atapin
.pdf
|
|
I |
|
2a |
|
|
A1 |
|
|
|
|
a |
1 |
F1 |
1 |
|
|
||
a |
|
F2 |
|
a |
|
A2 |
|
|
|
V |
|
a |
F2 |
|
A1 |
|
|
||
2a |
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
1 |
F1 |
1 |
2a |
|
|
|
|
|
IX |
|
|
|
|
A2 |
3a |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
a |
|
F1 |
A1 |
|
|
|
|
|
Fa |
3EA |
|
|
II |
|
|
a |
|
|
F1 |
|
a |
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
a |
1 |
|
F2 |
1 |
|
|
|
||
2a |
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
VI |
|
|
|
|
|
|
A2 |
2a |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2a |
|
|
F1 |
|
|
|
A1 |
||
|
|
|
||
|
Fa |
2EA |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
A2 |
2a |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
a |
|
|
|
A1 |
a |
|
|
F2 |
|
|
Fa |
5EA |
|
|
III |
|
a |
|
|
A1 |
a |
|
F1 |
A2 |
|
|
||
a |
1 |
|
1 |
|
|
||
a |
|
|
F2 |
a |
|
|
A1 |
|
|
VII |
|
a |
|
|
A2 |
|
|
|
|
a |
1 |
F1 |
1 |
|
|
||
2a |
|
|
A1 |
|
|
|
Fa 4EA
Рис. 1.3. Расчетные схемы к задаче 2
|
|
|
|
|
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
F1 |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
A1 |
|
|
1 |
||
|
1 |
||
a |
F2 |
A2 |
|
a |
|||
|
|
|
VIII |
|
A2 |
2a |
|
1 |
1 |
a |
A1 |
|
|
a |
F1 |
Fa 4EA
22
А. СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА БЕЗ ЗАЗОРА
ПРИМЕР РАСЧЕТА И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧИ
Для стального (чугунного) стержня (рис. 1.4, а) определить:
1)коэффициент запаса прочности;
2)перемещение сечения 1-1 стержня. При решении задачи принять:
F = 60 кН, |
A |
3 10 3 м2, a = 0,8 м, |
E = 2·105 МПа. |
||||
|
|
|
Исходные данные к задаче |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
F2 |
A1 |
|
A2 |
Материал |
|
Предел текучести |
|
стержня |
|
σт, МПа |
||||
|
|
|
|
|
|
||
2F |
F |
A |
|
2A |
Сталь Ст3 |
|
240 |
|
|
|
RO |
|
|
|
|
|
|
Эпюра N |
a |
O |
|
A1= A |
O |
|
O |
|
|
|
+ |
|
K |
|
F1= 2F |
K |
2F |
K |
|
2F |
|
|
2a |
|
|
|
|
(13/8)F |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
D |
1 |
D |
|
D |
|
|
(3/8)F |
|
a |
|
|
A2= 2A |
|
|
|
|
|
||
C |
|
|
C |
|
C |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
B |
|
F2=F |
|
F |
|
|
F |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
RB |
B |
X = RB |
B |
|
(11/8)F |
(11/8)F |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
а |
|
б |
|
в |
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Рис. 1.4. Расчетная схема (а) и результаты расчета (б, в, г) |
Решение
Определение степени статической неопределимости системы.
Нагрузка от двух сил F1 и F2 воспринимается частично верхней заделкой и частично нижней. Для определения двух реакций в заделках (рис. 1.4, а) используем одно уравнение равновесия (имеем систему сил, направленных по одной прямой):
∑ х = 0 −RB +F + 2F −RO = 0 → RB + RO = 3F.
23
Так как имеем одно уравнение равновесия и два неизвестных усилия
RB и RO, то система один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости системы необходимо дополнительно к уравнению равновесия составить уравнение перемещений, учитывающее действительные условия деформирования системы.
Уравнение перемещений. Для составления уравнения перемещений отбросим одну из заделок, например, нижнюю. Ее действие на стер-
жень заменим соответствующей силой реакции RB. В результате получим стержень, защемленный одним концом (статически опреде-
лимая система) и нагруженный, кроме заданных сил F1 и F2, неиз-
вестной пока силой X = RB (рис. 1.4, б).
