пример. В пункте (2.3.3) были рассмотрены матрица платежеспособ­ного спроса Е (табл.2.4) и ее матрица рисков R (табл.2.5) , . Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероят­ности того, что реальная ситуация развивается по варианту i. Именно такое положение называется частичной неопределеннос­тью. Тогда решение можно принимать, в частности, по правилу максимизации среднего ожидаемого дохода. Прибыль, получаемая компанией при реализации i-го решения, является случайной величиной с рядом распреде­ления:

			...
			...

Математическое ожидание и есть средняя ожидаемая прибыль, обозначаемая также . Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальную среднюю ожидае­мую прибыль. Предположим, что в рассматриваемом примере вероятности равны: Тогда Максимальная средняя ожидаемая прибыль равна и соответствует стратегии компании . Далее рассмотрим выбор решения по правилу минимизации среднего ожидаемого риска. Риск компании при реализации i-го решения является случайной величиной с рядом распреде­ления:

			...
			...

Математическое ожидание и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также . Правило рекомендует принять ре­шение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск. Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше ве­роятностях для матрицы рисков R. Получаем: Минимальный средний ожидаемый риск равен и соответствует стратегии компании . Каждое реше­ние отметим как точку на плоскости (Рис.), получим три точки. Чем выше точка , тем более доходная операция, чем точка правее, тем более она рисковая. Значит, нужно выби­рать точку выше и левее. В рассматриваемом примере множество Парето состоит только из одной второй операции. Для нахождения лучшей операции иногда применяют подхо­дящую взвешивающую формулу, которая для операции Е с харак­теристиками дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула име­ет вид: . Тогда имеем: Отсюда видно, что стратегия – лучшая. Взвешивающая формула выражает отношение лица, прини­мающего решение к доходу и риску. Если ЛПР применяет только что рассмотренную формулу, то он согласен на увеличение риска операции на две единицы, если доход операции при этом увели­чивается не менее, чем на одну единицу. Следует отметить, что эта формула может передать отношение ЛПР к доходу и риску лишь приблизительно. /* Отличие частичной (вероятностной) неопределенности от пол­ной неопределенности очень существенно. Как указывалось выше, принятие решений, исходя из критериев оптимальности, нельзя считать окончательным, самым лучшим. Это лишь некоторые предварительные соображения. Далее пытаются получить допол­нительную информацию о возможностях того или иного вариан­та решения, о его вероятности, что уже предполагает повторяе­мость рассматриваемой схемы принятия решений: то ли это было в прошлом, то ли это будет в будущем. Итак, в рассмотренном примере была получена оптимизаци­онная двухкритериальная задача по выбору наилучшего решения, так как каждое решение имеет две характеристики — среднюю ожидаемую прибыль и средний ожидаемый риск. Существует несколько способов постановки таких оптимиза­ционных задач. Рассмотрим один из них в общем виде. Пусть О — некоторое множество операций. Каждая операция «о» имеет две числовые характеристики Е (о) и R (о) (например, эффективность и риск) и разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции, желательно, чтобы Е было больше, a R меньше. Будем говорить, что операция а доминирует операцию в, и обозначать а>в, если Е(а) Е(в) и R(a) R(в) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция а называется доми­нирующей, а операция в — доминируемой. Ясно, что ни при ка­ком разумном выборе наилучшей операции доминируемая опе­рация не может быть признана таковой. Следовательно, наилуч­шую операцию надо искать среди недоминируемых операций Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето. На множестве Парето каждая из характеристик Е, R — одно­значная функция другой, т.е. по характеристике Е можно опреде­лить характеристику R и наоборот. Применительно к матричным играм распределение называет­ся Парето — оптимальным, если положение ни одного из игроков нельзя улучшить, не ухудшая при этом положение его партнера.