По условию задачи перемещение сечения В равно нулю, так как это сечение жестко закреплено:
uB = 0.
Применив принцип независимости действия сил, представим уравнение перемещений uB = 0 в виде
uB = uB(X) + uB(F2) + uB(F1) = 0,
т. е. перемещение от совместного действия всех сил равно алгебраической сумме перемещений от действия каждой силы в отдельности:
uB |
X |
|
|
X |
2a |
|
X 3a |
− сумма укорочений участков |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
E 2 A |
|
EA |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BD и DO; |
|
uB |
F2 |
Fa |
|
|
F 3a |
− сумма удлинений участков CD, DO; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
E 2 A |
EA |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
u |
|
F |
2Fa |
− удлинение участка KO. |
||||||||||
B |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
EA |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив найденные значения uB(X), uB(F2), uB(F1) в уравнение перемещений, получим
X 2a |
|
X 3a |
+ |
Fa |
|
F 3a |
+ |
2Fa |
= 0, |
|
|
|
|
|
|||||
E 2A |
|
EA |
E 2 A |
|
EA |
EA |
|||
|
|
|
|
|
24
откуда X = (11/8)F. |
Ответ |
Из уравнения равновесия получаем RO = (13/8)F. |
|
Эпюра нормальных сил. После определения реакции X = RB стержень представляет собой статически определимый стержень, нагруженный известными силами (рис. 1.4, в). Поэтому методика построения эпюры нормальных сил ничем не отличается от рассмотренной методики в задаче 1. Эпюра нормальных сил представлена на рис. 1.4, г.
Коэффициент запаса прочности. Коэффициент запаса прочности для стального стержня определяется по формуле
n |
пред |
|
т |
. |
max |
|
max |
||
|
|
|
Наибольшее нормальное напряжение в случае стального стержня вычисляется по формуле
max |
Nmax |
|
13 8 F |
13 60 10 |
3 МН |
32,5 МПа, |
|
A |
|
A1 |
|
8 3 10 3м2 |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
где Nmax = (13/8)F − наибольшее по абсолютной величине значение нормальной силы с эпюры N.
Коэффициент запаса прочности для стального стержня
n |
т |
240 |
7,38 . |
Ответ |
||
|
|
|||||
max |
32,5 |
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Замечание. Коэффициент запаса прочности для чугунного стержня определяется по формуле
n |
пред |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
где принимают для чугунного стержня |
|
пред |
в |
р |
, |
т. е. пределу |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прочности на растяжение или |
пред |
в |
с |
, т. е. |
пределу прочности |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
на сжатие. Коэффициент запаса прочности определяется для участков стержня, испытывающих:
растяжение − |
nр |
вр |
, сжатие − nс |
вс |
. |
|
р max |
с max |
|||||
|
|
|
|
Для вычисления σр max и σс max с эпюры N для участков стержня,
испытывающих растяжение, выбирается Nр max, а сжатие – Nс max Далее из двух коэффициентов выбирают наименьшее значение.
Перемещение сечения 1-1. При вычислении перемещения сечения 1-1 используется эпюра N и методика вычисления перемещений, изложенная в задаче 1.
Перемещение сечения K:
|
|
|
|
|
N |
|
l |
|
|
13 8 Fa |
13 60 10 |
3 0,8 |
|
|
|
5 м . |
|||||
u |
K |
l |
|
|
|
OK OK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 10 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
OK |
|
|
|
EA1 |
|
|
|
EA |
|
8 2 105 |
3 10 3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Перемещение сечения 1-1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
u |
|
u |
K |
l |
KD |
u |
K |
|
NKDlKD |
|
13 10 5 |
3 8 F 2a |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 1 |
|
|
|
|
|
|
EA1 |
|
|
|
EA |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 10 5 |
3 60 10 |
2 |
0,8 |
|
7 10 5 м . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
8 |
2 105 |
3 10 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б. СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА С ЗАЗОРОМ
ПРИМЕР РАСЧЕТА И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧИ
Для стального (чугунного) стержня (рис. 1.5, а) определить:
1)коэффициент запаса прочности;
2)перемещение сечения 1-1 стержня. При решении задачи принять:
F = 60 кН, A 3 10 3 м2, a = 0,8 м, E = 2·105 МПа.
26
Исходные данные к задаче
F1 |
F2 |
A1 |
A2 |
Материал |
Предел текучести |
|
стержня |
σт, МПа |
|||||
|
|
|
|
|||
2F |
F |
A |
2A |
Сталь Ст3 |
240 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эпюра N |
a |
O |
|
A1= A |
O |
|
O |
|
|
2a |
D |
|
F1= 2F |
D |
F1 |
D |
|
2F |
|
|
|
|
|
|
|
(13/8)F |
|
|
1 |
C |
1 |
C |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|||||
2a |
|
|
A2= 2A |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
(3/8)F |
|
|
|
|
B |
|
|
B |
||
|
|
|
|
|
|
|||
Fa 2EA |
uB(F1) |
X |
|
uB(X) |
|
X =(3/8)F |
||
|
|
|
||||||
|
|
а |
|
б |
|
|
|
в |
|
Рис. 1.5. Расчетная схема (а) и результаты решения (б, в) |
Решение
Варианты работы заданной системы. В зависимости от величины зазора возможны два варианта работы заданной системы.
1.При нагружении стержня заданной системой сил (рис.1.5, а) сечение В не соприкасается с заделкой, т. е. зазор не закрывается. Стержень представляет в этом случае статически определимую систему. То же будет при условии, что сечение В и заделка лишь сомкнутся, но сил взаимодействия между ними не возникнет.
2.При нагружении стержня зазор закрывается и между стержнем
изаделкой возникают силы взаимодействия. В этом случае система окажется статически неопределимой – получается стержень, жестко защемленный обоими концами; из предыдущего (см. задачу А. СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА БЕЗ ЗАЗОРА) известно, что такая система статически неопределима.
Для выяснения вопроса о том, какой из двух указанных вариантов работы системы имеет место в действительности, определим пе-
27
ремещение сечения В, полагая, что заделка отсутствует, и сравним с величиной зазора Δ:
uB |
F1 |
F1a |
|
2Fa |
|
Fa |
, |
EA1 |
|
EA |
|
2EA |
|||
|
|
|
|
|
т. е. зазор закрывается и между стержнем и заделкой возникает сила взаимодействия, которую обозначим X. Для определения силы X составим уравнение перемещений.
Уравнение перемещений. Для составления уравнения перемещений рассмотрим стержень, нагруженный заданной силой F1= 2F и силой X (рис. 1.5, б). На рис. 1.5, б штриховыми линиями показана деформация стержня.
Уравнение перемещений для рассматриваемой задачи имеет следующий вид:
uB F1 uB X |
. |
Составим выражения для определения искомых перемещений:
uB |
F1 |
F1a |
|
|
2Fa |
|
(растяжение), |
|||
EA1 |
|
EA |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
uB |
X |
|
X |
2a |
|
X 3a |
(сжатие). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
E 2 A |
|
EA |
|||||||
|
|
|
|
|
Подставив эти значения в уравнение перемещений, с учетом
|
Fa |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2EA |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2Fa |
|
X 2a |
|
X 3a |
= |
Fa |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
EA |
|
E 2A |
|
EA |
2EA |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда X = (3/8)F. |
|
|
|
|
|
|
Ответ |
Эпюра нормальных сил. Методика построения эпюры нормальных сил аналогична методике, рассмотренной в задаче 1. Эпюра нормальных сил представлена на рис. 1.5, в.
28
Коэффициент запаса прочности. Коэффициент запаса прочности для стального стержня определяется по формуле
n |
пред |
|
т |
. |
max |
|
max |
||
|
|
|
Наибольшее нормальное напряжение в случае стального стержня вычисляется по формуле
max |
Nmax |
|
13 8 F |
13 60 10 |
3 МН |
32,5 |
МПа, |
|
A |
|
A1 |
|
8 3 10 3м2 |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
где Nmax = (13/8)F − наибольшее по абсолютной величине значение нормальной силы с эпюры N.
Коэффициент запаса прочности
n |
т |
240 |
7,38 . |
Ответ |
||
|
|
|||||
max |
32,5 |
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Замечание. Коэффициент запаса прочности для чугунного стержня определяется по формуле
n |
|
пред |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
max |
|
|
|
|
|
где принимают для чугунного стержня |
|
пред |
вр (пределу |
||||
прочности на растяжение) |
или пред |
в |
с |
(пределу прочности |
|||
|
|
|
|
|
|
|
на сжатие). Коэффициент запаса прочности определяется для участков стержня, испытывающих:
растяжение − |
nр |
вр |
, сжатие − nс |
вс |
. |
|
р max |
с max |
|||||
|
|
|
|
Для вычисления σmax с эпюры N берется Nmax для участков стержня, испытывающих как растяжение, так и сжатие. Далее из двух коэффициентов выбирают наименьшее значение.
29
Перемещение сечения 1-1. При вычислении перемещения сечения 1-1 используется эпюра N и методика вычисления перемещений, изложенная в задаче 1.
Перемещение сечения D:
|
|
|
|
|
N |
|
l |
|
|
|
|
|
13 8 Fa |
13 60 10 |
3 0,8 |
|
|
|
5 м . |
||||||
u |
D |
l |
|
|
|
OD OD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 10 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
OD |
|
|
|
EA1 |
|
|
|
|
|
EA |
|
8 2 105 |
3 10 3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Перемещение сечения 1-1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
u |
|
u |
D |
l |
DC |
u |
D |
|
NDC lDC |
13 10 |
5 |
|
3 8 F 2a |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 1 |
|
|
|
|
|
|
EA1 |
|
|
|
|
|
EA |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
13 10 5 |
3 60 10 |
|
2 |
0,8 |
|
7 10 5 м . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
8 |
2 105 |
3 10 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30
Задача Расчет
3статически неопределимой стержневой системы
Плоская стержневая система нагружена в соответствии с заданной расчетной схемой (рис. 1.6). Стержни изготовлены из разных материалов, механические характеристики которых приведены в табл. 1.3. Исходные данные приведены в табл. 1.4.
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 1.3 |
||
|
Материал стержня и его механические характеристики |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормативный |
||
Но- |
|
Модуль |
Предел |
Предел |
коэффициент |
||
|
упругости |
прочности |
текучести |
запаса |
|
||
мер |
Материал |
|
|||||
|
|
|
прочности |
||||
стерж- |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ня |
|
Е, 105 |
в |
т |
[n в] |
|
[nт] |
|
|
|
МПа |
|
– |
|
|
1 |
Сталь Ст3 |
2,0 |
380 |
220 |
– |
|
1,5 |
2 |
Сплав Д16Т |
0,7 |
470 |
320 |
3,5 |
|
– |
3 |
Латунь Л68 |
1,0 |
300 |
– |
4,0 |
|
– |
Т а б л и ц а 1.4
Исходные данные к задаче 3
Номер |
|
Сила F, |
Длина l, |
Отношение площадей |
Угол, |
||
Схема |
поперечного сечения |
|
град |
||||
строки |
кН |
м |
|
||||
|
стержней А1: А2: А3 |
α |
|
β |
|||
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
10 |
1,0 |
1:4:3 |
30 |
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
20 |
1,1 |
2:1:4 |
40 |
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
30 |
1,2 |
3:2:1 |
50 |
|
40 |
4 |
4 |
40 |
1,3 |
4:3:1 |
60 |
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
10 |
1,4 |
1:3:2 |
30 |
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
20 |
1,5 |
2:1:3 |
40 |
|
50 |
7 |
7 |
30 |
1,6 |
3:4:1 |
50 |
|
40 |
8 |
8 |
40 |
1,7 |
4:2:3 |
45 |
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
9 |
20 |
1,8 |
1:2:4 |
40 |
|
50 |
0 |
10 |
40 |
1,0 |
2:4:3 |
30 |
|
60 |
|
е |
д |
г |
е |
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31